a mit skalar,det(a,x) bestimmt < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:16 Mi 15.03.2006 | | Autor: | hurdel |
| Aufgabe | | [mm] 0\not= [/mm] a [mm] \in \IR [/mm] gegeben. Dann ist ein x [mm] \in \IR [/mm] durch die Werte <a,x> und det (a,x) eindeutig bestimmt. |
bin mir nicht sicher, wie das gehen soll. ich soll glaub ich x darstellen als
x= ... * <a,x> und x = ... *det (a,x). oder? kann mit jemand helfen? ist wirklich dringend...
habe diese frage in keinem anderen forum gestellt
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Hallo und guten Morgen,
wenn a, [mm] x\in\IR [/mm] sein sollen, was ist dann denn unter [mm] \det [/mm] (a,x) zu verstehen.
Machen wir mal die Hilfsannahme, dass es sich um einen Schreibfehler handelt und anstattdessen [mm] a,x\in \IR^2 [/mm] gemeint sein sollen.
Dann sind
<a,x>= [mm] a_1x_1+a_2x_2
[/mm]
[mm] \det [/mm] (a,x) = [mm] a_1x_2-a_2x_1
[/mm]
also
[mm] \vektor{ \\ \det (a,x)}\:\: =\:\: \pmat{a_1 & a_2 \\ -a_2 & a_1}\cdot \vektor{ x_1 \\ x_2}
[/mm]
und die Determinante dieser Matrix ist [mm] a_1^2+a_2^2>0 [/mm] für [mm] \vektor{a_1\\ a_2}\neq\vektor{ 0\\ 0},
[/mm]
somit ist das LGS eindeutig lösbar.
Gruss,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:03 Mi 15.03.2006 | | Autor: | hurdel |
ich denke, das muss heissen:
[mm] \pmat{\\det(a,x)} [/mm] = [mm] \pmat{a_{1} & a_{2}\\ -a_{2} & a_{1}} \vektor{x_{1}\\x_{2}}, [/mm] oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:07 Mi 15.03.2006 | | Autor: | mathiash |
Hallo hurdel,
da waren wir wohl gleichzeitig am Werk, aber Du hast recht, das war da falsch geschrieben. Sollte jetzt korrigiert sein.
Gruss,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 Mi 15.03.2006 | | Autor: | hurdel |
ist die frage damit schon beantwortet? oder muss ich das lgs noch lösen? wenn ja, wie ist das zu tun?
danke jedenfalls schonmal. haben mir sehr geholfen
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Hallo nochmal,
war mit dem Fehler gemeint, dass ich die Matrix falsch geschrieben habe ? Das war jedenfalls so, ich hab's mal korrigiert.
Stimmt jetzt hoffentlich. 
Also wenn es sich tatsächlich um [mm] a,x\in\IR^2 [/mm] handelt, so ist mit dem Argument die Eindeutigkeit gezeigt:
Ein LGS Ax=b [mm] (A\in\IR^{2\times 2} [/mm] usw.) hat genau dann eine eindeutige Loesung, wenn [mm] \det (A)\neq [/mm] 0 ist.
Falls Du zu gegebenem a noch Dein x bestimmen moechtest, musst Du dann in der Tat das LGS loesen.
Viele Gruesse,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 Mi 15.03.2006 | | Autor: | hurdel |
ja, danke, dass war der kleine fehler. haben mir sehr geholfen. vielleicht können sie mir auch noch sagen, warum gilt:
man betrachte die 2x3-matrix a =(a,b,c). Wegen [mm] rangA\le [/mm] 2 folgt det [mm] A^{t}A=0
[/mm]
dann wär ich glücklich. vielen dank nochmal> Hallo nochmal,
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Hallo nochmal,
ok, ich schreib was zu der Nachfrage, aber möchte bitten, bei solchen Fragen zu einem eigentlich neuen Thema ruhig eine komplett neue
Frage in einem eigenen Strang zu verfassen.
Also hier sollen dann wohl [mm] a,b,c\in\IR^2 [/mm] sein, es sei [mm] A=(a,b,c)\in\IR^{2\times 3}, [/mm] warum ist dann [mm] \det [/mm] (A^TA)=0 ?
Nun: A^TA ist ja die Matrix-Darstellung einer Komposition zweier Abbildungen
[mm] A\colon\IR^3\to\IR^2 [/mm] und [mm] A^T\colon \IR^2\to\IR^3.
[/mm]
A bildet also den gesamten [mm] \IR^3 [/mm] in einen zweidimensionalen Raum [mm] \IR^2 [/mm] hinein ab, kann also nicht injektiv sein, und
damit auch nicht A^TA, somit gilt [mm] \det [/mm] (A^TA) =0.
Gruss,
Mathias
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