Zwischenwertsatz < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei $a [mm] \in \IR^{+} \backslash \{1\}.$ [/mm] Es soll mit Hilfe des Zwischenwertsatzes gezeigt werden, dass die folgende Funktion bijektiv ist:
[mm] $f:\IR \to \IR^{+}, f(x)=a^{x}.$ [/mm] |
Hallo,
ich tappe hier leider etwas im Dunkeln. Zunächst die...
Definition des Zwischenwertsatzes (ZWS):
Sei [mm] $f\!\$ [/mm] stetig auf dem (echten) Intervall [mm] $I:=\left[ a,b \right]$ [/mm] und [mm] $\eta \in \IR$ [/mm] liege zwischen [mm] $f(a)\!\$ [/mm] und [mm] $f(b).\!\$ [/mm] Dann gibt es ein [mm] $\xi \in \left[ a,b \right]$ [/mm] mit [mm] $f(\xi)=\eta.$
[/mm]
Von der Definition ausgehend vermute ich, dass ich zunächst ein Intervall finden muss und dann die Stetigkeit der Funktion in diesem Intervall beweisen soll...?
Was mich total verunsichert ist das geeignete Intervall, denn ab ausgeschlossen 1 bis unendlich ist doch alles möglich...?
Ich bin für jeden Tipp sehr dankbar.
Gruß
el_grecco
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:18 Fr 14.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Wir betrachten den Fall a>1. (den Fall a<1 darfst Du machen)
Sei [mm] y_0 [/mm] >0
Es gilt [mm] a^x \to \infty [/mm] für x [mm] \to \infty. [/mm] Also gibt es ein v mit [mm] a^v>y_0
[/mm]
Weiter gilt [mm] a^x \to [/mm] 0 für x [mm] \to -\infty. [/mm] Also gibt es ein u < v mit [mm] a^u
Jetzt lass den Zwischenwertsatz auf das Intervall [u,v] los
FRED
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| Aufgabe | Es sei $ a [mm] \in \IR^{+} \backslash \{1\}. [/mm] $ Es soll mit Hilfe des Zwischenwertsatzes gezeigt werden, dass die folgende Funktion bijektiv ist:
[mm] $f:\IR \to \IR^{+}, f(x)=a^{x}.$ [/mm] |
Der Meister persönlich! Danke, Fred. 
Schonmal Glückwunsch zu Deinem 10000. Dan... ähm Artikel.
> Wir betrachten den Fall a>1. (den Fall a<1 darfst Du
> machen)
>
> Sei [mm]y_0[/mm] >0
>
> Es gilt [mm]a^x \to \infty[/mm] für x [mm]\to \infty.[/mm] Also gibt es ein
> v mit [mm]a^v>y_0[/mm]
>
> Weiter gilt [mm]a^x \to[/mm] 0 für x [mm]\to -\infty.[/mm] Also gibt es ein
> u < v mit [mm]a^u
>
> Jetzt lass den Zwischenwertsatz auf das Intervall [u,v]
> los
[mm] $a^{x}$ [/mm] ist als Polynom (lineare Funktion) stetig.
[mm] $\eta \in \IR$ [/mm] liege zwischen [mm] $f(u)\!\$ [/mm] und [mm] $f(v)\!\$. [/mm] Dann [mm] $y_{0} \in [/mm] [u,v]$ mit [mm] $f(y_{0})=\eta.$
[/mm]
Hoffe ich habe es nicht vermasselt...?
Fall [mm] $a<1:\!\$
[/mm]
Sei [mm] $y_{0}>0$
[/mm]
Es gilt [mm] $a^{x} \to [/mm] 0$ für $x [mm] \to \infty.$ [/mm] Also gibt es ein [mm] $v\!\$ [/mm] mit [mm] $a^{v}
Weiter gilt [mm] $a^{x} \to [/mm] 1$ für $x [mm] \to -\infty.$ [/mm] Also gibt es ein $u > v$ mit [mm] $a^{u} [/mm] > [mm] y_{0}.$
[/mm]
Dann analog zu oben.
Ist die Aufgabe damit eigentlich schon abgeschlossen?
> FRED
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 Fr 14.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]a \in \IR^{+} \backslash \{1\}.[/mm] Es soll mit Hilfe
> des Zwischenwertsatzes gezeigt werden, dass die folgende
> Funktion bijektiv ist:
>
> [mm]f:\IR \to \IR^{+}, f(x)=a^{x}.[/mm]
> Der Meister persönlich!
