Zwei Zahlen herausgreifen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 So 20.05.2012 | | Autor: | hilado |
| Aufgabe | | Aus der Menge {1, 2, ..., 100} werden zufällig zwei Zahlen herausgegriffen. Wenn die kleinere der beiden <= 20 ist, mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dann die größere >= 80? |
Also ich habe mir folgendes überlegt. Ich habe folgenden Wahrscheinlichkeitsraum genommen:
[mm] \{ (w_{1}, w_{2}) | w_{i} \in \{1, 2, ..., 100\}, w_{1} <= w_{2} \}
[/mm]
Die Gesamtzahl aller Möglichkeiten ist dann 100 * 99 (im ersten Herausgreifen haben wir 100 Zahlen zur Auswahl, beim zweiten nur noch 99)
Dann habe ich mir eine Vierfeldtabelle gemacht, da ich mir gedacht hab, die Zahl größer als 80 ist abhängig von der vorherigen Zahl.
K = Zahl kleiner als 20,
G = Zahl größer als 80
dementsprechen auch [mm] \overline{K} [/mm] und [mm] \overline{G}
[/mm]
P(G) = [mm] \bruch{(20 * 20) + (80 * 20)}{9900} [/mm] = [mm] \bruch{2000}{9900}
[/mm]
[mm] P(\overline{G}) [/mm] = [mm] \bruch{(20 * 79) + (80 * 79)}{9900} [/mm] = [mm] \bruch{7900}{9900}
[/mm]
P(K) = [mm] \bruch{(20 * 20) + (20 * 79)}{9900} [/mm] = [mm] \bruch{1980}{9900}
[/mm]
[mm] P(\overline{K}) [/mm] = [mm] \bruch{(80 * 20) + (80 * 79)}{9900} [/mm] = [mm] \bruch{7920}{9900}
[/mm]
Dann habe ich alle möglichen Varianten berechnet wie P(K [mm] \cap [/mm] G) usw.
Zuletzt habe ich berechnet:
[mm] P_{G}(K) [/mm] = [mm] \bruch{P(K \cap G}{P(G)} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{400}{9900}}{\bruch{2000}{9900}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{5}
[/mm]
Stimmt mein Weg oder muss ich da anders anfangen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 So 20.05.2012 | | Autor: | abakus |
> Aus der Menge {1, 2, ..., 100} werden zufällig zwei Zahlen
> herausgegriffen. Wenn die kleinere der beiden <= 20 ist,
> mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dann die größere >=
> 80?
> Also ich habe mir folgendes überlegt. Ich habe folgenden
> Wahrscheinlichkeitsraum genommen:
>
> [mm]\{ (w_{1}, w_{2}) | w_{i} \in \{1, 2, ..., 100\}, w_{1} <= w_{2} \}[/mm]
>
> Die Gesamtzahl aller Möglichkeiten ist dann 100 * 99 (im
> ersten Herausgreifen haben wir 100 Zahlen zur Auswahl, beim
> zweiten nur noch 99)
>
> Dann habe ich mir eine Vierfeldtabelle gemacht, da ich mir
> gedacht hab, die Zahl größer als 80 ist abhängig von der
> vorherigen Zahl.
>
> K = Zahl kleiner als 20,
> G = Zahl größer als 80
> dementsprechen auch [mm]\overline{K}[/mm] und [mm]\overline{G}[/mm]
>
>
> P(G) = [mm]\bruch{(20 * 20) + (80 * 20)}{9900}[/mm] =
> [mm]\bruch{2000}{9900}[/mm]
> [mm]P(\overline{G})[/mm] = [mm]\bruch{(20 * 79) + (80 * 79)}{9900}[/mm] =
> [mm]\bruch{7900}{9900}[/mm]
>
> P(K) = [mm]\bruch{(20 * 20) + (20 * 79)}{9900}[/mm] =
> [mm]\bruch{1980}{9900}[/mm]
> [mm]P(\overline{K})[/mm] = [mm]\bruch{(80 * 20) + (80 * 79)}{9900}[/mm] =
> [mm]\bruch{7920}{9900}[/mm]
>
> Dann habe ich alle möglichen Varianten berechnet wie P(K
> [mm]\cap[/mm] G) usw.
>
> Zuletzt habe ich berechnet:
>
> [mm]P_{G}(K)[/mm] = [mm]\bruch{P(K \cap G}{P(G)}[/mm] =
> [mm]\bruch{\bruch{400}{9900}}{\bruch{2000}{9900}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{5}[/mm]
>
> Stimmt mein Weg oder muss ich da anders anfangen?
Hallo,
die Aufgabe ist schon von Beginn an unklar: "Die kleinere der beiden Zahlen..."
Wenn zwei Zahlen zufällig gezogen werden, ist auch die Gleichheit beider Zahlen möglich. Ist davon auszugehen, dass dieser Fall nicht stattfindet, oder muss er mit berücksichtigt werden?
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:16 So 20.05.2012 | | Autor: | abakus |
Hallo Hilado,
Ich habe noch einmal darüber nachgedacht und bin zu dem Ergebnis gekommen, dass man zwei verschiedene Zahlen zieht.
Denke dir jetzt mal folgendes:
Wir haben eine Tabelle mit 100 Zeilen (beschriftet mit 1 bis 100) und 100 Spalten (auch 1 bis 100).
Die Zeilennummer steht für die erste und die Spaltennummer für die zweite gezogenen Zahl.
In der Hauptdiagonale stehen die 100 Felder (1;1) bis (100;100), bei denen Zeilennummer=Spaltennummer gilt. Die 100 Felder können wir streichen, weil nicht zweimal die selbe Zahl gezogen wird.
Damit bleiben nur noch 9900 Felder übrig.
Diese liegen je zur Hälfte oberhalb bzw. unterhalb der Hauptdiagonalen.
Zu jedem Paar (a,b) gibt es also spiegelsymmetrisch ein Paar (b,a), bei dem die kleinere und die größere Zahl nur ihre Rollen tauschen.
Es genügt deshalb, nur eine dieser Hälften (z.B. "oben rechts") zu betrachten.
Dort stehen 9900:2=4950 Felder, die man als Zahlenpaar (größere Zahl; kleinere Zahl) interpretieren kann.
Wenn die kleinere Zahl (=Zeilennummer) kleiner oder gleich 20 ist, so trifft das dort in 99+98+97+... +80=1790 Feldern zu. In unserer Tabelle ist das ein "Trapez" aus den Feldern oberhalb der Hauptdiagonale in den Zeilen 1 bis 20.
Eine Spaltennummer (=größere Zahl) von mindestens 80 haben innerhalb dieses Trapezes die (20*21) Felder, die dort in den Spalten 80 bis 100 stehen.
Die gesuchte (bedingte) Wahrscheinlichkeit ist somit 420/1790.
Gruß Abakus
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