Zylinder aus O und V < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben seien zwei positive Werte O (Dimension [mm] m^2) [/mm] und V (Dimension [mm] m^3).
[/mm]
Untersuche, unter welchen Voraussetzungen für O und V es einen
oder keinen oder mehr als einen (geraden Kreis-) Zylinder mit
Oberfläche O und Volumen V gibt.
Liefere dann auch möglichst praktikable Rezepte, um für die
(existierenden) Zylinder Radius und Höhe zu berechnen. |
Hallo,
es geht hier um eine interessante Frage zu den Themen
Elementargeometrie, Funktionsuntersuchung (und allenfalls
Extremalaufgaben) sowie kubische Gleichungen.
Deshalb wusste ich auch nicht genau, in welche "Schublade"
ich die Aufgabe stecken sollte .....
Ich gebe mit Absicht keine konkreten Zahlenwerte an, denn
es soll in erster Linie um eine Übersicht der Lösungsmöglich-
keiten gehen. Auch habe ich mir selber noch nicht alles bis
ins Detail überlegt.
Anfügen möchte ich, dass ich zu dieser Aufgabenstellung
durch das "Konkurrenzunternehmen" (??  ) "Gute-Mathe-Fragen"
angeregt worden bin, wo ich in letzter Zeit auch ein bisschen
geschnuppert habe ... ![[]](/images/popup.gif) Zylinder.
Für eine Diskussion des Themas halte ich aber den Matheraum
eindeutig für das geeignetere Forum ...
LG , Al-Chwarizmi
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An Moderator:
bitte obige Frage in üblicher Weise als Aufgabe "für alle"
kennzeichnen !
Besten Dank !
 Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 Do 21.08.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
bitte die obige Frage nicht beantworten: sie dient dazu, diese Knobelaufgabe in der Liste der offenen Fragen zu führen.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:53 Do 21.08.2014 | | Autor: | abakus |
> Gegeben seien zwei positive Werte O (Dimension [mm]m^2)[/mm] und V
> (Dimension [mm]m^3).[/mm]
>
> Untersuche, unter welchen Voraussetzungen für O und V es
> einen
> oder keinen oder mehr als einen (geraden Kreis-) Zylinder
> mit
> Oberfläche O und Volumen V gibt.
> Liefere dann auch möglichst praktikable Rezepte, um für
> die
> (existierenden) Zylinder Radius und Höhe zu berechnen.
> Hallo,
>
> es geht hier um eine interessante Frage zu den Themen
> Elementargeometrie, Funktionsuntersuchung (und allenfalls
> Extremalaufgaben) sowie kubische Gleichungen.
> Deshalb wusste ich auch nicht genau, in welche "Schublade"
> ich die Aufgabe stecken sollte .....
>
> Ich gebe mit Absicht keine konkreten Zahlenwerte an, denn
> es soll in erster Linie um eine Übersicht der
> Lösungsmöglich-
> keiten gehen. Auch habe ich mir selber noch nicht alles
> bis
> ins Detail überlegt.
>
> Anfügen möchte ich, dass ich zu dieser Aufgabenstellung
> durch das "Konkurrenzunternehmen" (?? )
> "Gute-Mathe-Fragen"
> angeregt worden bin, wo ich in letzter Zeit auch ein
> bisschen
> geschnuppert habe ...
> Zylinder.
> Für eine Diskussion des Themas halte ich aber den
> Matheraum
> eindeutig für das geeignetere Forum ...
>
> LG , Al-Chwarizmi
Hallo Al,
es gibt in den Mathebüchern dutzende Aufgaben der Form: "Welchen Radius und welche Höhe muss eine Konservenbüchse von ... [mm]cm^3[/mm] Inhalt haben, damit der Materialverbrauch für das Blech (also die Oberfläche) minimal wird?"
Diese Aufgaben sind lösbar, und mit r und h ist auch die minimale Oberfläche ermittelbar.
Noch minimaler geht halt nicht...
Gruß Abakus
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> Hallo Al,
> es gibt in den Mathebüchern dutzende Aufgaben der Form:
> "Welchen Radius und welche Höhe muss eine Konservenbüchse
> von ... [mm]cm^3[/mm] Inhalt haben, damit der Materialverbrauch für
> das Blech (also die Oberfläche) minimal wird?"
