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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Do 27.10.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Hier noch eine Aufgabe, die ich aber schon gelöst habe und sie nur von euch kontrolliert haben möchte, damit ich auf dem ersten Zettel schon gaaanz viele Punkte bekommen. 
a) Schreiben Sie die Zahl -25 in 8-Bit und in 16-Bit Zweierkomplement-Darstellung.
Also ich schreibe erstmal 25 als Dualzahl, das ist dann [mm] 25_{10}=11001_2. [/mm] Nun schreibe ich noch 3 bzw, 11 Nullen davor und invertiere alle Bits und zuletzt addiere ich noch eins, dann erhalte ich:
11100111 bzw. 1111111111100111
(in 16-Bit ist es einfach die Darstellung in 8-Bit nur mit 8 Einsen davor.
Ich hoffe, das ist so richtig?
b) Sei z eine negative Zahl in N-Bit Zweierkomplement-Darstellung. Welche positive Zahl entsteht durch Invertieren aller Bits in der Zahldarstellung von z?
Hier habe ich mir überlegt, dass ich ja, wenn ich die Zahl zurück in die Dezimaldarstellung umwandeln möchte, erst 1 subtrahiere, dann alle Bits invertiere und dann aus der Dualzahl wieder eine Dezimalzahl mache. Hier soll aber direkt invertiert werden (ohne dass vorher 1 subtrahiert wird), also wird nachher die letzte Ziffer quasi "falsch" umgewandelt (wenn ich wieder die "richtige" Zahl haben wollte), also fehlt mir am Ende eine "Zahl". Also meine Antwort auf die Frage wäre: man erhält die Zahl z.
c) Welche negativen Zahlen sind in der N-Bit Zweierkomplement-Darstellung bis auf das Vorzeichen-Bit identisch mit ihren positiven Gegenstücken?
Hierfür habe ich mal diesen "Kreis" aufgemalt für die Fälle n=3 und n=4:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Und man sieht, dass die blau eingekreisten Zahlen die gleiche Darstellung haben, wenn man das Vorzeichen weglässt. Also wäre die Antwort auf die Frage:
die Zahlen [mm] 2^{n-2} [/mm] und [mm] -2^{n-2} [/mm] sind bis auf das Vorzeichen identisch und sind jeweils "Gegenzahlen".
Denn [mm] 2^{n-2} [/mm] sieht so aus: [mm] 01\underbrace{0...0}_{n-2} [/mm] und [mm] -2^{n-2} [/mm] so: [mm] 11\underbrace{0...0}_{n-2}
[/mm]
Stimmt das so?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo Bastiane,
> a) Schreiben Sie die Zahl -25 in 8-Bit und in 16-Bit
> Zweierkomplement-Darstellung.
>
> Also ich schreibe erstmal 25 als Dualzahl, das ist dann
> [mm]25_{10}=11001_2.[/mm] Nun schreibe ich noch 3 bzw, 11 Nullen
> davor und invertiere alle Bits und zuletzt addiere ich noch
> eins, dann erhalte ich:
>
> 11100111 bzw. 1111111111100111
>
> (in 16-Bit ist es einfach die Darstellung in 8-Bit nur mit
> 8 Einsen davor.
>
> Ich hoffe, das ist so richtig?
CALC ist der selben Meinung wie Du. 
> b) Sei z eine negative Zahl in N-Bit
> Zweierkomplement-Darstellung. Welche positive Zahl entsteht
> durch Invertieren aller Bits in der Zahldarstellung von z?
>
> Hier habe ich mir überlegt, dass ich ja, wenn ich die Zahl
> zurück in die Dezimaldarstellung umwandeln möchte, erst 1
> subtrahiere, dann alle Bits invertiere und dann aus der
> Dualzahl wieder eine Dezimalzahl mache. Hier soll aber
> direkt invertiert werden (ohne dass vorher 1 subtrahiert
> wird), also wird nachher die letzte Ziffer quasi "falsch"
> umgewandelt (wenn ich wieder die "richtige" Zahl haben
> wollte), also fehlt mir am Ende eine "Zahl". Also meine
> Antwort auf die Frage wäre: man erhält die Zahl z.
Sei $p := [mm] 0100_2 [/mm] = [mm] 4_{10}$. [/mm] Dann ist $z := [mm] \bar{p}+1 [/mm] = [mm] 1100_2$. [/mm] Es ist [mm] $\bar{z} [/mm] = [mm] 0011_2 [/mm] = [mm] 3_{10}$. [/mm] Man erhält also den um 1 verringerten Betrag von $-p$. Das kann man sich durch das Einerkomplement klarmachen. Da invertierst Du eine Zahl einfach, damit sie negativ/positiv wird. Hier addierst Du noch eine 1, wodurch deine Zahl im Einerkomplement "näher zur 0 rückt" (erhöht wird). Invertiest Du wieder zurück, ist diese Zahl natürlich genau um 1 kleiner als dein ursprüngliches p, weil die negativen Zahlen ja in umgekehrte Richtung zu den positiven ganzen Zahlen auf der x-Achse liegen. Na ja, zumindest leuchtet es mir so ein... . Hoffentlich stimmt es auch.
