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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Audience |
| Aufgabe | Sei (G, *) eine Gruppe und g ein beliebiges Element von G. Die Menge <g> sei definiert durch <g> := [mm] {g^{n} : n Element \IZ}
[/mm]
Die Bezeichnung [mm] g^{n} [/mm] steht für die n-malige Verknüpfung von g mit sich selbst.
a) Zeigen Sie, dass (<g>, *) eine kommutative Gruppe ist ("zyklische Gruppe")
b) Bestimmen Sie <g> für (G, *) = [mm] (\IZ, [/mm] +) und g = -3
(* steht für eine beliebige Verknüpfung)
![[]](/images/popup.gif) (Aufgabe in schön) |
Zur a)
Wie soll ich das zeigen? Die einzelnen Eigenschaften von Monoid bis zur kommmutativen Gruppe zeigen?
Was mich stutzig macht ist diese Bemerkung, dass n nur die n-malige Verknüpfung von g mit sich selbst bedeute. Wenn das so abstrakt definiert ist, wie kann ich dann da etwas beweisen?
Zur b)
Wenn ich das richtig verstanden habe, so ist <g> = (-3,-6,-9,-12...) ?
Vielen Dank für alle Lösungshinweise und Tipps.
Gruß,
Thomas
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> Sei (G, *) eine Gruppe und g ein beliebiges Element von G.
> Die Menge <g> sei definiert durch <g> := [mm]{g^{n} : n Element \IZ}[/mm]
>
> Die Bezeichnung [mm]g^{n}[/mm] steht für die n-malige Verknüpfung
> von g mit sich selbst.
>
> a) Zeigen Sie, dass (<g>, *) eine kommutative Gruppe ist
> ("zyklische Gruppe")
> b) Bestimmen Sie <g> für (G, *) = [mm](\IZ,[/mm] +) und g = -3
>
> (* steht für eine beliebige Verknüpfung)
>
> (Aufgabe in schön)
>
> Zur a)
> Wie soll ich das zeigen? Die einzelnen Eigenschaften von
> Monoid bis zur kommmutativen Gruppe zeigen?
Hallo,
nein, zeig, daß es eine Untergruppe von G ist.
> Zur b)
> Wenn ich das richtig verstanden habe, so ist <g> =
> (-3,-6,-9,-12...) ?
Bedenke, daß die Inversen auch drin sein müssen und natürlich das neutrale Element.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Audience |
Danke erstmal für deine Antwort.
Also zu b)
Dann wäre das inverse Elemente und neutralem:
<g> = {0, -3, 3, -6, 6, ...}
zu a)
Wie meinst du das mit der Untergruppe von G? Wie wäre da ein Ansatz und was folgt daraus, wenn <g> eine Untergruppe von G ist?
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> Danke erstmal für deine Antwort.
> Also zu b)
> Dann wäre das inverse Elemente und neutralem:
> <g> = {0, -3, 3, -6, 6, ...}
Ja.
>
> zu a)
> Wie meinst du das mit der Untergruppe von G? Wie wäre da
> ein Ansatz
Du guckst in Deinem Skript nach, welches die Bedingungen für Untergruppe sind und prüfst die.
Dann zeigst Du noch die Kommutativität.
und was folgt daraus, wenn <g> eine Untergruppe
> von G ist?
Daß es eine Gruppe ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:49 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Audience |
Das Problem ist eher, dass wir keine zyklische Gruppe geschweige denn Untergruppen hatten, deswegen weiß ich nicht wie der Prof die Lösung erwartet.
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> Das Problem ist eher, dass wir keine zyklische Gruppe
> geschweige denn Untergruppen hatten,
Hallo,
dann mußt Du für <g> sämtliche Axiome für abelsche Gruppe zeigen.
Du mußt dabei bedenken, daß die Elemente aus <g> alls die Gestalt [mm] g^k [/mm] haben für ein [mm] k\in \IZ, [/mm] und auch in der Gruppe G sind.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 So 11.11.2007 | | Autor: | Audience |
Damit (<g>, o) eine kommutative Gruppe ist müssen folgende Eigenschaften erfüllt für Elemente h,i,j von <g> sein:
- Assoziativität -
[mm] (h^{n} [/mm] o [mm] i^{n}) [/mm] o [mm] j^{n} [/mm] = [mm] h^{n} [/mm] o [mm] (i^{n} [/mm] o [mm] j^{n})
[/mm]
Ist erfüllt, da <g> Element von G ist, welches eine Gruppe ist. Damit müssen auch alle Elemente von <g> assoziativ sein.