> Diese Aufgaben sind lösbar, und mit r und h ist auch die
> minimale Oberfläche ermittelbar.
> Noch minimaler geht halt nicht...
> Gruß Abakus
Hallo Abakus,
das ist mir natürlich klar, und ich habe derartige Extremwert-
aufgaben meinen Schülerinnen und Schülern auch oft gestellt
und die gelieferten Lösungen korrigiert und bewertet.
Hier soll es aber eben nicht um eine ganz konkrete zahlenmäßig
bestimmte Aufgabe gehen und auch nicht einfach um eine
Extremwertaufgabe, sondern eben darum, algebraische
Kriterien (ausgedrückt durch Gleichungen bzw. Ungleichungen
in O und V) zu erarbeiten, nach welchen man, bevor man mit
konkreten Rechnereien beginnt, entscheiden kann, wieviele
Lösungen (für einen Zylinder mit vorgegebener Oberfläche O
und Rauminhalt V) es geben wird. Ich denke, dass dies schon
eine um einiges anspruchsvollere Aufgabe ist als die Lösung
einer "gewöhnlichen" Schulbuch-Extremalaufgabe aus diesem
Bereich.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:20 Fr 22.08.2014 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
da irrt sich die Konkurrenz.
Es gibt drei Möglichkeiten für gegebene O,V:
1) Es existiert keine Lösung.
2) Es existiert genau eine Lösung.
3) Es existieren unendlich viele Lösungen.
edit: Unsinn. Der dritte Fall hat natürlich nur zwei Lösungen.
Die Aufgabe kann dann doch nur sein, zwischen den drei Fällen zu unterscheiden. Für den Fall 2 kann die Lösung angegeben werden, für den Fall 3 ist das naturgemäß nicht möglich.
edit: Bei zwei Fällen ist es sehr wohl möglich. Das ist auch der eigentlich interessante Fall.
Grüße
reverend
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> Hallo Al,
>
> da irrt sich die Konkurrenz.
> Es gibt drei Möglichkeiten für gegebene O,V:
> 1) Es existiert keine Lösung.
> 2) Es existiert genau eine Lösung.
> 3) Es existieren unendlich viele Lösungen. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Tschuldigung reverend, aber da komme ich jetzt nicht ganz mit.
O und V werden vorgegeben. Und dann unendlich viele
verschiedene Zylinder mit dieser vorgegebenen Oberfläche
und diesem vorgegebenen Volumen ? Da arbeitest du
möglicherweise mit einer extrem nicht-euklidischen
Geometrie ???
Gruß , Al
> Die Aufgabe kann dann doch nur sein, zwischen den drei
> Fällen zu unterscheiden. Für den Fall 2 kann die Lösung
> angegeben werden, für den Fall 3 ist das naturgemäß
> nicht möglich.
>
> Grüße
> reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:17 Fr 22.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> > Hallo Al,
> >
> > da irrt sich die Konkurrenz.
> > Es gibt drei Möglichkeiten für gegebene O,V:
> > 1) Es existiert keine Lösung.
> > 2) Es existiert genau eine Lösung.
> > 3) Es existieren unendlich viele Lösungen.
>
> Tschuldigung reverend, aber da komme ich jetzt nicht ganz
> mit.
> O und V werden vorgegeben. Und dann unendlich viele
> verschiedene Zylinder mit dieser vorgegebenen Oberfläche
> und diesem vorgegebenen Volumen ? Da arbeitest du
> möglicherweise mit einer extrem nicht-euklidischen
> Geometrie ???
Nicht nötig, auf das Parallelenaxiom zu verzichten - wir können euklidisch bleiben.
O=V=0 --> r=0 und h=beliebig, also unendliche viele (entartete) "Zylinder".
Allerdings gibts auch den Fall, dass es zumindest zwei Lösungen gibt, wie etwa für O=20 und V=5 (die dritte Lösung stellt sich hier mit einem negativen Radius ein). Werte, für die es drei gültige Lösungen gibt, konnte ich auf die Schnelle nicht finden.
Die symbolischen Lösungen, die mein CAS ausspuckt, sind allerdings eher abschreckend.
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> O=V=0 --> r=0 und h=beliebig, also unendliche viele
> (entartete) "Zylinder". ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Dazu zwei Bemerkungen:
1.) Sowohl Oberfläche=0 als auch Volumen=0 sind ausgeschlossen
(siehe Aufgabenstellung !)
