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Forum "Extremwertprobleme" - Zylinder im Kegel
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Zylinder im Kegel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:17 Sa 03.05.2008
Autor: Mandy_90

Aufgabe
Einem Kegel (Radius R=4cm, Höhe H=16cm) wir ein Zylinder einbeschrieben,der au der Grundfläche des Kegels steht.Welche Zylindermaße r und h sind zu wählen,damit das Volumen des Zylinders ein Maximum annimmt?

Hallo^^
Kann jemand nachschaun ob ich die Aufgabe richtig gerechnet hab??
(Habs mit Strahlensatz gemacht)
[mm] V_{zyl.}=\pir^{2}h [/mm]

[mm] \bruch{H}{R}=\bruch{h}{R-r} [/mm]

h=H-Hr

einsetzen in V

[mm] V=\pir^{2}*(H-Hr) [/mm]
[mm] V=H\pir^{2}-H\pir^{3} [/mm]
[mm] V=16\pir^{2}-16\pir^{3} [/mm]
[mm] V'(r)=32\pir-48\pir^{2}=0 [/mm]
[mm] r\approx0.6666... [/mm]

Einsetzen in H-Hr=h

h=13.34

lg

        
Bezug
Zylinder im Kegel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:29 Sa 03.05.2008
Autor: MathePower

Hallo Mandy_90,


> Einem Kegel (Radius R=4cm, Höhe H=16cm) wir ein Zylinder
> einbeschrieben,der au der Grundfläche des Kegels
> steht.Welche Zylindermaße r und h sind zu wählen,damit das
> Volumen des Zylinders ein Maximum annimmt?
>  Hallo^^
>  Kann jemand nachschaun ob ich die Aufgabe richtig
> gerechnet hab??
>  (Habs mit Strahlensatz gemacht)
>  [mm]V_{zyl.}=\pir^{2}h[/mm]
>  
> [mm]\bruch{H}{R}=\bruch{h}{R-r}[/mm]
>  
> h=H-Hr

Aus vorherigen ergibt sich [mm]h=\bruch{H}{R}*\left(R-r\right)[/mm]

Das mußt mit dieser Formel nochmal nachrechnen.

>  
> einsetzen in V
>  
> [mm]V=\pir^{2}*(H-Hr)[/mm]
>  [mm]V=H\pir^{2}-H\pir^{3}[/mm]
>  [mm]V=16\pir^{2}-16\pir^{3}[/mm]
>  [mm]V'(r)=32\pir-48\pir^{2}=0[/mm]
>  [mm]r\approx0.6666...[/mm]
>  
> Einsetzen in H-Hr=h
>
> h=13.34
>  
> lg

Gruß
MathePower

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Bezug
Zylinder im Kegel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:30 So 04.05.2008
Autor: Mandy_90

Ok,ich hab jetz mit der Formel nochmal nachgerechnet.

[mm] V=\pi*r^{2}*h [/mm]   R=4  H=16

[mm] \bruch{H}{R}=\bruch{H}{R-r} [/mm]

h=16-r

Einsetzen in V:

[mm] V=\pi*r^{2}*(16-r) [/mm]
[mm] V=16\pi*r^{2}-\pi*r^{3} [/mm]
[mm] V'(r)=32\pi*r-3\pi*r^{2}=0 [/mm]
       [mm] =32\pi*r=3\pi*r^{2} [/mm]
       [mm] =32\pi=3\pi*r [/mm]
       [mm] =\bruch{32\pi}{3\pi}=r [/mm]
       [mm] 10,67\approxr [/mm]

Das r kann aber nicht stimmen,weil der radius des Kegels 4cm ist ,dann kann nicht der Radius des Zylinders 10,67 sein.Was hab ich denn hier falsch gerechnet?
Für h kommt dann 5,3 raus.


lg

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Bezug
Zylinder im Kegel: Strahlensatz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:35 So 04.05.2008
Autor: Loddar

Hallo Mandy!


Du wendest den Strahlensatz hier falsch an. Ich erhalte:
[mm] $$\bruch{H}{R} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\red{h}}{R-r}$$ [/mm]
[mm] $$\Rightarrow [/mm] \ \ h \ = \ [mm] \bruch{H}{R}*(R-r) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{16}{4}*(4-r) [/mm] \ = \ 4*(4-r)$$

Gruß
Loddar



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Bezug
Zylinder im Kegel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:39 So 04.05.2008
Autor: Mandy_90

Ist dann h=16-16r?

Bezug
                                        
Bezug
Zylinder im Kegel: nicht richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:57 So 04.05.2008
Autor: Loddar

Hallo Mandy!


Wenn ich $4*(4-r)_$ ausmultipliziere, erhalte ich aber $h \ = \ [mm] 16-\red{4}*r$ [/mm] .


Gruß
Loddar


Bezug
                                                
Bezug
Zylinder im Kegel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:12 So 04.05.2008
Autor: Mandy_90

Das war wohl wieder ein blöder Flüchtigkeitsfehler von mir...

Ich hab dann für r=2,67 raus und ür h=5,333....

Ich hab jetzt noch ausgerechnet wie r und h zu wählen sind,wenn die Oberfläche maximal sein soll.Da kommen bei mir die selben Werte ,also  r=2,67 raus und  h=5,333...  raus.
Kann das so stimmen???

Bezug
                                                        
Bezug
Zylinder im Kegel: nicht richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:34 So 04.05.2008
Autor: Loddar

Hallo Mandy!


Das kann aber nicht stimmen. Ohne den Faktor for die Materialkosten erhalte ich [mm] $r_E [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[3]{\bruch{500}{\pi}} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 5.42 \ [mm] \text{cm}$ [/mm] .


Gruß
Loddar


Bezug
                                                                
Bezug
Zylinder im Kegel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:25 So 04.05.2008
Autor: Mandy_90

Was für Materialkosten denn??
Da stand doch nix von Materialkosten [verwirrt]

Bezug
                                                                        
Bezug
Zylinder im Kegel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:54 So 04.05.2008
Autor: MathePower

Hallo Mandy_90,

> Was für Materialkosten denn??
>  Da stand doch nix von Materialkosten [verwirrt]

Ja, das frage ich mich auch.

Da hat Loddar bestimmt an eine andere Aufgabe gedacht.

Trotzdem stimmen Deine Ergebnisse für r und h. [ok]

[mm]r=\bruch{2}{3}R=\bruch{2}{3}*4 = 2.\overline{6} \approx 2.67[/mm]

[mm]h=\bruch{H}{R}*\left(R-r\right)=4*\left(4-r\right) =4*\left(4-\bruch{2}{3}*4\right)=\bruch{1}{3}*16= 5.\overline{3} \approx 5.33[/mm]

Gruß
MathePower

Bezug
                                                                                
Bezug
Zylinder im Kegel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:02 So 04.05.2008
Autor: Mandy_90

Ich glaub Loddar hat an die andere Aufgabe mit den minimalen Materialkosten gedacht,aber die war doch schon gelöst ^^

Bezug
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