Zweite Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:10 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Palonina |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Sei $f: [a,b] \rightarrow \IR$ zweimal differenzierbar, $x_0 \in ]a,b[$. Dann gilt \\
$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-f'(x_0)}{x-x_o}= \frac{1}{2} f''(x_0)$.
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Hallo zusammen,
ich habe die Gleichung durch Umformungen in eine wahre Aussage überführt und wollte fragen, ob das formal so ok geht:
$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-f'(x_0)}{x-x_o}=\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_o}$
Jetzt multipliziere ich die Gleichung mit $x-x_0$ und betrachte rechts den Limes und erhalte dann
$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-f'(x_0)}=0$ und das ist ja die Definition der Ableitung $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)}$ und daher eine wahre Aussage.
Gruß
Palonina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:00 Fr 02.01.2009 | | Autor: | statler |
Hi!
> Sei [mm]f: [a,b] \rightarrow \IR[/mm] zweimal differenzierbar, [mm]x_0 \in ]a,b[[/mm].
> Dann gilt [mm]\\[/mm]
>
> [mm]\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-f'(x_0)}{x-x_o}= \frac{1}{2} f''(x_0)[/mm].
>
> Hallo zusammen,
>
> ich habe die Gleichung durch Umformungen in eine wahre
> Aussage überführt und wollte fragen, ob das formal so ok
> geht:
>
> [mm]\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-f'(x_0)}{x-x_o}=\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_o}[/mm]
>
> Jetzt multipliziere ich die Gleichung mit [mm]x-x_0[/mm] und
> betrachte rechts den Limes und erhalte dann
>
> [mm]\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-f'(x_0)}=0[/mm]
> und das ist ja die Definition der Ableitung
> [mm]\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)}[/mm]
> und daher eine wahre Aussage.
Ich will dir mal eben kurz zeigen, daß 0 = 1 ist. Dazu subtrahiere ich auf beiden Seiten [mm] $\bruch{1}{2}$, [/mm] das gibt [mm] $-\bruch{1}{2}$ [/mm] = [mm] $\bruch{1}{2}$. [/mm] Jetzt quadriere ich beide Seiten, das gibt [mm] $\bruch{1}{4}$ [/mm] = [mm] $\bruch{1}{4}$. [/mm] Damit habe ich meine ursprüngliche Gleichung in eine wahre Aussage überführt. Ist das so OK?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Palonina |
Hallo Dieter,
ok, aber quadrieren ist keine Äquivalenzumformung; mit 0 darf man Gleichungen auch nicht multiplizieren, sonst könnte man jede falsche Aussage in ein "0=0" umformen.
Solange ich nur erlaubte Äquivalenzumformungen durchführe, könnte man so doch aber eine Aussage beweisen.
Ist es problematisch, dass ich mit [mm] $x-x_0$ [/mm] multipliziere oder wolltest du mich darauf aufmerksam machen, dass meine Aussage zu allgemein fomuliert war und dies nur bei Äuivalenzumformungen gilt?
Gruß,
Palonina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:30 So 04.01.2009 | | Autor: | statler |
Hi!
> Ist es problematisch, dass ich mit [mm]x-x_0[/mm] multipliziere oder
> wolltest du mich darauf aufmerksam machen, dass meine
> Aussage zu allgemein fomuliert war und dies nur bei
> Äuivalenzumformungen gilt?
Ich wollte dich darauf aufmerksam machen, daß bei einem Beweis der Weg vom Bekannten zum zu Beweisenden geht, das müssen nicht unbedingt Äquivalenzumformungen sein. Auf dem Schmierzettel, also bei seinen Vorüberlegungen, macht man es normalerweise natürlich umgekehrt, aber in der Reinschrift hat die Vorgehensweise wie oben zu sein.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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