> Allerdings gibts auch den Fall, dass es zumindest zwei
> Lösungen gibt, wie etwa für O=20 und V=5 (die dritte
> Lösung stellt sich hier mit einem negativen Radius ein).
> Werte, für die es drei gültige Lösungen gibt, konnte ich
> auf die Schnelle nicht finden.
2.) Falls O und V (beide positiv !) vorgegeben sind, gibt es
entweder keine, eine oder zwei mögliche Lösungen (natürlich
sollen auch r und h positiv sein !). Drei Lösungen sind nicht
möglich.
Die Aufgabe besteht darin, zwischen den drei möglichen
Fällen möglichst einfach formulierte Unterscheidungskriterien
aufzustellen, die es einem erlauben, nur aufgrund der
vorgegebenen Werte von O und V formal zu entscheiden,
welcher dieser drei Fälle nun wirklich vorliegt, ohne sich
schon in die Details der Berechnungen zu begeben.
Dies (konkrete Formeln für r und h) ist dann der zweite Teil.
Kai von "Gute-Mathe-Fragen" arbeitet ja an einem Programm,
das einen Zylinder aus nur zwei gegebenen Größen (z.B. Radius
und Höhe oder Höhe und Volumen oder eben z.B. Oberfläche
und Volumen) berechnen soll. Ich glaube, dass er den Fall mit
zwei Lösungen noch nicht wirklich bedacht hat.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:30 Fr 22.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> > O=V=0 --> r=0 und h=beliebig, also unendliche viele
> > (entartete) "Zylinder".
>
> Dazu zwei Bemerkungen:
>
> 1.) Sowohl Oberfläche=0 als auch Volumen=0 sind
> ausgeschlossen
Ja stimmt. Du hast O und V als positiv vorausgesetzt.
>
> 2.) Falls O und V (beide positiv !) vorgegeben sind, gibt
> es
> entweder keine, eine oder zwei mögliche Lösungen
> (natürlich
> sollen auch r und h positiv sein !). Drei Lösungen sind
> nicht
> möglich.
Ich vermute , dass das stimmt, aber woraus genau folgt das?
> Die Aufgabe besteht darin, zwischen den drei möglichen
> Fällen möglichst einfach formulierte
> Unterscheidungskriterien
> aufzustellen, die es einem erlauben, nur aufgrund der
> vorgegebenen Werte von O und V formal zu entscheiden,
> welcher dieser drei Fälle nun wirklich vorliegt, ohne
> sich
> schon in die Details der Berechnungen zu begeben.
Ja, das war schon klar.
> Dies (konkrete Formeln für r und h) ist dann der zweite
> Teil.
Nicht unbedingt. Aus den konkreten Formeln kann ja die von dir gewünschte Bedingung ablesbar sein.
Gruß RMix
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Hallo RMix
> > 2.) Falls O und V (beide positiv !) vorgegeben sind,
> > gibt es entweder keine, eine oder zwei mögliche
> > Lösungen (natürlich sollen auch r und h positiv sein !).
> > Drei Lösungen sind nicht möglich.
> Ich vermute , dass das stimmt, aber woraus genau folgt das?
Betrachte dazu den Graph der kubischen Funktion in r ,
deren allfällige (positive !) Nullstellen mögliche Zylinder-
radien ergeben.
Eine recht simple Betrachtung der generellen Eigenschaften
dieses Graphen zeigt, warum es höchstens zwei positive
Lösungen geben kann.
> > Die Aufgabe besteht darin, zwischen den drei möglichen
> > Fällen möglichst einfach formulierte
> > Unterscheidungskriterien
> > aufzustellen, die es einem erlauben, nur aufgrund der
> > vorgegebenen Werte von O und V formal zu entscheiden,
> > welcher dieser drei Fälle nun wirklich vorliegt, ohne
> > sich schon in die Details der Berechnungen zu begeben.
> Ja, das war schon klar.
> > Dies (konkrete Formeln für r und h) ist dann der zweite Teil.
> Nicht unbedingt. Aus den konkreten Formeln kann ja die von
> dir gewünschte Bedingung ablesbar sein.