> c) Welche negativen Zahlen sind in der N-Bit
> Zweierkomplement-Darstellung bis auf das Vorzeichen-Bit
> identisch mit ihren positiven Gegenstücken?
>
> Hierfür habe ich mal diesen "Kreis" aufgemalt für die Fälle
> n=3 und n=4:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Und man sieht, dass die blau eingekreisten Zahlen die
> gleiche Darstellung haben, wenn man das Vorzeichen
> weglässt. Also wäre die Antwort auf die Frage:
>
> die Zahlen [mm]2^{n-2}[/mm] und [mm]-2^{n-2}[/mm] sind bis auf das Vorzeichen
> identisch und sind jeweils "Gegenzahlen".
> Denn [mm]2^{n-2}[/mm] sieht so aus: [mm]01\underbrace{0...0}_{n-2}[/mm] und
> [mm]-2^{n-2}[/mm] so: [mm]11\underbrace{0...0}_{n-2}[/mm]
>
> Stimmt das so?
Ich denke schon ...
Grüße
Karl
![[user]](/images/smileys/user.gif "[user]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:35 Fr 28.10.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Karl!
Danke für die Kontrolle.
> CALC ist der selben Meinung wie Du.
Was ist das denn? Gibts das im Netz?
> > b) Sei z eine negative Zahl in N-Bit
> > Zweierkomplement-Darstellung. Welche positive Zahl entsteht
> > durch Invertieren aller Bits in der Zahldarstellung von z?
> >
> > Hier habe ich mir überlegt, dass ich ja, wenn ich die Zahl
> > zurück in die Dezimaldarstellung umwandeln möchte, erst 1
> > subtrahiere, dann alle Bits invertiere und dann aus der
> > Dualzahl wieder eine Dezimalzahl mache. Hier soll aber
> > direkt invertiert werden (ohne dass vorher 1 subtrahiert
> > wird), also wird nachher die letzte Ziffer quasi "falsch"
> > umgewandelt (wenn ich wieder die "richtige" Zahl haben
> > wollte), also fehlt mir am Ende eine "Zahl". Also meine
> > Antwort auf die Frage wäre: man erhält die Zahl z.
>
>
> Sei [mm]p := 0100_2 = 4_{10}[/mm]. Dann ist [mm]z := \bar{p}+1 = 1100_2[/mm].
> Es ist [mm]\bar{z} = 0011_2 = 3_{10}[/mm]. Man erhält also den um 1
> verringerten Betrag von [mm]-p[/mm]. Das kann man sich durch das
> Einerkomplement klarmachen. Da invertierst Du eine Zahl
> einfach, damit sie negativ/positiv wird. Hier addierst Du
> noch eine 1, wodurch deine Zahl im Einerkomplement "näher
> zur 0 rückt" (erhöht wird). Invertiest Du wieder zurück,
> ist diese Zahl natürlich genau um 1 kleiner als dein
> ursprüngliches p, weil die negativen Zahlen ja in
> umgekehrte Richtung zu den positiven ganzen Zahlen auf der
> x-Achse liegen. Na ja, zumindest leuchtet es mir so ein...
> . Hoffentlich stimmt es auch.
Sorry - hier hatte ich mich vertippt. Ich meinte die Zahl, die vom Betrag her gleich z ist um eins verringert. Also quasi |z|-1=-z-1 - also das gleiche, was du meinst. Mittlerweile habe ich noch eine schöne mathematische Erklärung dafür gefunden - ich hoffe, es ist richtig so:
sei x die gesuchte Zahl, die durch Invertieren aller Bits von z entsteht, dann gilt:
[mm] x+z=1...1_2=-1_{10}
[/mm]
also gilt x=-1-z=-z-1
So kann man doch addieren, oder?
Viele Grüße
Bastiane
P.S.: Ich glaub', die Frage könnte wirklich ins Informatik-Forum verschoben werden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:48 Sa 29.10.2005 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo Bastiane,
> > CALC ist der selben Meinung wie Du.
>
> Was ist das denn? Gibts das im Netz?
Na ja, klick doch einfach auf Start -> Ausführen und gib calc ein. Oder Start -> Programme -> Zubehör -> Rechner
und dann auf Ansicht -> Wissenschaftlich klicken. Bei Linux-Systemen gibt es auch so ein Programm.