> Danke, Fred.
> Schonmal Glückwunsch zu Deinem 10000. Dan... ähm
> Artikel.
>
> > Wir betrachten den Fall a>1. (den Fall a<1 darfst Du
> > machen)
> >
> > Sei [mm]y_0[/mm] >0
> >
> > Es gilt [mm]a^x \to \infty[/mm] für x [mm]\to \infty.[/mm] Also gibt es ein
> > v mit [mm]a^v>y_0[/mm]
> >
> > Weiter gilt [mm]a^x \to[/mm] 0 für x [mm]\to -\infty.[/mm] Also gibt es ein
> > u < v mit [mm]a^u
> >
> > Jetzt lass den Zwischenwertsatz auf das Intervall [u,v]
> > los
>
> [mm]a^{x}[/mm] ist als Polynom (lineare Funktion) stetig.
> [mm]\eta \in \IR[/mm] liege zwischen [mm]f(u)\!\[/mm] und [mm]f(v)\!\[/mm]. Dann
> [mm]y_{0} \in [u,v][/mm] mit [mm]f(y_{0})=\eta.[/mm]
>
> Hoffe ich habe es nicht vermasselt...?
Du hast es vemasselt !
Wir hatten: u<v und [mm] a^u
Nach dem Zwischenwertsatz gibt es ein [mm] x_0 \in [/mm] [u,v] mit [mm] a^{x_0}=y_0
[/mm]
[mm] y_0 [/mm] > 0 beliebig , also nimmt die Funktion [mm] f(x)=a^x [/mm] jeden Wert > 0 an.
FRED
>
> Fall [mm]a<1:\!\[/mm]
>
> Sei [mm]y_{0}>0[/mm]
> Es gilt [mm]a^{x} \to 0[/mm] für [mm]x \to \infty.[/mm] Also gibt es ein
> [mm]v\!\[/mm] mit [mm]a^{v}
> Weiter gilt [mm]a^{x} \to 1[/mm] für [mm]x \to -\infty.[/mm] Also gibt es
> ein [mm]u > v[/mm] mit [mm]a^{u} > y_{0}.[/mm]
>
> Dann analog zu oben.
>
> Ist die Aufgabe damit eigentlich schon abgeschlossen?
>
> > FRED
>
> Gruß
> el_grecco
>
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| Aufgabe | Es sei $ a [mm] \in \IR^{+} \backslash \{1\}. [/mm] $ Es soll mit Hilfe des Zwischenwertsatzes gezeigt werden, dass die folgende Funktion bijektiv ist:
[mm] $f:\IR \to \IR^{+}, f(x)=a^{x}.$ [/mm] |
Danke, Fred.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]")
Muss man vorher eigentlich sagen (bzw. ist das überhaupt richtig), dass [mm] $a^{x}$ [/mm] als Polynom (lineare Funktion) stetig ist?
Für den zweiten Fall gilt doch (?):
$0 < a < 1$
Dann sei [mm] $0
Es gilt [mm] $a^{x} \to [/mm] 0$ für $x [mm] \to \infty.$ [/mm] Also gibt es ein [mm] $v\!\$ [/mm] mit [mm] $a^{v}
Weiter gilt [mm] $a^{x} \to [/mm] 1$ für $x [mm] \to -\infty.$ [/mm] Also gibt es ein [mm] $uy_{0}.$
[/mm]
ZWS auf das Intervall $[u,v]$ angewandt:
[mm] $a^{v}
Nach dem ZWS gibt es ein [mm] $x_{0} \in [/mm] [u,v]$ mit [mm] $a^{x_{0}}=y_{0}.$
[/mm]
[mm] $0
Hoffe das stimmt...
Ist hiermit schon bewiesen, dass die Funktion bijektiv ist oder geht die Aufgabe noch weiter?
Nochmals vielen Dank für Deine Mühe und sorry, wenn der Groschen so zögerlich fällt...