- Inverses Element -
[mm] h^{n} [/mm] o [mm] h^{-n} [/mm] = [mm] h^{0}
[/mm]
- Einselement -
[mm] h^{n} [/mm] o [mm] h^{0} [/mm] = [mm] h^{n+0} [/mm] = [mm] h^{n}
[/mm]
- Kommutativität
[mm] h^{n} [/mm] o [mm] i^{n} [/mm] = [mm] i^{n} [/mm] o [mm] h^{n} [/mm]
Erfüllt, da [mm] g^{n} [/mm] nur für die n-malige Verkettung von g mit sich selbst steht, ist die Reihenfolge egal.
Soweit mein Lösungsversuch. Stimmt das so?. Danke für alle Zusatzbemerkungen und Tipps.
Gruß,
Thomas
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Hallo,
> Damit (<g>, o) eine kommutative Gruppe ist müssen folgende
> Eigenschaften erfüllt für
alle
> Elemente h,i,j von <g> sein:
>
> - Assoziativität -
> [mm](h^{n}[/mm] o [mm]i^{n})[/mm] o [mm]j^{n}[/mm] = [mm]h^{n}[/mm] o [mm](i^{n}[/mm] o [mm]j^{n})[/mm]
>
> Ist erfüllt, da <g> Element von G ist, welches eine Gruppe
> ist.
Momentchen mal! <g> ist eine Menge, die Menge, welche allen pos. und neg. Potenzen v. g enthält.
Es ist also <g> eine Teilmenge von G.
> Damit müssen auch alle Elemente von <g> assoziativ
> sein.
Es gibt keine assoziativen Elemente. Assoziativ kann höchstens eine Verknüpfung sein.
Dies ist hier gegeben, wie Du richtig erkennst. Warum?
<g> ist eine Teilmenge von G, und auf G ist die Verknüpfung assoziativ, also auch auf auch <g>.
Nach der Assoziativität behandelt man üblicherweise die Kommutativität,
> - Kommutativität
> [mm]h^{n}[/mm] o [mm]i^{n}[/mm] = [mm]i^{n}[/mm] o [mm]h^{n}[/mm]
> Erfüllt, da [mm]g^{n}[/mm] nur für die n-malige Verkettung von g mit
> sich selbst steht, ist die Reihenfolge egal.
Deine Begründung zeigt, daß Du verstanden hast, warum das so ist.
Schreib es so auf: Seien [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2 \in [/mm] <g>.
Nach Def. von <g> gibt es n,m [mm] \in \IZ [/mm] mit [mm] g_1=g^m [/mm] und [mm] g_2=g^n.
[/mm]
Nun rechne vor, warum [mm] g_1g_2=g_2g_1 [/mm] ist.
Du kannst hierfür die für G gezeigten Potenzgesetze benutzen.
Nun behandelt man das neutrale Element, denn es ist sinnlos, das inverse vorm neutralen zu behandeln.
> - Einselement -
> [mm]h^{n}[/mm] o [mm]h^{0}[/mm] = [mm]h^{n+0}[/mm] = [mm]h^{n}[/mm]
Was Du hier schreibst, überzeugt nicht. Kein Mensch weiß, was mit h gemeint ist.
Glaubhaft versichern mußt Du hier in erster Linie, daß die 1 aus G in der Menge <g> liegt. Das ist leicht: es ist ja [mm] g^0:=1.
[/mm]
>
> - Inverses Element -
> [mm]h^{n}[/mm] o [mm]h^{-n}[/mm] = [mm]h^{0}[/mm]
Hier weiß wieder kein Mensch so recht, was das mit dem [mm] h^n [/mm] auf sich hat.
Zeigen willst Du hier, daß jedes Element aus <g> ein Inverses hat.
Sei also [mm] h\in [/mm] G. Dann gibt es ein [mm] n\in \IZ [/mm] mit [mm] h=g^n. [/mm] Nach Def. von <g> ist auch [mm] g^{-n}\in [/mm] <g>.
Es ist [mm] g^ng^{-n}=..., [/mm] also hat jedes...
Gruß v. Angela
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