Zylinder mit Kegel < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 So 26.09.2010 | | Autor: | Amicus |
| Aufgabe | | Man hat einen oben offenen Zylinder mit unten angestztem Kegel. Die Höhe des Zylinders habe die feste Längenmaßzahl a>0, die Mantellinie s des Kegels die Längenmaßzahl 3a. Wie sind die Maßzahlen fur den Radius r und due Höhe h des Kegels zu wählen, damit das Volumen des Betonbehälters maximal wird? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Extremalbedingung:
[mm] V(r;h)=\pih/3+\pia
[/mm]
Nebenbedingung:
h²=9a²-r²
=> [mm] h=\wurzel{9a^2-r^2} [/mm] kann man hier noch weiter vereinfachen?
Zielfunktion:
[mm] V(r)=\pi [/mm] r² [mm] \wurzel{9a^2-r^2} [/mm] / 3 + [mm] \pi [/mm] r² a
Ich glaube, dass die Zielfunktion falsch ist, weiß es aber auch nicht besser! Ich würde mich über Hilfe sehr freuen!
LG
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Hallo, alles korrekt, formst du die Nebenbedingung nach [mm] r^{2} [/mm] um, hast du in der Ableitung dann keine Wurzel
[mm] V(h)=\pi(9a^{2}-h^{2})*a+\bruch{1}{3}\pi(9a^{2}-h^{2})*h
[/mm]
Steffi
Danke Loddar, jetzt ist der Faktor h anwesend Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 So 26.09.2010 | | Autor: | Amicus |
Wenn ich die Nebenbedingung nach r² auflöse, ergibt sich folgende Zielfunktion:
[mm] V(h)=-h^3\pi-a \pi h^2+ [/mm] 9a² [mm] \pi [/mm] h+ 27 [mm] a^3 \pi
[/mm]
[mm] V'(h)=-3h^2\pi-2a \pi h+9a^2\pi
[/mm]
Die diskriminante, die sich daraus ergibt wäre dann [mm] a^2\pi^2-9a^2\pi
[/mm]
Woher weiß ich jetzt, ob das größer, kleiner oder gleich Null ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:44 So 26.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Wenn ich die Nebenbedingung nach r² auflöse, ergibt sich
> folgende Zielfunktion:
>
> [mm]V(h)=-h^3\pi-a \pi h^2+[/mm] 9a² [mm]\pi[/mm] h+ 27 [mm]a^3 \pi[/mm]
>
> [mm]V'(h)=-3h^2\pi-2a \pi h+9a^2\pi[/mm]
>
> Die diskriminante, die sich daraus ergibt wäre dann
> [mm]a^2\pi^2-9a^2\pi[/mm]
> Woher weiß ich jetzt, ob das größer, kleiner oder
> gleich Null ist?
Klammere in diesem Term [mm] \pi *a^2 [/mm] aus.
Gruß Abakus
Aber halt- bringe erst mal die Gleichung auf Normalform!
Erst dann kannst du die p-q-Formel anwenden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 So 26.09.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Amicus!
> Wenn ich die Nebenbedingung nach r² auflöse, ergibt sich
> folgende Zielfunktion:
>
> [mm]V(h)=-h^3\pi-a \pi h^2+[/mm] 9a² [mm]\pi[/mm] h+ 27 [mm]a^3 \pi[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Da ist aber irgendwie noch der Faktor [mm] $\bruch{1}{3}$ [/mm] aus dem Kegelvolumen auf der Strecke geblieben.
Ich erhalte:
$V(h) \ = \ [mm] -\bruch{1}{3}*\pi*h^3-\pi*a*h^2+3\pi*a^2*h+9\pi*a^3$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 So 26.09.2010 | | Autor: | Amicus |
Das hab ich jetzt auch raus, dann noch fix auf Normalform gebracht und p-q-Formel angewandt ergibt sich aber auch eine recht undankbare Diskriminante, wie soll man da ne Wurzel ziehen?
[mm] Dis=h^2\pi^2a^2+3a^2\pi
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 So 26.09.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Amicus!
Deine Diskriminante kann nicht stimmen, da dort auch noch diejenige Variable drin steckt, nach welcher aufgelöst werden soll.
Ich erhalte am Ende ein schönes glattes Ergebnis.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 So 26.09.2010 | | Autor: | Amicus |
Wie soll ich denn das h da rauskriegen? Ich hab echt keine Ahnung.
LG
EDIT: Achso, h einfach weglassen bei der Dis, jetzt hab ich's!
Kann man denn bei [mm] \wurzel{\pi^2a^2+3a^2\pi} [/mm] noch was vereinfachen?
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Hallo, du hattest
[mm] V(h)=-\bruch{1}{3}*\pi*h^{3}-\pi*a*h^{2}+3*\pi*a^{2}*h+9*\pi*a^{3}
[/mm]
[mm] V'(h)=-\pi*h^{2}-2*\pi*a*h+3*\pi*a^{2}
[/mm]
[mm] 0=-\pi*h^{2}-2*\pi*a*h+3*\pi*a^{2}
[/mm]
[mm] 0=h^{2}+2*a*h-3*a^{2}
[/mm]
jetzt kannst du p-q-Formel machen
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:08 So 26.09.2010 | | Autor: | Amicus |
[mm] \pi [/mm] muss also auch noch weg, alles klar :)
LG
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 17:45 So 26.09.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Steffi!
Da fehlt aber noch ganz hinten ein Faktor $*h_$ .
Gruß
Loddar
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