Naja, für die Herleitung wird man wohl so vorgehen. Das
Ziel ist aber ein möglichst einfaches Rezept, nach welchem
dann ein User direkt von den vorgegebenen Werten von O
und V ausgehend entscheiden kann, ob es überhaupt
Lösungen gibt. Falls nein, muss er dann gar nicht mit
den konkreten Formeln für r und h weiterrechnen.
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:31 Fr 22.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Hallo RMix
>
> > > 2.) Falls O und V (beide positiv !) vorgegeben sind,
> > > gibt es entweder keine, eine oder zwei mögliche
> > > Lösungen (natürlich sollen auch r und h positiv
> sein !).
> > > Drei Lösungen sind nicht möglich.
>
> > Ich vermute , dass das stimmt, aber woraus genau folgt
> das?
>
> Betrachte dazu den Graph der kubischen Funktion in r ,
> deren allfällige (positive !) Nullstellen mögliche
> Zylinder-
> radien ergeben.
> Eine recht simple Betrachtung der generellen
> Eigenschaften
> dieses Graphen zeigt, warum es höchstens zwei positive
> Lösungen geben kann.
>
In der Tat. Eine in positive Ordinatenrichtung um $2*V$ verschobene, ursprungssymmetrische kubische Parabel mit [mm] $\limes_{r\rightarrow+\infty}f(r)\rightarrow+\infty$, [/mm] da muss es immer eine negative Nullstelle geben.
Außerdem ist der Koeffizient von [mm] $r^2$ [/mm] Null und somit ist die Summe aller drei Nullstellen immer Null, da können kaum alle drei positiv sein.
Das gesuchte Kriterium für zwei Lösungen ist dann wohl
[mm] $\br{O^3}{V^2}>54*\pi$
[/mm]
Bei Gleichheit gibts eine Lösung, sonst keine.
Gruß RMix
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> In der Tat. Eine in positive Ordinatenrichtung um 2*V
> verschobene, ursprungssymmetrische kubische Parabel mit
> [mm]\limes_{r\rightarrow+\infty}f(r)\rightarrow+\infty[/mm], da muss
> es immer eine negative Nullstelle geben.
> Außerdem addieren sich alle drei Nullstellen immer zu
> Null, da können kaum alle drei positiv sein.
>
> Das gesuchte Kriterium für zwei Lösungen ist dann wohl
>
> [mm]\br{O^3}{V^2}>54*\pi[/mm]
>
> Bei Gleichheit gibts eine Lösung, sonst keine.
Genau so ist es. Ich habe nicht einmal erwartet, dass gleich
einer das Entscheidungskriterium in dieser "schönsten"
möglichen Form liefert, die ich selber auch erst in einem
zweiten Anlauf so einfach formuliert hatte ...
Gruß , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:10 Di 26.08.2014 | | Autor: | rabilein1 |
> > Das gesuchte Kriterium für zwei Lösungen ist dann wohl
> >
> > [mm]\br{O^3}{V^2}>54*\pi[/mm]
> >
> > Bei Gleichheit gibts eine Lösung, sonst keine.
Wie muss ich mir das vorstellen: Jetzt mal von der konkreten Zahl [mm]54*\pi[/mm] abgesehen (auf die musste man ja kommen):
Bei festvorgegebenem Volumen darf die Oberfläche ruhig ins (nahezu) Unendliche wachsen. Das "Problem" löst man dadurch, dass man dann entweder den Radius oder die Höhe des Zylinders (nahezu) unendlich klein werden lässt. Also zwei Lösungen.
Sollte dagegen bei festvorgegebener Oberfläche das Volumen ins (nahezu) Unendliche wachsen, dann habe ich ein "echtes Problem". Ich habe nur eine festvorgegebene Menge an Papier zur Verfügung und soll daraus einen Zylinder basteln, wo das gesamte Wasser des Bodensees hineinpasst. Das kann doch nicht funktionieren!!! Also null Lösungen.
Daher war der Teil [mm]\br{O^3}{V^2}>F[/mm] klar. Man musste eben "nur noch" ausrechnen, wie groß dieses F ist.
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Gut überlegt, bis auf ein technisches Detail:
Um das Wasser eines Sees wie z.B. des Bodensees zylinderförmig zu verpacken (etwa um ihn als Wasserreserve auf eine Interstellar-Reise mitzunehmen ...) , würde ich anstatt Papier eher ein etwas anderes Material vorschlagen !
Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:11 Di 26.08.2014 | | Autor: | rabilein1 |
> Um das Wasser eines Sees wie z.B. des Bodensees
> zylinderförmig zu verpacken (etwa um ihn als Wasserreserve
> auf eine Interstellar-Reise mitzunehmen ...) , würde ich
> anstatt Papier eher ein etwas anderes Material vorschlagen!
Auf "Papier" kam ich wegen Bastelmaterial. Natürlich hält so ein Zylinder keine Flüssigkeit aus.
Das Trickige an der Formel sind eventuell noch die Dimensionen (hoch 3 / hoch 2). Eventuell kann man sich diese (ohne langes mathematisches Rechnen) dadurch erklären, dass die Formel sowohl für Meter, als auch für Zentimeter, Millimeter, Fuß, Zoll etc. gelten muss.
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> Das Trickige an der Formel sind eventuell noch die
> Dimensionen (hoch 3 / hoch 2). Eventuell kann man sich
> diese (ohne langes mathematisches Rechnen) dadurch
> erklären, dass die Formel sowohl für Meter, als auch für
> Zentimeter, Millimeter, Fuß, Zoll etc. gelten muss.
Das ist klar, doch eben genau aus diesem Grund habe
ich auch auf die Dimensionen (Flächen- bzw. Rauminhalt)
der Größen hingewiesen. Meinetwegen darfst du also
ruhig mit square inches (1 square inch =
0.00064516 [mm] m^2 [/mm] ) und cubic inches (1 cubic inch =
16.387064 milliliters) rechnen , um die Verpackung für
den Lake Constance zu berechnen.
Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:46 Di 26.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> > Um das Wasser eines Sees wie z.B. des Bodensees
> > zylinderförmig zu verpacken (etwa um ihn als Wasserreserve
> > auf eine Interstellar-Reise mitzunehmen ...) , würde ich
> > anstatt Papier eher ein etwas anderes Material
> vorschlagen!
>
> Auf "Papier" kam ich wegen Bastelmaterial. Natürlich hält
> so ein Zylinder keine Flüssigkeit aus.
>
> Das Trickige an der Formel sind eventuell noch die
> Dimensionen (hoch 3 / hoch 2). Eventuell kann man sich
> diese (ohne langes mathematisches Rechnen) dadurch
> erklären, dass die Formel sowohl für Meter, als auch für
> Zentimeter, Millimeter, Fuß, Zoll etc. gelten muss.
Na, dass das Kriterium unabhängig von den verwendeten Einheiten sein sollte doch ohnedies klar sein - es ist ja keine empirische Formel.
Du kannst dir das gerne so überlegen, dass das gesuchte Kriterium in gleicher Weise bei Zylindern wirken muss, die proportional verkleinert oder vergrößert sind. Gemeint sind da aber die linearen Proportionen, also zB doppelter Basiskreisradius und doppelte Höhe. Bei diesem Beispiel würde sich die Oberfläche vervierfachen, das Volumen aber das achtfache betragen. Das einfache Verhältnis von Oberfläche zu Volumen kann also nicht Basis des Kriteriums sein. Du könntest mit [mm] $\br{\wurzel{O}}{\wurzel[3]{V}}$ [/mm] beginnen und dann eben zu [mm] $\br{O^3}{V^2}$ [/mm] "verschönern". Hauptsache der Quotient ist dimensionslos.
Gruß RMix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:45 Di 26.08.2014 | | Autor: | rabilein1 |
> Du könntest mit [mm]\br{\wurzel{O}}{\wurzel[3]{V}}[/mm]
> beginnen und dann eben zu [mm]\br{O^3}{V^2}[/mm] "verschönern".
> Hauptsache der Quotient ist dimensionslos.
[mm]\br{\wurzel{O}}{\wurzel[3]{V}}[/mm] erscheint mir sogar logischer als [mm]\br{O^3}{V^2}[/mm], auch wenn Beides dasselbe ist.
Das eine ist also logisch und das andere schön.
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:35 Mo 21.05.2018 | | Autor: | donp |
| Aufgabe | | Die Diskussion ist schon älter, trotzdemn och eine Frage: Kann man die Aufgabe auch vereinachen für ein Rechteck mit gegebener Fläche A und Umfang U? |
Mir gefällt die elegante Lösung für O und V, bei der quasi auf magische Weise eine Konstante von 54[mm]\pi[/mm] auftaucht.
