www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - a^2 + b^2 = 4c + 3
a^2 + b^2 = 4c + 3 < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

a^2 + b^2 = 4c + 3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:19 So 18.11.2007
Autor: susimarie

Aufgabe
Zeigen Sie, dass es keine ganzen Zahlen a, b, c [mm] \in \IZ [/mm] mit [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] = 4c + 3 gibt.

Hallo.

Prinzipiell ist die Antwort auf diese Frage logisch, aber beweistechnisch scheitere ich mal wieder.

Seien [mm] a,b,c\in\IZ [/mm] mit [mm] a^2+b^2=4c+3. [/mm] Dann gilt
[mm] a^2 [/mm] - 4c = 3 - [mm] b^2. [/mm]

Nun gilt weiter [mm] a^2 [/mm] - 4c = 0 und somit [mm] a^2 [/mm] = 4c und somit a = 2 * [mm] \sqrt{c} [/mm] und a = -2 * [mm] \sqrt{c}. [/mm] Ebenso gilt 3 - [mm] b^2 [/mm] = 0 und somit [mm] b^2 [/mm] = 3 und somit b = [mm] \sqrt{3} [/mm] und b = [mm] -\sqrt{3}. [/mm] Da b dann abe nicht in b ist, gilt die Behauptung.

Der Beweis ist doch so ein bisschen zu einfach, oder?

        
Bezug
a^2 + b^2 = 4c + 3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:51 So 18.11.2007
Autor: statler

Hallo!

> Zeigen Sie, dass es keine ganzen Zahlen a, b, c [mm]\in \IZ[/mm] mit
> [mm]a^2[/mm] + [mm]b^2[/mm] = 4c + 3 gibt.
>  Hallo.
>  
> Prinzipiell ist die Antwort auf diese Frage logisch, aber
> beweistechnisch scheitere ich mal wieder.
>  
> Seien [mm]a,b,c\in\IZ[/mm] mit [mm]a^2+b^2=4c+3.[/mm] Dann gilt
>  [mm]a^2[/mm] - 4c = 3 - [mm]b^2.[/mm]
>  

Woher kommen denn die folgenden Gleichungen?

> Nun gilt weiter [mm]a^2[/mm] - 4c = 0 und somit [mm]a^2[/mm] = 4c und somit a
> = 2 * [mm]\sqrt{c}[/mm] und a = -2 * [mm]\sqrt{c}.[/mm] Ebenso gilt 3 - [mm]b^2[/mm] =
> 0 und somit [mm]b^2[/mm] = 3 und somit b = [mm]\sqrt{3}[/mm] und b =
> [mm]-\sqrt{3}.[/mm] Da b dann abe nicht in b ist, gilt die
> Behauptung.

Das muß alles nicht so sein! Betrachte stattdessen doch mal deine Gleichung modulo 4 und prüfe, ob sie als Kongruenz lösbar ist.

> Der Beweis ist doch so ein bisschen zu einfach, oder?

Er ist nicht zu einfach, sondern falsch.

Gruß aus HH-Harburg
Dieter

Bezug
                
Bezug
a^2 + b^2 = 4c + 3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:58 So 18.11.2007
Autor: susimarie

War ja klar, dass das so nicht klappen kann.

Also soll ich [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] - 3 mod 4 betrachten? Aber was soll ich daraus schließen können...

Bezug
                        
Bezug
a^2 + b^2 = 4c + 3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:32 So 18.11.2007
Autor: statler

Sortier mal a und b nach gerade und ungerade ...

Bezug
                                
Bezug
a^2 + b^2 = 4c + 3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:26 So 18.11.2007
Autor: susimarie

Hallo.

Ich habe dann ja drei Fälle zu betrachten.

1. Fall - a gerade und b gerade
2. Fall - a ungerade und b ungerade
3. Fall - a gerade und b ungerade / a ungerade und b gerade


1. Fall. Seien a und b gerade. Dann sind auch [mm] a^2 [/mm] und [mm] b^2 [/mm] gerade. Somit ist auch die Summe gerade. Wenn man davon nun 3 subtrahiert, erhält man eine ungerade Zahl, welche nach der Division mit 4 keine ganze Zahl ergibt.

2. Fall. Seien a und b ungerade. Dann sind auch [mm] a^2 [/mm] und [mm] b^2 [/mm] ungerade. Jedoch ist die Summe gerade. Wenn man davon nun 3 subtrahiert, erhält man eine ungerade Zahl, welche nach der Division mit 4 keine ganze Zahl ergibt.

