a,b € R Bestimmen damit stetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie a,b [mm] \in \IR, [/mm] so dass die Funktion
[mm] f(x):=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{x^{2n-1}+ax^2+bx}{x^{2n}+1}
[/mm]
auf [mm] \IR [/mm] stetig ist. |
Hi,
die Funktion hat keine Definitionslücken weil [mm] $x^{2n} [/mm] + 1 [mm] \not=0$ [/mm] ausserdem irritiert micht der limes etwas? Wie geht man bei sowas vor.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:04 Mi 18.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie a,b [mm]\in \IR,[/mm] so dass die Funktion
>
> [mm]f(x):=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{x^{2n-1}+ax^2+bx}{x^{2n}+1}[/mm]
>
> auf [mm]\IR[/mm] stetig ist.
> Hi,
>
> die Funktion hat keine Definitionslücken weil [mm]x^{2n} + 1 \not=0[/mm]
> ausserdem irritiert micht der limes etwas? Wie geht man bei
> sowas vor.
Du mußt 4 Fälle unterscheiden:
Fall 1: |x|<1. In diesem Fall sind [mm] (x^{2n-1}) [/mm] und [mm] (x^{2n}) [/mm] Nullfolgen und damit ist
$f(x) = [mm] ax^2+bx$ [/mm] (|x|<1)
Fall 2: x = 1. Es ist
$f(1) = [mm] \bruch{1+a+b}{2}$
[/mm]
Fall 3: x=-1. Jetzt Du:
$f(-1) = ?$
Fall 4: |x|>1. Jetzt wieder Du:
$f(x) = ? $ (|x|>1)
Tipp für diesen Fall: die Folgen [mm] (1/x^{2n-1}) [/mm] und [mm] (1/x^{2n}) [/mm] sind Nullfolgen.
Wenn Du soweit bist, dann siehst Du: f ist auf [mm] \IR [/mm] stetig [mm] \gdw [/mm] f ist in den Punkten x = [mm] \pm [/mm] 1 stetig
Ich hab heraus (ohne Gewähr): f ist auf [mm] \IR [/mm] stetig [mm] \gdw [/mm] a=0 und b=1
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:09 Mi 18.11.2009 | | Autor: | DrNetwork |
Großen Dank! Ich beschäftige mich grad mit einer anderen Aufgabe und werde später darauf zurück kommen!
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Das ist wirklich interessant eigentlich alles ganz logisch wie bist du dadrauf gekommen das man die Fälle so einteilen muss? Also ist das Erfahrung oder überlegst du dir was spezielles dazu?
Okey ich hab etwas gerechnet deine erste Frage würde ich so beantworten:
[mm] f(-1)=\frac{-1 + ax^2+b^x}{2}
[/mm]
stört bei der Überlegung nicht das da unendlich im Spiel ist? Weil für (-1)^(2n-1) ist der Exponent immer ungerade und damit ergibt sich -1. Analog dazu bin ich auch auf den Nenner gekommen.
Deine zweite Frage hat mir schon mehr Kopfschmerzen bereitet ums mir einfach zu gestalten dachte ich erst mal:
x>1:
[mm] \frac{x^{2n-1}+ax^2+bx}{x^{2n}+1} [/mm] = [mm] \frac{x^{2n}+ax^3+bx^2}{x(x^{2n}+1)} [/mm] = [mm] \frac{1+\frac{ax^3}{x^{2n}}+\frac{bx^2}{x^{2n}}}{x(1+\frac{1}{x^{2n}})}
[/mm]
und wenn man den limes dazu nimmt:
[mm] \frac{1+\frac{ax^3}{x^{2n}}+\frac{bx^2}{x^{2n}}}{x(1+\frac{1}{x^{2n}})} [/mm] = 1/x
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 Mi 18.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Das ist wirklich interessant eigentlich alles ganz logisch
> wie bist du dadrauf gekommen das man die Fälle so
> einteilen muss?
Zunächst dachte ich, dass Du bei eingeben in den Formeleditor etwas vermurkst hast. Dann ist mir aber aufgefallen, dass die Aufgabe so wie sie da steht durchaus sinvoll ist
Zur Fallunterscheidung: die Folge [mm] (x^n) [/mm] konvergiert gegen 0 für |x|<1 und sie divergiert für |x|>1. Für x=1 konvergiert sie gegen 1.
Im falle x=-1 ist [mm] x^{2n-1}= [/mm] -1 und [mm] x^{2n}= [/mm] 1
> Also ist das Erfahrung
auch
> oder überlegst du dir was spezielles dazu?
