(ab)^2 + (cd)^2 = ...? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich muss wieder eine Ungleichung zeigen, würde aber meinen eigenen Lösungsweg gehen, deswegen stell ich mal nur eine Teilfrage, die mir dabei weiterhelfen könnte:
Ist folgende Aussage wahr; wenn ja, wie kann ich das zeigen:
[mm] (ab)^2 [/mm] + [mm] (cd)^2 [/mm] = [mm] (ac)^2 [/mm] + [mm] (bd)^2
[/mm]
LG
Martin
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Hallo Martin,
ich denke nicht, dass das so allgemein gültig ist.
Gibt es irgendwelche Bedingungen für $a,b,c,d$, die die Aussage etwas eingrenzen?
LG
schachuzipus
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Nein, leider wird da gar nichts eingeschränkt.
Ich soll aus der Ungleichung von vorhin:
[mm] (x_1y_1 [/mm] + [mm] x_2y_2)^2 \le (x_1^2 [/mm] + [mm] x_2^2)(y_1^2 [/mm] + [mm] y_2^2)
[/mm]
folgende andere Ungleichung ableiten:
(a + [mm] b)^2 \le 2(a^2 [/mm] + [mm] b^2)
[/mm]
Mein Ansatz war folgender:
Ich setze a := [mm] x_1y_1 [/mm] und b := [mm] x_2y_2
[/mm]
Wenn ich jetzt zeigen kann, dass
[mm] (x_1^2 [/mm] + [mm] x_2^2)(y_1^2 [/mm] + [mm] y_2^2) \le 2((x_1y_1)^2 [/mm] + [mm] (x_2y_2)^2)
[/mm]
Dann müsste
(a + [mm] b)^2 \le 2(a^2 [/mm] + [mm] b^2)
[/mm]
zwangsläufig folgen. Ist der Ansatz aussichtsreich?
LG
Martin
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Hallo nochmal,
hmm, ich glaube, das klappt so irgendwie nicht.Das ist so einfach nicht zu zeigen.
Das Problem bei dem anderen post ist v.a., dass du beim letzen Schritt durch [mm] $x_1y_1x_2y_2$ [/mm] geteilt hast.
Da musste ja aufpassen, dass das nicht =0 ist oder nicht negativ, da sich sonst das Ungleichheitszeichen umdrehen würde.
Ich denke, dieser Ansatz ist nicht sonderlich erfolgversprechend,
du ja etliche Fallunterscheidungen machen müsstest.
Der Ansatz über das Quadrat zu gehen ist da sicher ergiebiger
Gruß
schachuzipus
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Über das Quadrat? Wie meinst du das? Gib mir mal bitte noch nen Tipp!
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siehe meine Antwort im anderen post
Gruß
schachuzipus
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Aber wie soll ich [mm] x_1, x_2, y_1, y_2 [/mm] in Relation zu a, b setzen?
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Hallo Martin,
ich glaube, der Ansatz [mm] $a=x_1y_1$ [/mm] zu setzten, bringt dich nicht weit, weil du nach dem Ausmultiplizieren auf der rechten Seite [mm] $x_1^2y_2^2$ [/mm] und [mm] $x_2^2y_1^2$ [/mm] behältst.
Ich sehe so nicht, wie du das mit a und b weiter verarzten kannst.
Wie gesagt, ich würde alles auf die rechte Seite packen, dann hast du [mm] 0\le (irgendwas)^2
[/mm]
Aber vielleicht kannst du deinen Ansatz noch irgendie hinstricken - ist aber recht umständlich im Vergleich
Viel Erfolg
schachuzipus
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Ja, also dein Ansatz, alles auf die rechte Seite zu tun und dann zu zeigen, dass
0 [mm] \le x^2
[/mm]
funktioniert ja auch. Das Problem ist bloß, dass in der Aufgabenstellung steht, leiten Sie aus
[mm] (x_1y_1 [/mm] + [mm] x_2y_2)^2 \le (x_1^2 [/mm] + [mm] x_2^2)(y_1^2 [/mm] + [mm] y_2^2)
[/mm]
die Ungleichung
(a + b) [mm] \le 2(a^2 [/mm] + [mm] b^2)
[/mm]
ab. Also dann verstehe ich das so, dass ich die beiden Ungleichungen irgendwie zueinander in Beziehung setzen muss, nach dem Schema "wenn das eine wahr ist, dann ist auch das andere wahr". Oder wie würdest du das mit dem "ableiten" verstehen?
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Ach so,
jetzt verstehe ich, was du meinst.
Also wenn du nach dem Ausmultiplizieren das [mm] x_1^2y_1^2 [/mm] und [mm] x_2^2y_2^2 [/mm] auf beiden Seiten eliminierst, hast du ja
[mm] 2x_1y_1x_2y_2\le x_1^2y_2^2+x_2^2y_1^2
[/mm]
[mm] \gdw 2(x_1y_2x_2y_1)\le x_1^2y_2^2+x_2^2y_1^2
[/mm]
Hier kannst du nun [mm] $a=x_1y_2$ [/mm] und [mm] $b=x_2y_1$ [/mm] setzen
Dann ergibt sich ja die Ungleichung [mm] 2ab\le a^2+b^2
[/mm]
Nun wieder alles auf die rechte Seite schaffen:
[mm] \gdw 0\le a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
[/mm]
Das ist doch eigentlich genau mein Ansatz nur mit zusätzlicher Substitution
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:12 Di 10.04.2007 | | Autor: | sancho1980 |
Cool, danke!
Jetzt kann ich ruhig schlafen gehen
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Ja dann gute N8
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:59 Di 10.04.2007 | | Autor: | leduart |
hallo
einfachste Version: x1=a, x2=b y1=y2=1
einstzen, fertig!
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:59 Di 10.04.2007 | | Autor: | sancho1980 |
Oh ja,
das ist offensichtlich
Mein Problem ist, dass ich auf sowas immer nicht selbst komme... :(
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