3. Fall. Seien a gerade und b ungerade. Dann ist [mm] a^2 [/mm] gerade und [mm] b^2 [/mm] ungerade. Damit ist die Summe jedoch ungerade...

Im dritten Fall hackt es nun leider ein bisschen. Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen? Der 1. und der 2. Fall sind doch so richtig, oder?

Bezug
                                        
Bezug
a^2 + b^2 = 4c + 3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:47 So 18.11.2007
Autor: andreas

hi

überlege dir, welche reste quadrate bei teilbearkeit durch $4$ lassen können - diese sind nicht beliebige. damit solltest du den letzten fall auch ausschließen können. die ersten beiden fälle stimmen so.


grüße
andreas

Bezug
                                                
Bezug
a^2 + b^2 = 4c + 3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:58 So 18.11.2007
Autor: susimarie

Hallo.

Also ich habe einfach mal die ersten Elemente untersucht:

[mm] 0^2 [/mm] mod 4 = 0
[mm] 1^2 [/mm] mod 4 = 1
[mm] 2^2 [/mm] mod 4 = 0
[mm] 3^2 [/mm] mod 4 = 1
[mm] 4^2 [/mm] mod 4 = 0


Es werden also nur die Restklassen 0 und 1 getroffen, aber wie hilft mir das nun bei dieser Aufgabe weiter?

Bezug
                                                        
Bezug
a^2 + b^2 = 4c + 3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:14 So 18.11.2007
Autor: andreas

hi

> [mm]0^2[/mm] mod 4 = 0
>  [mm]1^2[/mm] mod 4 = 1
>  [mm]2^2[/mm] mod 4 = 0
>  [mm]3^2[/mm] mod 4 = 1
>  [mm]4^2[/mm] mod 4 = 0
>  
>
> Es werden also nur die Restklassen 0 und 1 getroffen,

gut. das musst du aber natürlich noch ganz allgemein zeigen.

nun überleg dir mal für deine aufgabe, wie dann [mm] $a^2 [/mm] + [mm] b^2 \equiv [/mm] x [mm] \mod [/mm] 4$ aussieht (das heißt welchen wert nimmt $x$ in dem dritten fall an?)? kann denn dann $x [mm] \equiv [/mm] 4c + 3 [mm] \mod [/mm] 4 $ gelten?

grüße
andreas

Bezug
                                                                
Bezug
a^2 + b^2 = 4c + 3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:36 So 18.11.2007
Autor: susimarie

Hallo.

Hast du vielleicht einen kleinen Tipp, wie ich das mit den Restklassen mathematisch beweisen kann?

Also wenn [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 \equiv [/mm] x mod 4 gelten soll, dass ist x = 1. Nun soll ich noch x [mm] \equiv [/mm] 4c - 3 mod 4 betrachten. Hier weiß ich nun nicht so recht weiter. Da ich ja keine Aussage über c gemacht habe und damit eigentlich auf nichts schließen kann, aber ich denke, dass x in dem Fall nicht 1 ist, sonst würde die Aufgabe keinen Sinn machen.

Bezug
                                                                        
Bezug
a^2 + b^2 = 4c + 3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:23 So 18.11.2007
Autor: andreas

hi

> Hast du vielleicht einen kleinen Tipp, wie ich das mit den
> Restklassen mathematisch beweisen kann?

zeige am besten, dass [mm] $m^2 \equiv [/mm] 0 [mm] \mod [/mm] 4$, wenn $m$ gerade ist, und [mm] $m^2 \equiv [/mm] 1 [mm] \mod [/mm] 4$, wenn $m$ ungerade ist. formuliere dazu die bedingung gerade und ungerade um, das heißt $m [mm] \in \mathbb{Z}$ [/mm] ist gerade [mm] $\Longleftrightarrow$ $\exists \, [/mm] k [mm] \in \mathbb{Z}: [/mm] ...$. wie sieht dann [mm] $m^2$ [/mm] aus? welchen rest lässt es beim teilen durch $4$?


> Also wenn [mm]a^2[/mm] + [mm]b^2 \equiv[/mm] x mod 4 gelten soll, dass ist x
> = 1. Nun soll ich noch x [mm]\equiv[/mm] 4c - 3 mod 4 betrachten.

heißt das in der orginalaufgabe nun $4c - 3$ oder $4c + 3$? überlege dir mal, ob das $c$ irgendeinen einfluss auf den rest beim teilen durch $4$ haben kann?

grüße
andreas

Bezug
                                                                                
Bezug
a^2 + b^2 = 4c + 3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:07 So 18.11.2007
Autor: susimarie

Hallo.

