Zyklus-Typ (cycle-type) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Schönen guten Abend!
Ich arbeite gerade einen Beweis durch und möchte ihn lückenlos verstehen. Und zwar geht es um den Beweis zu folgendem Satz:
Jede auflösbare transitive Untergruppe von [mm] \cal{S} [/mm] (p) ist konjugiert zu einer Untergruppe der eindimensionalen affin-linearen Gruppe modulo p (AGL(1, [mm] \IF_{p})), [/mm] die den Erzeuger der p-Sylow von [mm] AGL(1,\IF_{p}) [/mm] enthält.
Okay, ist wohl im Zusammenhang einfacher nachzuvollziehen (wen es interessiert: Galois Theory von David A. Cox, Seite 409). Mein Problem ist auch eher etwas, was in dem Beweis benutzt wird. Da wird auf eine Aufgabe im Kapitel vorher verwiesen und mit der etwas gefolgert. Dort soll nämlich bewiesen werden, dass:
Zwei Permutationen aus [mm] \cal{S} [/mm] (n) genau dann konjugiert sind, wenn sie den gleichen "cycle-type" haben.
Nun finde ich bloß leider nur in diesem Buch eine Definition, was das überhaupt ist. Weder im Jacobson noch im Lang und erst recht in keinem deutschen Buch (Scheja/Storch etc.) hab ich darüber was gefunden. Und ich weiß auch nicht wirklich, wie man das in Deutsche übersetzen kann.
Im Cox war zwar eine Definition, aber ich hab keine Ahnung wie ich mit der den Schritt nachvollziehen kann. Und das Ergebnis der Aufgabe, also den Satz, unbewiesen hinnehmen mag ich nicht.
Also meine Frage:
Wäre irgendjemand so nett mir eine deutsche Bezeichnung für "cycle type" zu geben oder, was natürlich noch besser wäre, eine Definition für den cycle type zu geben? Ich hätte natürlich auch nichts dagegen, wenn mir jemand eine Idee für den Beweis des Satzes geben könnte.
Ich mag lückenhaftes Verständnis einfach nicht...
Viele Grüße!
ck
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:07 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Also dein genaues Problem habe ich nicht gefunden, aber vielleicht etwas, das uns auf die richtige Spur führen könnte. Im Meyberg steht nämlich im Kapitel 2.4, Punkt 2.4.17 ein Lemma das wie folgt lautet:
"Für $n [mm] \ge [/mm] 5$ sind alle 3-Zykeln konjugiert in [mm] $A_n$, [/mm] d.h., zu 3-Zykeln $g,h [mm] \in A_n$ [/mm] gibt es $f [mm] \in A_n$ [/mm] mit [mm] $fgf^{-1} [/mm] = h$.
Es folgt dann der Beweis, den ich hier aber nicht abtippen mag, weil der über eine Seite geht...
Vielleicht hilft es dir ja etwas, ich setze mal auf teilw. beantwortet, ok?
Gruß Micha 
|
|
|
| |
|
Hi!
Vielen Dank, aber das passt nicht. Das was ich brauche ist ja schon was ganz anderes. Diese "cycle-types" spielen da schon eine wichtige Rolle, vor allem eben dieser Satz, den ich meinte. Und der ist ja nun wesentlich stärker und viel allgemeiner.
Danke trotzdem!
Grüße,
ck
|
|
|
| |
|
Salut!
Das englische "cycle" wird übersetzt mit "zyklische Permutation", "cycle types" müssten dann die Typen der zyklischen Permutation(en) sein.
Das Ganze läuft wohl darauf hinaus, dass jede zu einem Zyklus der Länge k konjugierte Permutation wieder ein Zyklus der Länge k ist (das also die konjugierte Permutation bspw. eines 3-Zyklus wieder ein 3-Zyklus ist).
Beweisskizze:
Seien h und g zyklische Permutationen, h der Länge k. Der Zyklus h = [mm] (i_{1}...i_{k}) [/mm] bedeutet o. B. d. A. [mm] h(i_{j}) [/mm] = [mm] i_{j+1} [/mm] (Transposition) für j = 1,...,k-1 und [mm] h(i_{k}) [/mm] = [mm] i_{1}. [/mm] Für die kunjugierte Permutation [mm] ghg^{-1} [/mm] ergibt sich daraus [mm] ghg^{-1}(g(i_{j}))=gh(i_{j})=g(i_{j+1}) [/mm] jeweils für j = 1,...,k-1, sowie [mm] ghg^{-1}(g(i_{k}))=gh(i_{k})=g(i_{1}). [/mm] Dies zeigt aber gerade, dass [mm] ghg^{-1} [/mm] durch den Zyklus [mm] (g(i_{1}),...,g(i_{k})) [/mm] beschrieben werden kann.
Oder so ähnlich... ;)
Au revoir!
|
|
|
| |
|
Hi!
Ja, danke, das scheint schon in die Richtung zu gehen. Aber man kann ja nicht mit was beweisen, von dem man keine genaue Definition hat. Und die Definition davon ist anders. Da wird über alle disjunkten Zyklen und ihre Länge gesprochen. Da reicht nicht eine.
Also danke, geht schon gut in die Richtung, aber die exakte Definition ist nunmal von Nöten... :-/
Danke trotzdem und viele Grüße!
ck
|
|
|
| |
|
Hallo!
Jetzt versuche ich mal mein Glück...
Die beste Übersetzung ist wohl "Typ einer Permutation".
Im Prinzip geht es hier um invariante Teilmengen und um die Größe dieser Teilmengen. Du kannst ja eine Permutation als Hintereinanderausführung von disjunkten Zyklen schreiben. Die Länge dieser Zyklen ist dann der Typ, wobei man die Zahlen der Größe nach ordnet. Ich erkläre es am besten anhand eines Beispiels.
Wir betrachten Permutationen auf [mm] $\{1,2,3,4\}$.
[/mm]
Die Permutation $(1,2)(3,4)$ (d.h. $1$ und $2$ werden vertauscht, $3$ und $4$ werden vertauscht) hat den Typ (2,2).
Die Permutation $(1,2,3)=(1,2,3)(4)$ hat den Typ (3,1).
Ebenso die Permutation $(2,3,4)=(1)(2,3,4)$.
Und die Permutation $(1,4,2,3)$ hat den Typ $(4)$...
Gruß, banachella
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:15 Fr 03.06.2005 | | Autor: | gammakappa |
Salute!
Vielen Dank, hat sich aber heut erledigt. Hab einfach nen anderen Satz genommen. Bei dem ist der Beweis quasi trivial und die Folgerung innerhalb des anderes Beweises ist dann auch sofort viel klarer. Jetzt konnt ich das auch alles ohne schlechtes Gewissen in mein Seminar einbauen (Satz von Galois über Polynome vom Primgrad). Ich nehm da ja keine Beweise rein, die ich nicht verstehe, wenn ich sie schon nicht selber mache, nech? Obwohl die Definition der Zyklus-Typen dann auch klar war. Habs nirgendwo so umständlich gefunden wie im Cox...
Bin fertig und happy :o)
Grüße!
ck
|
|
|
|
