Zylinder < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 Fr 17.02.2006 | | Autor: | Ynm89 |
| Aufgabe | Es ist ein Zylinder mit Radius r und Höhe h gegeben. Aus diesem wird ein Zylinder mit r' und gleicher Höhe h so herausgebohrt, dass der herausgebohrte Zylinder und der Restkörper gleich große Oberfläche besitzen.
a) Bestimme für h= 1/8 r den Radius r'
b) Bestimme für beliebiges h den Radius r'. Wie groß darf h höchstens sein? |
Ich habe versucht diese Aufgabe anzugehen doch ich kapier sie überhaupt nicht. Ich weiß nicht mal wie ich sie beginnen soll.
Könnt ihr mir helfen?
bitte
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 Fr 17.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ynm!
Der herausgebohrte Körper ist ein Zylinder, mit der üblichen Oberfläche:
[mm] $O_1 [/mm] \ = \ [mm] 2*G_1+M_1 [/mm] \ = \ [mm] 2*\pi*r'^2+2*\pi*r'*h [/mm] \ = \ [mm] 2*\pi*r'*(r'+h)$
[/mm]
Der Restkörper ist etwas komplizierter. hier haben wir als Grundflächen (Boden und Deckel) jeweils einen Kreisring:
[mm] $G_2 [/mm] \ = \ [mm] \pi*r^2-\pi*r'^2 [/mm] \ = \ [mm] \pi*\left(r^2-r'^2\right)$
[/mm]
Dazu kommt der Außenmantel [mm] $M_{\text{außen}} [/mm] \ = \ [mm] 2*\pi*r*h$ [/mm] sowie der Innenmantel, der durch das Herausbohren entsteht:
[mm] $M_{\text{innen}} [/mm] \ = \ [mm] 2*\pi*r'*h$
[/mm]
Damit ergibt sich folgende Oberfläche:
[mm] $O_2 [/mm] \ = \ [mm] 2*G_2 [/mm] + [mm] M_{\text{außen}} +M_{\text{innen}} [/mm] \ = \ [mm] 2*\pi*\left(r^2-r'^2\right) [/mm] + [mm] 2*\pi*r*h [/mm] + [mm] 2*\pi*r'*h$
[/mm]
[mm] $O_2 [/mm] \ = \ [mm] 2*\pi*\left[\left(r^2-r'^2\right) + r*h + r'*h\right]$
[/mm]
Nun musst Du diese beiden Oberflächenformeln für [mm] $O_1$ [/mm] und [mm] $O_2$ [/mm] gleichsetzen und nach $r'$ auflösen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:59 So 19.02.2006 | | Autor: | Ynm89 |
Wenn ich die zwei Gleichgesetzt habe und nach r' aufgelöst habe, was muss ich dann machen, wenn ich für h=1/8r den Radius r' bestimmen soll und wenn ich dann für ein beliebiges h den Radius r' bestimmen soll und die Frage zum zweiten berechnen heißt: Wie groß darf h höchstens sein???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:28 So 19.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ynm!
Wie hast Du denn nach $r'_$ umgeformt bzw. wie lautet denn Dein Ergebnis?
Wenn Du das zunächst allgemein gelöst hast, brauchst Du doch für Aufgabe a.) lediglich den Wert $h \ = \ [mm] \bruch{1}{8}r$ [/mm] in diese Formel einsetzen und zusammenfassen.
Für den oberen Grenzwert von $h_$ solltest Du bedenken, dass gelten muss $r' \ < \ r$ !
Hier also dann die allgemeine Formel nach $h \ < \ ...$ umstellen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 So 19.02.2006 | | Autor: | Ynm89 |
ich komme nicht darauf wie ich es nach r' auflösen soll.... ich weiß zwar wie man gleichungen nach variablen auflöst doch bei dieser gleichung bleib ich hängen... kannst du mir vielleicht das bitte vorrechnen?
Danke, lieb von dir
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:03 So 19.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ynm!
Zumindest die ersten Schritte gebe ich mal vor ...
Zu lösen bzw. umzustellen ist folgende Gleichung:
[mm] $O_1 [/mm] \ = \ [mm] O_2$
[/mm]
[mm] $2\pi*\left(r^2-r'^2+r*h+r'*h\right) [/mm] \ = \ [mm] 2\pi*r'*(r'+h)$
[/mm]
[mm] $2\pi*\left(r^2-r'^2+r*h+r'*h\right) [/mm] \ = \ [mm] 2\pi*\left(r'^2+r'*h\right)$
[/mm]
Nun teilen wir zunächst durch [mm] $2\pi$ [/mm] ...
[mm] $r^2-r'^2+r*h+r'*h [/mm] \ = \ r'^2+r'*h$
Auf beiden Seiten $- \ r'*h$ :
[mm] $r^2-r'^2+r*h [/mm] \ = \ r'^2$
Nun bringe mal die $r'^2$ auf eine Seite der Gleichung und den Rest auf die andere Seite. Letzter Schritt: Wurzel ziehen.
Wie lautet Dein Ergebnis?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 So 19.02.2006 | | Autor: | Ynm89 |
[mm] \wurzel{r²-r*h/2} [/mm] = r'
Stimmt das?
oder nicht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:14 So 19.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ynm!
