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Hab mal wieder ne Aufgabe, bei der ich nicht zu einer Lösung komme.
Sei L eine Menge der unterhalb Dreiecksmatrizen über [mm] \IZ^{2x2}. [/mm] Zeige, dass es einen Unterring R zwischen L und [mm] \IZ^{2x2} [/mm] gibt. Gebe ein Beispiel an.
Ich weiß auch schon was ich zeigen muss:
L [mm] \subset [/mm] R [mm] \subset \IZ^{2x2} \Rightarrow [/mm] L [mm] \not= [/mm] R und R [mm] \not= \IZ^{2x2}.
[/mm]
Allerdings komme ich stets auf L = R oder R = [mm] \IZ^{2x2}.
[/mm]
Wäre dankbar über einen Ansatz!
mfg
Berndte
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Berndte,
Du hast also den Ring L der 2x2-Matrizen über Z (ich nehme mal nicht an, dass du einen Matrixring ueber einem Matrixring hast *g*), die die Form [mm] $\pmat{* & 0 \\ * & * }$ [/mm] haben, wobei * beliebige ganze Zahlen sind. Ein echter Oberring von L muss also Matrizen enthalten, deren rechte obere Komponente nicht Null ist.
Schreib uns doch bitte, welche Ringe du bisher ausprobiert hast. Vielleicht erkennst du daran schon eine Möglichkeit, die du bisher übersehen hast.
Liebe Grüsse,
Irrlicht
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Genau und er darf auch nicht von der Form [mm] \pmat{ * & * \\ * & * } [/mm] sein, da er ja denn keine echte Teilmenge von [mm] \IZ^{2x2} [/mm] mehr wäre... 0 und 1 sind auch nicht möglich (wäre aber sowieso quatsch), da diese als Elemente von L definiert sind laut Aufgabe. Die oberhalb Dreiecksmatrizen gehen auch nicht, denn davon sind die unterhalb Dreiecksmatrizen nicht Teilmenge. Sonst gibt es ja kaum noch Möglichkeiten meiner Meinung nach...
Es müsste Matrizen geben, die in folgendes Schema passen:
[mm] \pmat{ a & 0 \\ b & c } \subset \pmat{ ? & ? \\ ? & ? } \subset \pmat{ d & e \\ f & g }
[/mm]
Wundern tut mich außerdem, dass man in einer anderen Aufgabe beweisen soll, dass es für die Menge L' der unterhalb Dreiecksmatrizen über [mm] \IQ [/mm] keinen Unterring R zwischen L und [mm] \IQ^{2x2} [/mm] gibt!?!?!
mfg
Ein leicht verwirrter Berndte
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Guten Morgen!
Der Schlüssel zu dieser Aufgabe besteht darin, dass wir uns in den ganzen Zahlen bewegen und nicht jedes Element ungleich 0 invertierbar ist. Nimm als Beispiel folgende Menge:
$R = [mm] \left\{ \pmat{a && 2b \\ c && d} : a,b,c,d \in \IZ \right\}$
[/mm]
Jetzt mußt Du nur noch zeigen, dass bei Mulitplikation zweier solcher Matrizen (mit geradem Eintrag oben rechts) wieder eine solche herauskommt...
Das gleiche kannst Du mit jeder ganzen Zahl (außer 1 und -1) machen, da die anderen ganzen Zahlen auch nicht invertierbar sind und man somit nie eine 1 nach oben rechts bekommt... also ist es ein echter Unterring.
Gruß,
Lars
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