> sei x die gesuchte Zahl, die durch Invertieren aller Bits
> von z entsteht, dann gilt:
>
> [mm]x+z=1...1_2=-1_{10}[/mm]
>
> also gilt x=-1-z=-z-1
>
> So kann man doch addieren, oder?
Ich habe gerade in WikiPedia ![[]](/images/popup.gif) nachgeschaut, und zitiere einfach mal:
"Das Problem der doppelten Darstellung der Null wird bei der Kodierung von Zahlen im Zweierkomplement, das auf dem Einerkomplement aufbaut, vermieden."
Also gilt nach deiner Rechnung x + z = 0. Also x = -z, oder habe ich dich mißverstanden? Aber Du kannst ja vielleicht folgendermaßen rechnen:
Sei p eine Zahl im Einerkomplement. Sei $z := [mm] \bar{p} [/mm] + 1$.
Dann ist [mm] $\bar{z} [/mm] = [mm] \overline{\bar{p} + 1} [/mm] = [mm] \bar{\bar{p}} [/mm] - 1 = p-1$. Du siehst, ich habe mein Beispiel von vorhin genommen, und versucht es allgemeiner aufzuschreiben. Keine Ahnung, ob man das hier darf... .
>
> P.S.: Ich glaub', die Frage könnte wirklich ins
> Informatik-Forum verschoben werden.
Na ja, Du wolltest es ja später sowieso machen....
Viele Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Sa 29.10.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Karl!
> > > CALC ist der selben Meinung wie Du.
> >
> > Was ist das denn? Gibts das im Netz?
>
>
> Na ja, klick doch einfach auf Start -> Ausführen und gib
> calc ein. Oder Start -> Programme -> Zubehör -> Rechner
Ah - danke. Allerdings komme ich damit noch nicht so ganz klar - wenn ich beispielsweise die Dezimalzahl 100101 aks Hexadezimalzahl schreiben will wie in der anderen Aufgabe, dann gibt er immer 5 raus. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Und wie kann ich damit Zahlen im Zweierkomplement schreiben?
> > sei x die gesuchte Zahl, die durch Invertieren aller Bits
> > von z entsteht, dann gilt:
> >
> > [mm]x+z=1...1_2=-1_{10}[/mm]
> >
> > also gilt x=-1-z=-z-1
> >
> > So kann man doch addieren, oder?
>
>
> Ich habe gerade in WikiPedia
> nachgeschaut,
> und zitiere einfach mal:
>
>
> "Das Problem der doppelten Darstellung der Null wird bei
> der Kodierung von Zahlen im Zweierkomplement, das auf dem
> Einerkomplement aufbaut, vermieden."
>
>
> Also gilt nach deiner Rechnung x + z = 0. Also x = -z, oder
> habe ich dich mißverstanden? Aber Du kannst ja vielleicht
> folgendermaßen rechnen:
Mmh - das verstehe ich jetzt nicht. Wieso sollte x+z=0 sein? Wie rechne ich denn im Einerkomplement? Käme da dann nicht auch 1...1 raus? Ist das dann die zweite Darstellung der 0? Ich dachte, die Null würde da dann als +0 und -0 dargestellt, und das wären doch dann 0...0 und 10...0 oder nicht?
Viele Grüße
Bastiane
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Hallo Bastiane,
> > Also gilt nach deiner Rechnung x + z = 0. Also x = -z, oder
> > habe ich dich mißverstanden? Aber Du kannst ja vielleicht
> > folgendermaßen rechnen:
>
> Wieso sollte x+z=0 sein? Wie rechne ich denn im Einerkomplement? Käme da dann
> nicht auch 1...1 raus? Ist das dann die zweite Darstellung
> der 0? Ich dachte, die Null würde da dann als +0 und -0
> dargestellt, und das wären doch dann 0...0 und 10...0 oder
> nicht?
> Mmh - das verstehe ich jetzt nicht.
Ich, ehrlich gesagt, auch nicht mehr. Ich denke, ich hatte in der vorherigen Antwort einen Denkfehler. Ich bin davon ausgegangen, daß wir uns nach dem Invertieren von [mm] $z\! [/mm] immer noch im Einerkomplement bewegen. Tatsächlich ist in der Aufgabe aber nicht die Rede davon. [Hier hat es uns nur am Anfang genützt, um zu verstehen warum [mm] $\overline{\bar{p}+1} [/mm] = p-1$ ist, wobei [mm] $p\!$ [/mm] eine positive ganze Zahl in 2er-Komplement Darstellung ist.] Wir bewegen uns nach dem Invertieren nach wie vor im 2er-Komplement wie in der Aufgabenstellung am Anfang vorgegeben, und da scheint deine Rechnung in der Tat richtig zu sein. [mm] $-z-1\!$ [/mm] ist nämlich $-(-p) - 1 = p - [mm] 1\!$ [/mm] im 2er-Komplement.