Gruß
el_grecco
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> Es sei [mm]a \in \IR^{+} \backslash \{1\}.[/mm] Es soll mit Hilfe
> des Zwischenwertsatzes gezeigt werden, dass die folgende
> Funktion bijektiv ist:
>
> [mm]f:\IR \to \IR^{+}, f(x)=a^{x}.[/mm]
> Muss man vorher eigentlich sagen (bzw. ist das überhaupt
> richtig), dass [mm]a^{x}[/mm] als Polynom (lineare Funktion) stetig
> ist?
Ja, du musst zeigen, dass [mm] $a^{x}$ [/mm] stetig ist und nein, deine Aussage ist falsch.
[mm] $a^{x}$ [/mm] ist kein Polynom, [mm] $a^{x}$ [/mm] ist nicht linear und Polynome sind (im allgemeinen) auch nicht linear.
Also du musst die Stetigkeit zeigen, um den ZWS anwenden zu können, aber nicht so.
>
> Für den zweiten Fall gilt doch (?):
> [mm]0 < a < 1[/mm]
>
> Dann sei [mm]0
> Es gilt [mm]a^{x} \to 0[/mm] für [mm]x \to \infty.[/mm] Also gibt es ein
> [mm]v\!\[/mm] mit [mm]a^{v}
> Weiter gilt [mm]a^{x} \to 1[/mm] für [mm]x \to -\infty.[/mm]
Nö, das gilt nicht.
Setz einfach mal ein: 0<a<1 , x << 0
Das läuft ganz bestimmt nicht gegen 1
> Ist hiermit schon bewiesen, dass die Funktion bijektiv ist
> oder geht die Aufgabe noch weiter?
Damit ist erstmal (wenn die Fehler berichtigt werden) bewiesen, dass jeder Wert angenommen wird, dass die Funktion also surjektiv ist.
Für Bijektivität brauchst du aber auch noch Injektivität, die musst du auf eine andere Art und Weise beweisen (ich würde zeigen, dass [mm] $a^{x}$ [/mm] streng monoton ist, aber es könnte einfachere Wege geben)
hoffe ich konnte helfen
MfG
Schadowmaster
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| Aufgabe | Es sei $ a [mm] \in \IR^{+} \backslash \{1\}. [/mm] $ Es soll mit Hilfe des Zwischenwertsatzes gezeigt werden, dass die folgende Funktion bijektiv ist:
$ [mm] f:\IR \to \IR^{+}, f(x)=a^{x}. [/mm] $ |
Hallo Schadowmaster,
> > Für den zweiten Fall gilt doch (?):
> > [mm]0 < a < 1[/mm]
> >
> > Dann sei [mm]0
> > Es gilt [mm]a^{x} \to 0[/mm] für [mm]x \to \infty.[/mm] Also gibt es ein
> > [mm]v\!\[/mm] mit [mm]a^{v}
> > Weiter gilt [mm]a^{x} \to 1[/mm] für [mm]x \to -\infty.[/mm]
>
> Nö, das gilt nicht.
> Setz einfach mal ein: 0<a<1 , x << 0
> Das läuft ganz bestimmt nicht gegen 1
Erneuter Versuch (hatte anscheinend nicht genug mit dem Taschenrechner durchprobiert):
2. Fall:
0 < a < 1
Dann sei [mm] $y_{0}>0$
[/mm]
Es gilt $ [mm] a^{x} \to [/mm] 0 $ für $ x [mm] \to \infty. [/mm] $ Also gibt es ein $ [mm] v\!\ [/mm] $ mit $ [mm] a^{v}
Weiter gilt $ [mm] a^x \to \infty$ [/mm] für x [mm] $\to -\infty.$ [/mm] Also gibt es ein $ [mm] uy_{0}.$
[/mm]
Hoffe das stimmt jetzt soweit... Was ich aber nicht verstehe ist, warum Fred im ersten Fall gleich nach dem obigen analogen Schritt den ZWS angewandt hat, ohne vorher einen Beweis für die Stetigkeit der Funktion zu fordern ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> > Ist hiermit schon bewiesen, dass die Funktion bijektiv ist
> > oder geht die Aufgabe noch weiter?
>
> Damit ist erstmal (wenn die Fehler berichtigt werden)
> bewiesen, dass jeder Wert angenommen wird, dass die
> Funktion also surjektiv ist.