Na klar
>
> Okey ich hab etwas gerechnet deine erste Frage würde ich
> so beantworten:
>
> [mm]f(-1)=\frac{-1 + ax^2+b^x}{2}[/mm]
Du meinst wohl .................$bx$ .........
also, weil x=-1: [mm]f(-1)=\frac{-1 + a-b}{2}[/mm]
Und was ist f(1) ?
>
> stört bei der Überlegung nicht das da unendlich im Spiel
> ist?
Das habe ich Dir oben schon erklärt: ....Fallunterscheidung
> Weil für (-1)^(2n-1) ist der Exponent immer ungerade
> und damit ergibt sich -1. Analog dazu bin ich auch auf den
> Nenner gekommen.
O.K.
>
> Deine zweite Frage hat mir schon mehr Kopfschmerzen
> bereitet ums mir einfach zu gestalten dachte ich erst mal:
> x>1:
> [mm]\frac{x^{2n-1}+ax^2+bx}{x^{2n}+1}[/mm] =
> [mm]\frac{x^{2n}+ax^3+bx^2}{x(x^{2n}+1)}[/mm] =
> [mm]\frac{1+\frac{ax^3}{x^{2n}}+\frac{bx^2}{x^{2n}}}{x(1+\frac{1}{x^{2n}})}[/mm]
>
> und wenn man den limes dazu nimmt:
>
> [mm]\frac{1+\frac{ax^3}{x^{2n}}+\frac{bx^2}{x^{2n}}}{x(1+\frac{1}{x^{2n}})}[/mm]
> = 1/x
Beser:
[mm]\frac{1+\frac{ax^3}{x^{2n}}+\frac{bx^2}{x^{2n}}}{x(1+\frac{1}{x^{2n}})}\to 1/x[/mm] für n [mm] \to \infty
[/mm]
Die selbe Überlegung kannst Du auch für x<-1 anstellen. Also ist $f(x) = 1/x$ für |x|>1
FRED
>
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Wow ich dachte mir ja das kann ja niemals stimmen ... Super vielen Dank!!
Eine Frage wirft sich mir aber noch auf und zwar was wäre passiert wenn ich das so gemacht hätte:
[mm] \frac{x^{2n-1}+ax^2+bx}{x^{2n}+1} [/mm] = [mm] \frac{1+\frac{ax^2}{x^{2n-1}}+\frac{bx}{x^{2n-1}}}{1+\frac{1}{x^{2n}}} [/mm] = 1 für n [mm] \to \infty
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Mi 18.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Wow ich dachte mir ja das kann ja niemals stimmen ... Super
> vielen Dank!!
>
> Eine Frage wirft sich mir aber noch auf und zwar was wäre
> passiert wenn ich das so gemacht hätte:
>
> [mm]\frac{x^{2n-1}+ax^2+bx}{x^{2n}+1}[/mm] =
> [mm]\frac{1+\frac{ax^2}{x^{2n-1}}+\frac{bx}{x^{2n-1}}}{1+\frac{1}{x^{2n}}}[/mm]
> = 1 für n [mm]\to \infty[/mm]
Das ist doch Quark ! Du teilst also den Zähler durch [mm] x^{2n-1} [/mm] und den Nenner durch [mm] x^{2n} [/mm] ?? Also durch verschiedene Zahlen !! Das kannst du zwar machen, nur darfst Du anschließend nicht "=" schreiben !!!
FRED
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:36 Mi 18.11.2009 | | Autor: | DrNetwork |
Natürlich! Klar, keine Ahnung wie ich darauf gekommen bin.
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Anscheind krieg ich den Rest trotzdem nicht hin ich hab das mehrmals durchgerechnet und zwar hatte ich eigentlich zwei Ideen:
1. gleichsetzen
2. limes links/rechts
beim gleichsetzen fällt a und b immer weg. Beim limes komm ich auf falsche Ergebnisse:
[mm] \limes_{x\uparrow1} ax^2+bx [/mm] = a+b = a+b
[mm] \limes_{x\downarrow1} \frac{1+ax^2+bx}{2} [/mm] = [mm] \frac{1+a+b}{2}
[/mm]
[mm] \limes_{x\uparrow-1} ax^2+bx [/mm] = a-b
[mm] \limes_{x\downarrow-1} \frac{-1+ax^2+bx}{2} [/mm] = [mm] \frac{-1+a-b}{2}
[/mm]
a+b = [mm] \frac{1+a+b}{2} \Rightarrow [/mm] a+b = 1
bzw das umgekehrte bei den anderen beiden a-b = -1
wen man das wiederum gleichsetzt kommt immer 0 raus?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:43 Do 19.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Du hast nun das lineare Gl. -System
a+b=1
a-b=-1
Addiere mal die beiden Gleichungen !!
FRED
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