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Forum "Stetigkeit" - a Bestimmen das f(x) stetig
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a Bestimmen das f(x) stetig: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:10 Mi 16.06.2010
Autor: jumper

Aufgabe
für welches a ist die Funktion stetig
[mm] fa(x)=\begin{cases} \bruch{sin a x}{2x}, & \mbox{} \mbox{x>0 } \\ x+1, & \mbox{x<=0} \mbox{ } \end{cases} [/mm]

Ich denke ich muß den Schnittpunkt der beiden Funktione bei x = 0 berechnen! Muß ich die beiden gelichsetzen? Oder was muß ich tun?

        
Bezug
a Bestimmen das f(x) stetig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:17 Mi 16.06.2010
Autor: schachuzipus

Hallo jumper,

> für welches a ist die Funktion stetig
>  [mm]fa(x)=\begin{cases} \bruch{sin a x}{2x}, & \mbox{} \mbox{x>0 } \\ x+1, & \mbox{x<=0} \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>  
> Ich denke ich muß den Schnittpunkt der beiden Funktione
> bei x = 0 berechnen! Muß ich die beiden gelichsetzen?

Wieso solltest du das tun wollen?

> Oder was muß ich tun?

Nun du musst f auf Stetigkeit in 0 untersuchen.

Außerhalb von 0 ist f offensichtlich stetig.

Allein die "Nahtstelle" $x=0$ ist spannend.

Untersuche [mm] $\lim\limits_{x\downarrow 0}f(x)$ [/mm] und [mm] $\lim\limits_{x\uparrow 0}f(x)$ [/mm] (also rechts- und linksseitigen Limes) und schaue, für welches $a$ beide denselben Wert liefern ....

Gruß


schachuzipus


Bezug
                
Bezug
a Bestimmen das f(x) stetig: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:31 Mi 16.06.2010
Autor: jooo

ja der linkseitige limes geht dann gegen 1 ,damit die Funktion stetig ist muß ja die rechte Funktion auch gegen 1 gehen,doch [mm] \bruch{sin(a*0)}{2x} [/mm] geht doch immer gegen 0 ! wo ist mein fehler?

Bezug
                        
Bezug
a Bestimmen das f(x) stetig: bekannter(?) Grenzwert
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:38 Mi 16.06.2010
Autor: Loddar

Hallo jooo (oder doch jumper?)!


> ja der linkseitige limes geht dann gegen 1,
> damit die Funktion stetig ist muß ja die rechte Funktion auch gegen 1 gehen,

[ok]


> doch [mm]\bruch{sin(a*0)}{2x}[/mm] geht doch immer gegen 0 !

[notok] Bedenke, dass gilt:
[mm] $$\limes_{z\rightarrow 0}\bruch{\sin(z)}{z} [/mm] \ = \ 1$$

Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
a Bestimmen das f(x) stetig: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:49 Mi 16.06.2010
Autor: jooo


> [notok] Bedenke, dass gilt:
>  [mm]\limes_{z\rightarrow 0}\bruch{\sin(z)}{z} \ = \ 1[/mm]
>  
> Gruß
>  Loddar

Danke für die Antwort!


Ok daraus folgt das a=2 sein muß aber mir ist unklar weshalb
[mm]\limes_{z\rightarrow 0}\bruch{\sin(z)}{z} \ = \ 1[/mm]
Gruß vom schizophrenen jooo

Bezug
                                        
Bezug
a Bestimmen das f(x) stetig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:56 Mi 16.06.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> > [notok] Bedenke, dass gilt:
>  >  [mm]\limes_{z\rightarrow 0}\bruch{\sin(z)}{z} \ = \ 1[/mm]
>  >  
> > Gruß
>  >  Loddar
>  Danke für die Antwort!
>  
>
> Ok daraus folgt das a=2 sein muß [ok] aber mir ist unklar
> weshalb
>  [mm]\limes_{z\rightarrow 0}\bruch{\sin(z)}{z} \ = \ 1[/mm]

Das sieht man am schnellsten ein mit der Regel von de l'Hôpital:

Es ist [mm] $\lim\limits_{z\to 0}\frac{\sin(z)}{z}=\frac{0}{0}$ [/mm] ein undefinierter Ausdruck.

Leitet man gem. der besagten Regel Zähler und Nenner getrennt ab, so erhält man:

[mm] $\lim\limits_{z\to 0}\frac{[\sin(z)]'}{[z]'}=\lim\limits_{z\to 0}\frac{\cos(z)}{1}=0$ [/mm]

Damit dann auch (seihe die Regel) [mm] $\lim\limits_{z\to 0}\frac{\sin(z)}{z}=1$ [/mm]


Alternativ ist [mm] $\sin'(0)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0}$ [/mm] (Differenzenquotient)

Also [mm] $\cos(0)=1=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}$ [/mm]


>  Gruß
> vom schizophrenen jooo


Gruß

schachuzipus

Bezug
                                        
Bezug
a Bestimmen das f(x) stetig: geometrische Lösung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:24 Mi 16.06.2010
Autor: Loddar

Hallo Jooo!


> aber mir ist unklar weshalb [mm]\limes_{z\rightarrow 0}\bruch{\sin(z)}{z} \ = \ 1[/mm]

Es gibt auch eine geometrische Lösung dessen: siehe hier.


> Gruß vom schizophrenen jooo

Dann lies Dir zu dieser Schizophrenie insbesondere § 17 der Forenregeln durch.


Gruß
Loddar


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