> Für Bijektivität brauchst du aber auch noch
> Injektivität, die musst du auf eine andere Art und Weise
> beweisen (ich würde zeigen, dass [mm]a^{x}[/mm] streng monoton ist,
> aber es könnte einfachere Wege geben)
Glaube bei mir hängt es noch an der obigen Schlüsselfrage bzgl. der Stetigkeit.
> hoffe ich konnte helfen
Das auf jeden Fall. Vielen Dank soweit für die Mühe.
> MfG
>
> Schadowmaster
Gruß
el_grecco
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> 2. Fall:
>
> 0 < a < 1
> Dann sei [mm]y_{0}>0[/mm]
> Es gilt [mm]a^{x} \to 0[/mm] für [mm]x \to \infty.[/mm] Also gibt es ein
> [mm]v\!\[/mm] mit [mm]a^{v}
> Weiter gilt [mm]a^x \to \infty[/mm] für x [mm]\to -\infty.[/mm] Also gibt
> es ein [mm]uy_{0}.[/mm]
>
> Hoffe das stimmt jetzt soweit...
jo, das sieht soweit gut aus
> Was ich aber nicht
> verstehe ist, warum Fred im ersten Fall gleich nach dem
> obigen analogen Schritt den ZWS angewandt hat, ohne vorher
> einen Beweis für die Stetigkeit der Funktion zu fordern
>
ich nehme mal an das liegt daran, dass [mm] $a^{x}$ [/mm] "bekanntermaßen" stetig für alle a > 0 ist.
Wenn ich so eine Aufgabe hätte würde ich auch einfach kurz schreiben "bekanntermaßen..."
Allerdings weiß ich nicht in wie weit du das schon als bekannt voraussetzen darfst.
Falls du es (wie es scheint) noch nicht weißt/benutzen darfst solltest du wenigstens kurz argumentieren warum [mm] $a^{x}$ [/mm] stetig ist.
Für die Injektivität wäre wie gesagt strenge Monotonie ganz empfehlenswert, falls du damit noch Probleme hast sag bescheid. ;)
MfG
Schadowmaster
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| Aufgabe | Es sei $ a [mm] \in \IR^{+} \backslash \{1\}. [/mm] $ Es soll mit Hilfe des Zwischenwertsatzes gezeigt werden, dass die folgende Funktion bijektiv ist:
$ [mm] f:\IR \to \IR^{+}, f(x)=a^{x}. [/mm] $ |
Hallo Schadowmaster,
> ich nehme mal an das liegt daran, dass [mm]a^{x}[/mm]
> "bekanntermaßen" stetig für alle a > 0 ist.
> Wenn ich so eine Aufgabe hätte würde ich auch einfach
> kurz schreiben "bekanntermaßen..."
> Allerdings weiß ich nicht in wie weit du das schon als
> bekannt voraussetzen darfst.
> Falls du es (wie es scheint) noch nicht weißt/benutzen
> darfst solltest du wenigstens kurz argumentieren warum
> [mm]a^{x}[/mm] stetig ist.
ich gehe besser mal auf Nummer sicher und liefere eine Begründung, warum [mm] $a^{x}$ [/mm] stetig ist (leichter gesagt als getan...). Schließt $a [mm] \in \IR^{+} \backslash \{1\}$ [/mm] nicht aus, dass [mm] $a^{x}$ [/mm] stetig ist?
Dann wäre soweit die Surjektivität bewiesen...
> Für die Injektivität wäre wie gesagt strenge Monotonie
> ganz empfehlenswert, falls du damit noch Probleme hast sag
> bescheid. ;)
Habe da leider echte Probleme, weil ich keine Vorstellung davon habe, wie der Beweis auszusehen hat...
> MfG
>
> Schadowmaster
Vielen Dank für Deine Mühe!
Gruß
el_grecco
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zur Stetigkeit:
[mm] $a^x$ [/mm] ist eine Funktion von x.
Das heißt du musst zeigen, dass es mit konstantem a für alle x stetig ist.
Das kannst du zum Beispiel machen indem du feststellst, dass [mm] $a^x [/mm] = [mm] e^{x\*ln(a)} [/mm]
Bekanntermaßen (sollte bekannt sein :D) ist die e-Funktion stetig.
Für die Injektivität:
Du hast ja bereits gezeigt, dass die Funktion surjektiv ist, dass also jeder Funktionswert getroffen wird.