Beim Durchlesen kam ich zuerst auf den Gedanken, dass es ähnlich auch mit gegebener Fläche A und Umfang U ein Entscheidungskriterium geben müsste, das vielleicht einfacher zu finden ist.
Leider sind meine Mathekenntnisse extrem eingeschlafen, müsste wohl erst nochmal in der Mittelstufe anfangen, da mein Abi schon fast 40 Jahre her ist und Mathematik nachher nicht mehr wirklich gebraucht wurde, ausser für etwas Hobby-Stochastik.
Gefühlt müsste die Lösung wohl ganz ähnlich aussehen, etwas mit [mm]{U^2 \over A}[/mm] vielleicht?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Mi 23.05.2018 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:36 Do 24.05.2018 | | Autor: | meili |
Hallo donp,
> Die Diskussion ist schon älter, trotzdemn och eine Frage:
> Kann man die Aufgabe auch vereinachen für ein Rechteck mit
> gegebener Fläche A und Umfang U?
>
> Mir gefällt die elegante Lösung für O und V, bei der
> quasi auf magische Weise eine Konstante von 54[mm]\pi[/mm]
> auftaucht.
>
> Beim Durchlesen kam ich zuerst auf den Gedanken, dass es
> ähnlich auch mit gegebener Fläche A und Umfang U ein
> Entscheidungskriterium geben müsste, das vielleicht
> einfacher zu finden ist.
Ja, ausser dass man die Formeln für Umfang und Fläche eines Rechtecks
braucht, muss man eine quadratische Gleichung lösen bzw. ihre Diskriminate
berechnen.
>
> Leider sind meine Mathekenntnisse extrem eingeschlafen,
> müsste wohl erst nochmal in der Mittelstufe anfangen, da
> mein Abi schon fast 40 Jahre her ist und Mathematik nachher
> nicht mehr wirklich gebraucht wurde, ausser für etwas
> Hobby-Stochastik.
>
> Gefühlt müsste die Lösung wohl ganz ähnlich aussehen,
> etwas mit [mm]{U^2 \over A}[/mm] vielleicht?
Für [mm]{U^2 \over A} > 16[/mm] existieren Rechtecke,
für [mm]{U^2 \over A} = 16[/mm] existieren Quadrate,
für [mm]{U^2 \over A} < 16[/mm] gibt es keine Lösung.
Gruß
meili
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:24 Fr 22.08.2014 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
wer ist Euklid?
Nein, Du hast natürlich Recht: 0, 1 oder 2 Lösungen.
Ich ändere das oben nicht, sondern schreibe nur einen Hinweis dazu.
lg
rev
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Hallo alle !
| Aufgabe | Gegeben seien zwei positive Werte O (Dimension $ [mm] m^2) [/mm] $ und V (Dimension $ [mm] m^3). [/mm] $
Untersuche, unter welchen Voraussetzungen für O und V es einen
oder keinen oder mehr als einen (geraden Kreis-) Zylinder mit
Oberfläche O und Volumen V gibt.
Liefere dann auch möglichst praktikable Rezepte, um für die
(existierenden) Zylinder Radius und Höhe zu berechnen. |
Die Hauptfrage nach einem handlichen Entscheidungskriterium
über die Anzahl der möglichen Zylinder ist inzwischen geklärt.
Die Überlegungen dazu beruhen auf der (formalen) Berechnung
der y-Koordinate eines allfälligen Tiefpunkts des Graphen der
Funktion
$\ f:\ r\ [mm] \mapsto\ r^3\ [/mm] -\ [mm] \frac{O}{2\,\pi}*r\ [/mm] +\ [mm] \frac{V}{\pi}$
[/mm]
und der Klärung der Frage, unter welchen Bedingungen
für O und V er über, unter oder auf der r - Achse liegt.
Es verbleibt aber noch die andere Aufgabe, nämlich für die
Fälle, in welchen es wirklich einen oder zwei mögliche
Zylinder gibt, Formeln für deren Radien aufzustellen.
Die Berechnung der zugehörigen Zylinderhöhen ist
dann natürlich trivial.
