a,b,c Linearkombinationen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 So 16.11.2008 | | Autor: | svcds |
| Aufgabe | Seien a, b, c natürliche Zahlen. Wir betrachten die Menge [mm] \IL [/mm] aller Linearkombinationen
x*a + y*b + z*c mit ganzzahligen Koeffizienten x, y, z . Zeigen Sie:
i) Ist f = x*a + y*b + z*c eine solche Linearkombination und t ein gemeinsamer Teiler von
a, b und c , so ist t auch ein Teiler von f.
ii) Hat man a mit Rest r durch f geteilt (also a = q * f + r mit 0 [mm] \le [/mm] r < f )- so ist auch
dieser Rest eine Linearkombination aus L.
iii) Unter allen Linearkombinationen aus L, deren Wert f sogar eine natürliche Zahl ist,
betrachten wir diejenige mit dem kleinsten Wert: d = [mm] x_{0} [/mm] * a + [mm] y_{2} [/mm] * b + [mm] z_{2} [/mm] * c. Zeigen Sie,
dass dieses d ein Teiler von a sein muss. (Hinweis: ii)). |
Hi,
ich blick da gar nicht durch.
Irgendeiner ne Idee für mich?
LG KNUT
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:59 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo Knut,
> Seien a, b, c natürliche Zahlen. Wir betrachten die Menge
> [mm]\IL[/mm] aller Linearkombinationen
> x*a + y*b + z*c mit ganzzahligen Koeffizienten x, y, z .
> Zeigen Sie:
> i) Ist f = x*a + y*b + z*c eine solche Linearkombination
> und t ein gemeinsamer Teiler von
> a, b und c , so ist t auch ein Teiler von f.
Wenn t ein Teiler von a ist, dann gibt es eine Zahl [mm] $k\in\IZ$ [/mm] so, dass $a=k*t$ ist.
Dieselbe Darstellung ist für b und c möglich, dann in f einsetzen, t ausklammern, fertig.
> ii) Hat man a mit Rest r durch f geteilt (also a = q * f
> + r mit 0 [mm]\le[/mm] r < f )- so ist auch
> dieser Rest eine Linearkombination aus L.
Du sollst r als Linearkombination von a,b,c darstellen, also lös' mal die Gleichung nach r auf, setze die Darstellung von f ein, multipliziere aus und sortiere nach a, b, c.
> iii) Unter allen Linearkombinationen aus L, deren Wert f
> sogar eine natürliche Zahl ist,
> betrachten wir diejenige mit dem kleinsten Wert: d = [mm]x_{0}[/mm]
> * a + [mm]y_{2}[/mm] * b + [mm]z_{2}[/mm] * c. Zeigen Sie,
> dass dieses d ein Teiler von a sein muss. (Hinweis: ii)).
Es gilt nach dem satz über die Division mit Rest, dass a=qd+r mit [mm] $0\le [/mm] r<d$.
Nach ii) ist r wieder eine Linearkombination von a,b,c, allerdings ist r kleiner als d... Welchen Wert kann r daher nur besitzen?
> ich blick da gar nicht durch.
>
> Irgendeiner ne Idee für mich?
Deine Eigenleistung ist hier ziemlich enttäuschend, normalerweise werden solche Anfragen hier gar nicht beantwortet. Wenigstens Versuche oder Definitionen oder konkrete Fragen hättest du präsentieren können/müssen.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:16 Di 18.11.2008 | | Autor: | svcds |
ähhm deine Antwort kam ja auch zu spät und ich habs dann auch selbst hinbekommen....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:35 Di 18.11.2008 | | Autor: | Marc |
> ähhm deine Antwort kam ja auch zu spät und ich habs dann
> auch selbst hinbekommen....
ähhm, dann stelle deine Fragen in Zukunft nicht sofort bei Erhalt, sondern bitte erst dann, wenn du schon 5 Minuten drüber nachgedacht hast. Wie du gesehen hast, sieht sonst auch kein anderer ein, dir diese Mühe abzunehmen.
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