Für Bijektivität (jeder Wert wird GENAU EINMAL getroffen) musst du jetzt natürlich noch die Injektivität (kein Wert wird mehrmals getroffen) zeigen.
Hierfür überleg dir mal wie so eine Funktion aussieht, die alle Werte von $- [mm] \infty$ [/mm] bis [mm] $\infty$ [/mm] annimmt aber keinen davon doppelt. (vielleicht hilft es dir, wenn du dir so eine Funktion mal aufmalst)
Du wirst sehen, dass diese Funktion streng monoton sein muss, das heißt
$x > y [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) > f(y)$ (streng monoton wachsend) oder $x > y [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) < f(y)$ (streng monoton fallend)
einer dieser beiden muss für alle x,y gelten.
Nun kannst du entweder eben dies beweisen oder du zeigst, dass die Steigung immer größer oder immer kleiner 0 ist.
Also f'(x) < 0 für alle x oder f'(x) > 0 für alle x.
Welchen davon du nimmst ist dir überlassen.
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| Aufgabe | Es sei $ a [mm] \in \IR^{+} \backslash \{1\}. [/mm] $ Es soll mit Hilfe des Zwischenwertsatzes gezeigt werden, dass die folgende Funktion bijektiv ist:
$ [mm] f:\IR \to \IR^{+}, f(x)=a^{x}. [/mm] $ |
Hallo Schadowmaster (Glückwunsch zum 3. Stern ),
> zur Stetigkeit:
> [mm]a^x[/mm] ist eine Funktion von x.
> Das heißt du musst zeigen, dass es mit konstantem a für
> alle x stetig ist.
> Das kannst du zum Beispiel machen indem du feststellst,
> dass [mm]$a^x[/mm] = [mm]e^{x\*ln(a)}[/mm]
> Bekanntermaßen (sollte bekannt sein :D) ist die e-Funktion
> stetig.
dann schreibe ich einfach:
Die e-Funktion ist stetig.
Dann ist [mm] $f(x)=a^{x}=e^{x*ln(a)}$ [/mm] auch stetig. Da die e-Funktion und die ln-Funktion stetig sind und die Verkettung stetiger Funktionen auch stetig ist, ist [mm] $f\!\$ [/mm] stetig.
Dann darf ich (endlich) den ZWS für die beiden Fälle [mm] $a>1\!\$ [/mm] und [mm] $a<1\!\$ [/mm] anwenden und die Surjektivität der Funktion [mm] $f\!\$ [/mm] wäre hiermit bewiesen.
> Für Bijektivität (jeder Wert wird GENAU EINMAL
> getroffen) musst du jetzt natürlich noch die Injektivität
> (kein Wert wird mehrmals getroffen) zeigen.
> Hierfür überleg dir mal wie so eine Funktion aussieht,
> die alle Werte von [mm]- \infty[/mm] bis [mm]\infty[/mm] annimmt aber keinen
> davon doppelt. (vielleicht hilft es dir, wenn du dir so
> eine Funktion mal aufmalst)
> Du wirst sehen, dass diese Funktion streng monoton sein
> muss, das heißt
> [mm]x > y \Rightarrow f(x) > f(y)[/mm] (streng monoton wachsend)
> oder [mm]x > y \Rightarrow f(x) < f(y)[/mm] (streng monoton fallend)
> einer dieser beiden muss für alle x,y gelten.
Warum die Funktion streng monoton wachsend oder fallend sein muss, ist mir klar, das Problem besteht nur darin, dass ich nicht mehr weiß, wie ich das beweisen kann (Abi liegt bald 3 Jahre zurück...).
Wenn ich es richtig verstanden habe, gibt es mehrere Möglichkeiten, die Monotonie zu beweisen, die erste Ableitung ist aber die einfachste davon?
> Nun kannst du entweder eben dies beweisen oder du zeigst,
> dass die Steigung immer größer oder immer kleiner 0 ist.
> Also f'(x) < 0 für alle x oder f'(x) > 0 für alle x.
> Welchen davon du nimmst ist dir überlassen.
Zunächst die 1. Ableitung:
[mm] $f'(x)=a^{x}\mbox{ln }a$
[/mm]
Jetzt muss man doch die NST ermitteln, in [mm] $f(x)\!\$ [/mm] einsetzen und das Verhalten beobachten...?
Problem: $f'(x)$ hat keine NST. Wie gehe ich hier dann vor?
