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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Di 19.02.2008 | | Autor: | Dave11 |
Guten Tag zusammen,
ich schreibe nächste Woche eine Klausur und habe noch meine Probleme
mit den T-zyklischen Unterräumen.
Wir haben folgende Definition besprochen:
Sei T:V [mm] \to [/mm] V linear und U [mm] \subset [/mm] V ein Unterraum
U heisst T-zyklisch [mm] \gdw \exists [/mm] v [mm] \in [/mm] U mit [mm] =U
[/mm]
V ist zyklischer Vektor von U
Ich habe erfahren, dass ich eventuell in der Klausur einen zyklischen Vektor
bestimmen muss.Nur haben wir dazu keinerlei Übungen gehabt und
nach Beispielen habe ich auch schon ne Ewigkeit gesucht.
Es würde mir also wirlich sehr helfen wenn mir jemand nochmal etwas dazu sagen könnte und mir vielleicht ein Beispiel dazu geben könnte, wie mann
so einen zyklischen Vektor bestimmt.
Danke
MFG DAVE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:29 Di 19.02.2008 | | Autor: | andreas |
hi
du kannst dir ja beispielsweise mal überlegen, wie die zyklischen unterräume einer diagonalmatrix aussehen, bei der lauter gleiche eigenwerte auf der diagonalen stehen, also [m] \left( \begin{array}{ccccc} \lambda \\ & \lambda \\ & & \ddots \\ & & & \lambda \\ & & & & \lambda \end{array} \right) [/m]. oder überlege dir, wie die zyklischen unterräume eines jordan-blocks aussehen, also für [m] \left( \begin{array}{ccccc} \lambda & 1 \\ & \lambda & 1 \\ & & \ddots & \ddots \\ & & & \lambda & 1 \\ & & & & \lambda \end{array} \right) [/m]. setze hier insbesondere die kannonischen basisvektoren ein und betrachte die davon erzeugeten zyklischen unterräume. man kann zeigen, dass dies in diesen fällen alle sind. (im ersten fall gibt es genau zwei zyklische unterräume, im zweiten fall gibt es genau $n + 1$ zyklische unterräume, wenn es sich um eine $n [mm] \times [/mm] n$-matrix handelt). aus diesen ergebnissen kann man dann alle zyklischen unterräume von matrizen in jordan-normalform ableiten.
bei matrizen in allgemeiner form ist das problem zyklische unterräume zu erkennen deutlich schwieriger, kann aber natürlich durch transformation auf jordannormalform auf obiges reduziert werden.
ich hoffe dir ist der sachverhalt etwas klarer geworden, wenn nicht, frage nochmals nach.
grüße
andreas
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