a QNR und PW mod p < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Mi 30.06.2010 | | Autor: | buef |
| Aufgabe | Zeigen Sie für p [mm] \in \IP [/mm] \ {2}: Ist jeder QNR auch eine PW mod p, so hat p die Form [mm] p=2^m [/mm] +1
(TIP: Wieviel QNR und wieviel PW gibt es? Bestimmen Sie dann die Lösungen p [mm] \in \IP [/mm] der Gleichung [mm] \varphi(\varphi(p))=\bruch{p-1}{2}, [/mm] indem Sie p-1 in Primfaktoren zerlegen.) |
Also mod p hat [mm] \bruch{p-1}{2} [/mm] QNR und mod p hat [mm] \varphi(\varphi(p)) [/mm] viele PW
[mm] \varphi(\varphi(p))=\varphi(p-1)=\varphi(2^m)=\2^m [/mm] - [mm] 2^{m-1}=p-1-(p-1)/2=\bruch{p-1}{2}
[/mm]
Da die Anzahl der PW und der QNR sind gleich. Somit gibt es keine andere Form, da es keine anderen p einer anderen Form mehr geben kann. Kann man so argumentieren? Mir ist das ziemlich schwammig!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Mi 30.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeigen Sie für p [mm]\in \IP[/mm] \ {2}: Ist jeder QNR auch eine PW
> mod p, so hat p die Form [mm]p=2^m[/mm] +1
Also QNR = quadratischer Nicht-Rest und PW = Primitivwurzel?
> (TIP: Wieviel QNR und wieviel PW gibt es? Bestimmen Sie
> dann die Lösungen p [mm]\in \IP[/mm] der Gleichung
> [mm]\varphi(\varphi(p))=\bruch{p-1}{2},[/mm] indem Sie p-1 in
> Primfaktoren zerlegen.)
>
> Also mod p hat [mm]\bruch{p-1}{2}[/mm] QNR und mod p hat
> [mm]\varphi(\varphi(p))[/mm] viele PW
Ja. Und, was ganz wichtig ist: jede PW ist ein QNR.
> [mm]\varphi(\varphi(p))=\varphi(p-1)=\varphi(2^m)=\2^m[/mm] -
> [mm]2^{m-1}=p-1-(p-1)/2=\bruch{p-1}{2}[/mm]
Jetzt hast du gezeigt: ist $p$ von der Form [mm] $2^m [/mm] + 1$, so ist jeder QNR eine PW.
> Da die Anzahl der PW und der QNR sind gleich.
Was meinst du damit? "Somit sind die Anzahl der PW und QNR gleich, wenn $p = [mm] 2^m [/mm] + 1$ ist"?
> Somit gibt es keine andere Form, da es keine anderen p einer anderen Form
> mehr geben kann.
Warum sollte das gelten? Warum folgt das aus dem vorherigen?
> Kann man so argumentieren? Mir ist das
> ziemlich schwammig!
Nein, so kannst du nicht argumentieren. Du zeigst die fasche Richtung. Wenn du zeigen willst, dass eine differenzierbare Funktion $f$ mit $f'(x) = 0$ fuer alle $x$ konstant ist, dann faengst du nicht mit einer konstanten Funktion an, leitest diese ab, stellst fest dass die Ableitung ueberall 0 ist, und behauptest dass daraus folgt dass jede Funktion deren Ableitung ueberall 0 ist bereits konstant ist.
LG Felix
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