Der Weg über die Formeln von Cardano ist zwar etwas
mühsam, aber es ist möglich, z.B. für die vorliegende
Aufgabe alles darin vorkommende Komplexe wieder zu
entfernen. Ich war selber überrascht, dass ich dabei
am Ende bei einer Handvoll (exakt: vier) kurzer Formeln
anlangte, in welchen nichts Komplexes und nicht mal
eine Kubikwurzel (dafür aber cos und arccos) auftreten.
Zu dieser Übung in Vereinfachungen möchte ich Euch
gerne noch einladen !
Gruß und schönes Wochenende !
Al-Chwarizmi
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Hallo,
hier nun doch meine Lösung in Form eines Progrämmchens für
den CAS-Rechner TI-Voyage (oder TI-92 oder TI-Nspire CAS).
Es inhaltlich zu verstehen und allenfalls für eine andere
Software umzubauen, sollte kein Hexenwerk sein.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Was dahinter steckt, ist eine etwas aufbereitete Version
für den "Casus irreducibilis" der Cardanischen Formeln.
LG , Al-Chwarizmi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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Letztlich ist das eine direkte Anwendung der Formeln von Cardano für die Gleichung
[mm]x^3 - px + q = 0 \ \ \text{mit} \ \ p = \frac{O}{2 \pi} \, , \ q = \frac{V}{\pi}[/mm]
Die Diskriminante der Gleichung ist
[mm]D = - \left( \frac{p}{3} \right)^3 + \left( \frac{q}{2} \right)^2[/mm]
Und [mm]D<0[/mm] ist äquivalent mit [mm]\frac{O^3}{V^2} > 54 \pi[/mm], weswegen die Gleichung in diesem Fall drei reelle Lösungen besitzt. Als weitere Bedingung hat man noch [mm]p,q>0[/mm]. Daß eine Lösung negativ und zwei positiv sein müssen, wurde bereits erörtert. Die beiden positiven Lösungen sind
[mm]x = r_1 = \left( \frac{p}{3} \right)^{\frac{1}{2}} \cdot \left( \cos \frac{\varphi}{3} + \sqrt{3} \sin \frac{\varphi}{3} \right)[/mm]
sowie
[mm]x = r_2 = \left( \frac{p}{3} \right)^{\frac{1}{2}} \cdot \left( \cos \frac{\varphi}{3} - \sqrt{3} \sin \frac{\varphi}{3} \right)[/mm]
mit [mm]\varphi = \arccos \frac{\frac{q}{2}}{\left( \frac{p}{3} \right)^{\frac{3}{2}}} \in \left( 0 , \frac{\pi}{2} \right)[/mm] .
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> Letztlich ist das eine direkte Anwendung der Formeln von
> Cardano für die Gleichung
>
> [mm]x^3 - px + q = 0 \ \ \text{mit} \ \ p = \frac{O}{2 \pi} \, , \ q = \frac{V}{\pi}[/mm]
Ja, klar. Habe ja auch gar nichts anderes behauptet ...
> Die Diskriminante der Gleichung ist
>
> [mm]D = - \left( \frac{p}{3} \right)^3 + \left( \frac{q}{2} \right)^2[/mm]
>
> Und [mm]D<0[/mm] ist äquivalent mit [mm]\frac{O^3}{V^2} > 54 \pi[/mm],
> weswegen die Gleichung in diesem Fall drei reelle Lösungen
> besitzt. Als weitere Bedingung hat man noch [mm]p,q>0[/mm]. Daß
> eine Lösung negativ und zwei positiv sein müssen, wurde
> bereits erörtert. Die beiden positiven Lösungen sind
>
> [mm]x = r_1 = \left( \frac{p}{3} \right)^{\frac{1}{2}} \cdot \left( \cos \frac{\varphi}{3} + \sqrt{3} \sin \frac{\varphi}{3} \right)[/mm]
>
> sowie
>
> [mm]x = r_2 = \left( \frac{p}{3} \right)^{\frac{1}{2}} \cdot \left( \cos \frac{\varphi}{3} - \sqrt{3} \sin \frac{\varphi}{3} \right)[/mm]
>
> mit [mm]\varphi = \arccos \frac{\frac{q}{2}}{\left( \frac{p}{3} \right)^{\frac{3}{2}}} \in \left( 0 , \frac{\pi}{2} \right)[/mm]
> .
OK , vielleicht helfen ja deine Erläuterungen einigen,
denen meine Programmzeilen doch etwas zu knapp waren.
LG , Al-Chwarizmi
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