Vielen Dank für die große Unterstützung bisher, sonst wäre ich wirklich total verloren...
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:53 Mi 19.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]a \in \IR^{+} \backslash \{1\}.[/mm] Es soll mit Hilfe
> des Zwischenwertsatzes gezeigt werden, dass die folgende
> Funktion bijektiv ist:
>
> [mm]f:\IR \to \IR^{+}, f(x)=a^{x}.[/mm]
>
> Hallo Schadowmaster (Glückwunsch zum 3. Stern ),
>
> > zur Stetigkeit:
> > [mm]a^x[/mm] ist eine Funktion von x.
> > Das heißt du musst zeigen, dass es mit konstantem a
> für
> > alle x stetig ist.
> > Das kannst du zum Beispiel machen indem du feststellst,
> > dass [mm]$a^x[/mm] = [mm]e^{x\*ln(a)}[/mm]
> > Bekanntermaßen (sollte bekannt sein :D) ist die e-Funktion
> > stetig.
>
> dann schreibe ich einfach:
> Die e-Funktion ist stetig.
> Dann ist [mm]f(x)=a^{x}=e^{x*ln(a)}[/mm] auch stetig. Da die
> e-Funktion und die ln-Funktion stetig sind und die
> Verkettung stetiger Funktionen auch stetig ist, ist [mm]f\!\[/mm]
> stetig.
>
> Dann darf ich (endlich) den ZWS für die beiden Fälle
> [mm]a>1\!\[/mm] und [mm]a<1\!\[/mm] anwenden und die Surjektivität der
> Funktion [mm]f\!\[/mm] wäre hiermit bewiesen.
>
>
> > Für Bijektivität (jeder Wert wird GENAU EINMAL
> > getroffen) musst du jetzt natürlich noch die Injektivität
> > (kein Wert wird mehrmals getroffen) zeigen.
> > Hierfür überleg dir mal wie so eine Funktion
> aussieht,
> > die alle Werte von [mm]- \infty[/mm] bis [mm]\infty[/mm] annimmt aber keinen
> > davon doppelt. (vielleicht hilft es dir, wenn du dir so
> > eine Funktion mal aufmalst)
> > Du wirst sehen, dass diese Funktion streng monoton sein
> > muss, das heißt
> > [mm]x > y \Rightarrow f(x) > f(y)[/mm] (streng monoton wachsend)
> > oder [mm]x > y \Rightarrow f(x) < f(y)[/mm] (streng monoton fallend)
> > einer dieser beiden muss für alle x,y gelten.
>
> Warum die Funktion streng monoton wachsend oder fallend
> sein muss, ist mir klar, das Problem besteht nur darin,
> dass ich nicht mehr weiß, wie ich das beweisen kann (Abi
> liegt bald 3 Jahre zurück...).
> Wenn ich es richtig verstanden habe, gibt es mehrere
> Möglichkeiten, die Monotonie zu beweisen, die erste
> Ableitung ist aber die einfachste davon?
>
> > Nun kannst du entweder eben dies beweisen oder du zeigst,
> > dass die Steigung immer größer oder immer kleiner 0 ist.
> > Also f'(x) < 0 für alle x oder f'(x) > 0 für alle x.
> > Welchen davon du nimmst ist dir überlassen.
>
> Zunächst die 1. Ableitung:
>
> [mm]f'(x)=a^{x}\mbox{ln }a[/mm]
>
> Jetzt muss man doch die NST ermitteln
Wozu ?
> , in [mm]f(x)\!\[/mm] einsetzen
> und das Verhalten beobachten...?
>
> Problem: [mm]f'(x)[/mm] hat keine NST. Wie gehe ich hier dann vor?
Du hast: [mm]f'(x)=a^{x}\mbox{ln }a[/mm]
Fall 1: a>1. Dann ist ln(a)>0 und somit f'(x)>0 für jedes x [mm] \in \IR. [/mm] f ist also streng wachsend und somit bijektiv
Fall 1: a<1. Dann ist ln(a)<0 und somit f'(x)<0 für jedes x [mm] \in \IR. [/mm] f ist also streng fallend und somit bijektiv
FRED
>
>
> Vielen Dank für die große Unterstützung bisher, sonst
> wäre ich wirklich total verloren...
>
> Gruß
> el_grecco
>
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