> Ah - danke. Allerdings komme ich damit noch nicht so ganz
> klar - wenn ich beispielsweise die Dezimalzahl 100101 als
> Hexadezimalzahl schreiben will wie in der anderen Aufgabe,
> dann gibt er immer 5 raus.
Das kann nicht sein.
1.) Klicke zunächst auf "Dez".
2.) Gib 100101 ein.
3.) Klicke auf "Hex".
4.) Gib Ergebnis aus (ich erhalte [mm] $18705_{16}$).
[/mm]
5.) STOP!
> Und wie kann ich damit Zahlen im Zweierkomplement
> schreiben?
Klicke erstmal auf das rote "C". Jetzt klicke auf "Dez". Jetzt tippe 5 ein. Drücke jetzt auf "+/-" (siehe unten rechts). Klicke danach auf "Bin". Dann mußt Du eventuell noch einstellen, ob Du eine 32-Bit (dword), 16-Bit (Word) oder 8-Bit (Byte) Darstellung haben willst. Und nicht vergessen: Wenn Du eine neue Rechnung beginnen willst, solltest Du vorher "C" anklicken.
Wenn Du nicht weißt, welche Bedeutung eine Schaltfläche hat, so klicke auf diese mit der rechten Maustaste und der Rechner erklärt dir ihre Bedeutung. Lies dir auch mal die Hilfe-Datei durch.
> > > sei x die gesuchte Zahl, die durch Invertieren aller Bits
> > > von z entsteht, dann gilt:
> > >
> > > [mm]x+z=1...1_2=-1_{10}[/mm]
> > >
> > > also gilt x=-1-z=-z-1
> > >
> > > So kann man doch addieren, oder?
Du hast mich davon überzeugt.
Viele Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 So 30.10.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Karl!
> > Mmh - das verstehe ich jetzt nicht.
>
> Ich, ehrlich gesagt, auch nicht mehr. Ich denke, ich hatte in der vorherigen Antwort einen Denkfehler. Ich bin davon ausgegangen, daß wir uns nach dem Invertieren von [mm] $z\! [/mm] immer noch im Einerkomplement bewegen. Tatsächlich ist in der Aufgabe aber nicht die Rede davon. [Hier hat es uns nur am Anfang genützt, um zu verstehen warum [mm] $\overline{\bar{p}+1} [/mm] = p-1$ ist, wobei [mm] $p\!$ [/mm] eine positive ganze Zahl in 2er-Komplement Darstellung ist.] Wir bewegen uns nach dem Invertieren nach wie vor im 2er-Komplement wie in der Aufgabenstellung am Anfang vorgegeben, und da scheint deine Rechnung in der Tat richtig zu sein.
Gut - ich war mir da anfangs selber nicht so sicher gewesen, ob ich denn da jetzt wirklich so addieren kann...
> > Ah - danke. Allerdings komme ich damit noch nicht so ganz
> > klar - wenn ich beispielsweise die Dezimalzahl 100101 als
> > Hexadezimalzahl schreiben will wie in der anderen Aufgabe,
> > dann gibt er immer 5 raus.
>
>
> Das kann nicht sein.
>
>
> 1.) Klicke zunächst auf "Dez".
>
> 2.) Gib 100101 ein.
>
> 3.) Klicke auf "Hex".
>
> 4.) Gib Ergebnis aus (ich erhalte [mm]18705_{16}[/mm]).
>
> 5.) STOP!
Danke - jetzt hat's geklappt. Lag wahrscheinlich daran, dass ich zuerst noch ein paar andere Eingaben gemacht hatte, und nicht auf das C gedrückt hatte.
> > Und wie kann ich damit Zahlen im Zweierkomplement
> > schreiben?
>
> Klicke erstmal auf das rote "C". Jetzt klicke auf "Dez". Jetzt tippe 5 ein. Drücke jetzt auf "+/-" (siehe unten rechts). Klicke danach auf "Bin". Dann mußt Du eventuell noch einstellen, ob Du eine 32-Bit (dword), 16-Bit (Word) oder 8-Bit (Byte) Darstellung haben willst. Und nicht vergessen: Wenn Du eine neue Rechnung beginnen willst, solltest Du vorher "C" anklicken.
> Wenn Du nicht weißt, welche Bedeutung eine Schaltfläche hat, so klicke auf diese mit der rechten Maustaste und der Rechner erklärt dir ihre Bedeutung. Lies dir auch mal die Hilfe-Datei durch.
Danke für die Erklärung - ist ja gar nicht so schwierig und echt ein tolles Werkzeug! Wusste gar nicht, dass sowas mit dem Rechner mitgeliefert wird.
Viele Grüße
Bastiane
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