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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:45 Do 24.01.2008 | | Autor: | Damn88 |
| Aufgabe | Aufgabe 1:
Es sei M = {1,...n}, [mm] \sigma \in S_n. [/mm] Zeigen Sie:
[mm] \summe_{i,j \in M, i
Aufgabe 2:
Schreiben Sie das folgende Element von [mm] S_7 [/mm] als Produkt von Zykeln:
[mm] \pmat{ 1 & 2&3&4&5&6&7 \\ 7&6&3&2&5&1&4 }
[/mm]
Aufgabe 3:
Ist das folgende Element aus [mm] S_7 [/mm] konjugiert zu dem Element, dessen Zykelzerlegung Sie in Aufgabe 2 bestimmt haben? Begründen Sie ihre Antwort!
[mm] \pmat{ 1 & 2&3&4&5&6&7 \\ 4&2&3&6&7&1&5 } [/mm] |
Hallo,
da ich am Samstag meine Lineare Algebra I Klausur schreibe, wollt ich hier ein paar Dinge fragen.
Zu 1) Das ist ja eigentlich ganz logisch, da die rechte Seite der Gleichung sich ja nur höchstens im Vorzeichen zur linken Seite unterscheiden, da es ja um die selben Werte nur in einer anderen "Reihenfolge" geht. Durch den Betrag auf der rechten Seite ist die Gleichung dann erfüllt. Aber wie beweist man das denn formal?
zu 2)
ich habe da (1 7 4 2 6 )(3)(5) raus, setzen wir das mal als [mm] \sigma
[/mm]
zu 3)
in Zykelschreibweise: (1 4 6)(5 7)(2)(3) := [mm] \tau
[/mm]
und da die Partition von [mm] \sigma [/mm] (5,1,1) ist und die von [mm] \tau [/mm] (3,2,1,1) (Habe ich die Partition so richtig verstanden?) ist, folgt dass [mm] \sigma [/mm] und [mm] \tau [/mm] nicht konjugiert sind.
Und dann habe ich noch eine andere kleine Frage, wir haben heute mit Determinanten angefangen und für n= 3, war das: [mm] a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}
[/mm]
Nun dann hat der Professor kurz gesagt wie die Vorzeichen zustande kommen: z.B.:
[mm] +a_{12}a_{23}a_{31}
[/mm]
Er meinte sowas in der Art:
Das ist ja eigentlich die Permutation in Zykelschreibweise (123)
aber er meinte dann da man dies als Produkt von 4 Transformationen schreiben kann, ist die Permutation gerade und daher "+1"
Aber wie kommt man auf 4 Transpositionen? Ich hätte gedacht es sind 2:
(12)(23), okay da kommt zwar dann auch gerade und somit "+1" raus.. aber wie sieht denn die Permutation als Produkt von 4 Transpositionen aus?
Danke schon mal für eure Hilfe..
Grüße
Damn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:23 So 27.01.2008 | | Autor: | Damn88 |
Hey,
die Klausur ist zwar jetzt geschrieben, aber die Lineare Algebra geht ja trotzdem weiter :)
Also wenn mir doch jemand helfen kann, wäre ich dankbar :)
Grüße,
Damn
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:38 Mo 28.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Aufgabe 1:
> Es sei M = {1,...n}, [mm]\sigma \in S_n.[/mm] Zeigen Sie:
> [mm]\summe_{i,j \in M, i
> [mm]\summe_{i,j \in M, i
>
> Aufgabe 2:
> Schreiben Sie das folgende Element von [mm]S_7[/mm] als Produkt von
> Zykeln:
> [mm]\pmat{ 1 & 2&3&4&5&6&7 \\ 7&6&3&2&5&1&4 }[/mm]
>
> Aufgabe 3:
> Ist das folgende Element aus [mm]S_7[/mm] konjugiert zu dem
> Element, dessen Zykelzerlegung Sie in Aufgabe 2 bestimmt
> haben? Begründen Sie ihre Antwort!
> [mm]\pmat{ 1 & 2&3&4&5&6&7 \\ 4&2&3&6&7&1&5 }[/mm]
> Hallo,
> da ich am Samstag meine Lineare Algebra I Klausur
> schreibe, wollt ich hier ein paar Dinge fragen.
>
> Zu 1) Das ist ja eigentlich ganz logisch, da die rechte
> Seite der Gleichung sich ja nur höchstens im Vorzeichen zur
> linken Seite unterscheiden, da es ja um die selben Werte
> nur in einer anderen "Reihenfolge" geht. Durch den Betrag
> auf der rechten Seite ist die Gleichung dann erfüllt. Aber
> wie beweist man das denn formal?
im Prinzip so, wie du gesagt hast: Weise zuerst darauf hin, daß links und rechs offenbar über die selben [mm] $\frac{n * (n-1)}{2}$ [/mm] 2-elementigen Teilmengen von M summiert wird und begründe dann mit der Bijektivität von [mm] $\sigma$, [/mm] daß die beiden Summen bis auf die Reihenfolge sogar summandenweise übereinstimmen. Das Betragzeichen ist rechts offensichtlich überflüssig, weil i<j gilt.
> zu 2)
> ich habe da (1 7 4 2 6 )(3)(5) raus, setzen wir das mal
> als [mm]\sigma[/mm]
ja.
> zu 3)
> in Zykelschreibweise: (1 4 6)(5 7)(2)(3) := [mm]\tau[/mm]
ja.
> und da die Partition von [mm]\sigma[/mm] (5,1,1) ist und die von
> [mm]\tau[/mm] (3,2,1,1) (Habe ich die Partition so richtig
> verstanden?) ist, folgt dass [mm]\sigma[/mm] und [mm]\tau[/mm] nicht
> konjugiert sind.
richtig. (man nennt das den "Typ" einer Permutation)
> Und dann habe ich noch eine andere kleine Frage, wir haben
> heute mit Determinanten angefangen und für n= 3, war das:
> [mm]a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}[/mm]
> Nun dann hat der Professor kurz gesagt wie die Vorzeichen
> zustande kommen: z.B.:
> [mm]+a_{12}a_{23}a_{31}[/mm]
> Er meinte sowas in der Art:
> Das ist ja eigentlich die Permutation in Zykelschreibweise
> (123)
> aber er meinte dann da man dies als Produkt von 4
> Transformationen schreiben kann, ist die Permutation gerade
> und daher "+1"
> Aber wie kommt man auf 4 Transpositionen? Ich hätte
> gedacht es sind 2:
du hast recht.
> (12)(23), okay da kommt zwar dann auch gerade und somit
> "+1" raus.. aber wie sieht denn die Permutation als Produkt
> von 4 Transpositionen aus?
naja, wenn du 2 mal die selbe beliebige Transposition davor oder dahinter hängst ändert das natürlich nichts.
Gruß
Will
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