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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
hallo leute, ich hab da ne tolle aufgabe , die bestimmt nicht so schwer ist wie sie
der zylinder Z= {(x,y,z) \in R^{3} : (x-1) + y^{2} = 1 } schneidet aus der }nördlichen hemispäre S_{+}={(x,y,z) \in R^{3} : x^{2} + y^{2} + z^{2}=4, z\ge0 } eine kurve heraus, für die sie eine parameter darstellung finden sollen.
also ich hab mir mal ne zeichnung gemacht und irgendwie hat das nicht hingehauen, also ich weiß trotzdem noch nicht was da für eine kurve rauskomemen soll ( ich denke ein kreis) und selbst wenn weiß ich nicht wie ich an die aufgabe rangehen soll, mir fehlt also wie immer der ansatz, wäre schön wenn mir jemand helfen könnte.
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Hallo Schiepchen,
Du sollst einen Zylinder und eine Halbkugel schneiden umd mit Parametern darstellen:
> der zylinder Z= {(x,y,z) [mm] \in R^{3} [/mm] : (x-1) + [mm] y^{2} [/mm] = 1 }
das ist so kein Zylinder. Meist Du
[mm]Z = \{(x,y,z) \in R^{3} : (x-1)^{2} + y^{2} = 1 \}[/mm] ?
> schneidet aus der nördlichen hemispäre [mm] S_{+}={(x,y,z) \in
> R^{3} : x^{2} + y^{2} + z^{2}=4, z\ge0 } [/mm] eine kurve heraus,
> für die sie eine parameter darstellung finden sollen.
Wenn das mit dem Zylinder so, wie von mir korrigiert stimmt, dann ergibt das keinen Schnittkreis:
der Zylinder hat seine Achse parallel zur z-Achse durch (1|0|0), die Kugel ihren Mittelpunkt in (0|0|0): nur wenn die z-achse auch Zylinderachse ist, ist's ein Kreis. Ich vermute, dass das evtl. gemeint ist...
Zur Lösung: stelle den Zylinder-Grundkreis in der x-y-Ebene mit Parametern dar der Art
x = r cos(t) und y = r sin(t) und z
wobei r konstant und t der Parameter ist,
die Kugel mit Polarkoordinaten (nachschlagen). Jedenfalls taucht da auch sin(t)cos(s) etc. auf. Du setzt dann gleich die Komponenten und eliminierst z und s. Das wird voraussichtlich nur im Fall des z-Achsen-Zylinders klappen.
Wenn die Aufgabe tatsächlich anders ist, melde Dich nochmal.
Gruß, Richard
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Letztlich ist ein nichtlineares Gleichungssystem zu lösen:
[mm]\text{I} \ \ x^2 + y^2 + z^2 = 4[/mm]
[mm]\text{II} \ \ (x-1)^2 + y^2 = 1[/mm]
Subtrahiere die Gleichungen voneinander (Gleichung [mm]\text{III}[/mm]) und führe [mm]z = 2t \ (0 \leq t \leq1)[/mm] als Parameter ein. Mit Hilfe von [mm]\text{III}[/mm] kannst du dann [mm]x[/mm] mittels [mm]t[/mm] ausdrücken und über [mm]\text{II}[/mm] dann auch [mm]y[/mm]. Beim Auflösen nach [mm]y[/mm] mußt du dich für ein Vorzeichen der Wurzel entscheiden, etwa das positive. Dadurch bekommst du jedoch nur die "halbe" Kurve. Da die Körper symmetrisch zur [mm]xz[/mm]-Ebene liegen, erhältst du die andere "Hälfte" durch Substitution von [mm]t[/mm] durch [mm]-t[/mm] bei [mm]y[/mm]. [mm]x[/mm] ist wegen des Quadrats unempfindlich gegenüber dieser Substitution, jedoch nicht [mm]z[/mm]. Wenn du allerdings im nachhinein [mm]z = 2t[/mm] durch [mm]z = 2 \, |t| \ (-1 \leq t \leq 1)[/mm] ersetzt, findest du für die ganze Kurve eine einheitliche Darstellung.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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)hallo ohr beiden, erstmal vielen dank dass ihr mir so schnell geholfen habt, ich habe erstmal die 2. möglichkeit ausprobiert, weil die mir leichter erschien und ich auch verstanden habe was ich da geometrisch mache, ich bin auf folgende lösung gekommen, vielleicht könnt ihr ja mal rüberschauen und korrigieren, das wär nett
also ich nenne die kurve einfach mal K
K(t)= [mm] (2t^2 [/mm] -2 , [mm] \wurzel{4t^2 + 1}, [/mm] 2 |t |)
da hab ich nämlich erstmal gemerkt dass ich das genauso machen kann wiein der schule wenn sich zwei gerade oder so schneiden.
allerdings kommt mir das auch zu leichtauf einmal vor.
vielen vielen dank, liebe grüße schiepchen
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Setze [mm]x(t),y(t),z(t)[/mm] in die Ausgangsgleichungen [mm]\text{I,II}[/mm] ein, und du wirst feststellen, daß sie nicht erfüllt werden. Mit anderen Worten: Dein Ergebnis stimmt nicht. Die richtige Lösung sieht allerdings ähnlich aus. Rechne einfach noch einmal nach.
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