Also ich weiß noch nicht wie du die Definition einer ungeraden Zahl umschreiben willst. Ich hätte jetzt gedacht, dass man zu einer ungeraden Zahl eine 1 addiert um bei einer geraden Zahl zu landen.

Das c hat ja eigentlich keine Bedeutung, da ich dieses ja errechnen möchte...

Bezug
                                                                                        
Bezug
a^2 + b^2 = 4c + 3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:22 So 18.11.2007
Autor: andreas

hi

> Also ich weiß noch nicht wie du die Definition einer
> ungeraden Zahl umschreiben willst. Ich hätte jetzt gedacht,
> dass man zu einer ungeraden Zahl eine 1 addiert um bei
> einer geraden Zahl zu landen.

das ist ja keine wirklich formale definition. eine zahl ist doch genau dann gerade, wenn sie durhc zwei teilbar ist, dass heißt für $m [mm] \in \mathbb{Z}$ [/mm] gilt:

$m$ geade [mm] $\Longleftrightarrow$ $\exists \, [/mm] k [mm] \in \mathbb{Z}: [/mm] m = 2k$

überlege dir nun, ob du mit dieser definition die aussage zeigen kannst.


> Das c hat ja eigentlich keine Bedeutung, da ich dieses ja
> errechnen möchte...

nicht wirklich. du willst doch zeigen, dass es keine $a, b, c [mm] \in \mathbb{Z}$ [/mm] gibt, die die gleichung erfüllen!


grüße
andreas

Bezug
                                                                                                
Bezug
a^2 + b^2 = 4c + 3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:13 So 18.11.2007
Autor: susimarie

Hi.

Also. Ich habe mir jetzt folgendes überlegt. Der Beweis für die Restklassen 0 und 1 habe ich nun auch alleine geschafft. Jetzt geht es aber weiter:

[mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 \equiv [/mm] 1 mod 4

Dann gilt weiter

1 [mm] \equiv [/mm] 4c + 3 mod 4
<=> -2 [mm] \equiv [/mm] 4c mod 4
<=> -1 [mm] \equiv [/mm] 2c mod 4
<=> [mm] -\bruch{1}{2} \equiv [/mm] c mod 4

Also ist c keine ganze Zahl.

Bezug
                                                                                                        
Bezug
a^2 + b^2 = 4c + 3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:32 So 18.11.2007
Autor: rainerS

Hallo!

> Also. Ich habe mir jetzt folgendes überlegt. Der Beweis für
> die Restklassen 0 und 1 habe ich nun auch alleine
> geschafft. Jetzt geht es aber weiter:
>  
> [mm]a^2[/mm] + [mm]b^2 \equiv[/mm] 1 mod 4
>  
> Dann gilt weiter
>  
> 1 [mm]\equiv[/mm] 4c + 3 mod 4
>  <=> -2 [mm]\equiv[/mm] 4c mod 4

>  <=> -1 [mm]\equiv[/mm] 2c mod 4

>  <=> [mm]-\bruch{1}{2} \equiv[/mm] c mod 4

Der letzte Schritt ist ein Problem, du darfst im Restklassenring nicht einfach teilen: 2 ist hier ein Nullteiler.

Aber das brauchst du auch nicht, wenn du das Argument umdrehst und einen Widerspruch konstruierst:

Angenommen, c ist eine ganze Zahl. Was ist dann [mm]4c + 3 \bmod 4[/mm] ? Kann das [mm]\equiv 1 \bmod 4[/mm] sein?

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                                                                                                                
Bezug
a^2 + b^2 = 4c + 3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:02 So 18.11.2007
Autor: susimarie

Hallo.

Okay. Sei also c eine ganze Zahl. Dann ist 4c mod 4 = 0. Also gilt 4c + 3 [mm] \equiv [/mm] 3 mod 4.

Also ist das ganze ungleich 1 und somit gilt die Behauptung.

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
a^2 + b^2 = 4c + 3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:28 So 18.11.2007
Autor: rainerS

Hallo!

> Okay. Sei also c eine ganze Zahl. Dann ist 4c mod 4 = 0.
> Also gilt 4c + 3 [mm]\equiv[/mm] 3 mod 4.
>  
> Also ist das ganze ungleich 1 und somit gilt die
> Behauptung.

[ok]

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de