Das stimmt nicht ganz. Zum einen hast Du Klammern vergessen (denn das [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] bezieht sich auf alles in der Wurzel) und außerdem gehört da ein Pluszeichen hin:
$r' \ = \ [mm] \wurzel{\bruch{r^2+r*h}{2}}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 So 19.02.2006 | | Autor: | Ynm89 |
muss ich jetzt für h 1/8 r einsetzen und dann weil dann hab ich ja noch die variable r und r² im Term stehen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 So 19.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ynm!
Genau: nun einsetzen in die o.g. Formel $h \ = \ [mm] \bruch{1}{8}r$ [/mm] ,
Anschließend zusammenfassen und dann sollte da stehen $r' \ = \ [mm] \text{irgendein Faktor} [/mm] * r$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 So 19.02.2006 | | Autor: | Ynm89 |
Wie soll ich das zusammenfassen
Ich hab dann stehen
[mm] \wurzel \bruch{r²+r*h}{2} [/mm] = r'
wie fass ich das zusammen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 So 19.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ynm!
Diesen Ausdruck kannst Du nicht mehr zusammenfassen. Aber nach dem Einsetzen von $h \ = \ [mm] \bruch{1}{8}*r$ [/mm] schon ...
[mm]r' \ = \ \wurzel{\bruch{r^2+r*h}{2}} \ = \ \wurzel{\bruch{r^2+r*\blue{\bruch{1}{8}*r}}{2}} \ = \ \wurzel{\bruch{r^2+\bruch{1}{8}*r^2}{2}} \ = \ ...[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 So 19.02.2006 | | Autor: | Ynm89 |
[mm] \wurzel \bruch{r²(1+\bruch{1}{8}}{2}
[/mm]
= [mm] \wurzel \bruch{9/8*r²}{2}
[/mm]
[mm] =\wurzel\bruch{4r²}{9}
[/mm]
stimmt das so oder ist das falsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 So 19.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ynm!
Erste und zweite Zeile sind okay ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") . Aber beim weiteren Zusammenfassen / Bruchrechnen ist Dir ein Fehler unterlaufen:
[mm] $\bruch{\bruch{9}{8}}{2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{9}{8}*\bruch{1}{2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{9}{16}$
[/mm]
Und nun noch die Wurzel ziehen ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 So 19.02.2006 | | Autor: | Ynm89 |
[mm] \bruch{3}{4}r²
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 So 19.02.2006 | | Autor: | Ynm89 |
[mm] \bruch{3}{4}r
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 So 19.02.2006 | | Autor: | Loddar |
.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 So 19.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Der Bruch ist richtig. Aber das Quadrat beim [mm] $r^{\red{2}}$ [/mm] ist falsch! Warum?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 So 19.02.2006 | | Autor: | Ynm89 |
zu 2. teil
was muss ich machen damit ich den 2.Teil berechnen kann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 So 19.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ynm!
Wie oben bereits geschrieben, gilt: $r' \ < \ r$ .
Damit musst Du folgende Ungleichung umstellen nach $h \ < \ ...$ :
[mm] $\wurzel{\bruch{r^2+r*h}{2}} [/mm] \ < \ r$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 So 19.02.2006 | | Autor: | Ynm89 |
hmm... wie ging das nochmal
ich weiß es leider nicht mehr...sorry bin voll die Mathenull
Kannst du mir helfen??
Sorry dass ich dich nerve oder so
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 So 19.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ynm!
Beginne mal, indem Du die Wurzel eliminierst, sprich: diese Ungleichung quadrierst.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 So 19.02.2006 | | Autor: | Ynm89 |
das heißt dann
[mm] \bruch{r²+r*h}{2} [/mm] < r²
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 So 19.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ynm!
Genau! Nun weiter auflösen nach $h_$ . Also zunächst mit $2_$ multiplizieren usw.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 So 19.02.2006 | | Autor: | Ynm89 |
| Aufgabe | | [mm] \wurzel\bruch{r²+r*h}{2} [/mm] < r |
ich habe es quadriert dann heißt es
[mm] \bruch{r²+r*h}{2}
umgeformt lautet diese dann:
[mm] \bruch{r²+r}{2r²} [/mm] <h
ist das richtig
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 So 19.02.2006 | | Autor: | Seppel |
Hi!
Die Umformung ist nicht richtig. Du hast dich da etwas vertan, und zwar:
$ [mm] \bruch{r²+r\cdot{}h}{2}
$r²+r*h<2r² | -r²$
$r*h<2r²-r² | :r$
[mm] $h<\bruch{2r²-r²}{r}$ [/mm] nun oben r ausklammern
[mm] $h<\bruch{r*(2r-r)}{r}$ [/mm] das r kürzt sich weg, also
$h<2r-r$
$h<r$
Gruß Seppel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:48 So 19.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Seppel!
Warum fasst Du denn [mm] $2r^2-r^2$ [/mm] nicht gleich zu [mm] $r^2$ [/mm] zusammen?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:50 So 19.02.2006 | | Autor: | Seppel |
Ja lol, weil ich das wohl übersehen habe!
Ich habe auch eine Frage: Warum werden meine Fragen nicht beantwortet? Ist schon eine komische Welt.
Ciao!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:52 So 19.02.2006 | | Autor: | Ynm89 |
hab ich mir auch gedacht...mittlererweile bin ich nämlich auf das gleiche ergebnis gekommen
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