abelsche Gruppe / Ordnung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:54 Fr 22.06.2012 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Es sei A eine endliche abelsche Gruppe.
Die Ordnung von A sei eine Primzahlpotenz, das bedeutet [mm] A=A(p)\not=\{0\} [/mm] für eine Primzahl p. Zeigen Sie, dass A genau dann zyklisch ist, wenn [mm] A_p=\{a\in A \ | \ pa=0\} [/mm] genau p Elemente enthält. |
Hallo! Würde jetzt gern meine eigenen Ideen hier hinschreiben, leider habe ich aber auch nach ewigem Überlegen keinen Ansatz gefunden.
Hat jemand eine Idee/Tipp für mich?
Danke und lieben Gruß,
chesn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:45 So 24.06.2012 | | Autor: | chesn |
Hat wirklich keiner einen Ansatz für mich?? Wäre sehr dankbar.. [mm] :\
[/mm]
Lieben Gruß,
chesn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:11 So 24.06.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Was heißt denn das A(p)?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 So 24.06.2012 | | Autor: | tagg |
Hallo,
klingt sehr nach Zahlentheorie. Welche Sätze habt ihr denn bisher zu zyklischen Gruppen gehabt?
Ich erinnere mich da zum Beispiel an die folgende Charakterisierung zyklischer Gruppen:
Für eine endliche Gruppe (G, ·) sind die folgenden Aussagen äquivalent
a. G ist zyklisch.
b. G hat für jeden Teiler d von |G| genau eine Untergruppe der Ordnung d.
c. G hat für jeden Teiler d von |G| höchstens eine Untergruppe der Ordnung d.
d. G hat für jeden Teiler d von |G| höchstens [mm] \phi(d) [/mm] Elemente der Ordnung d.
e. G hat für jeden Teiler d von |G| genau [mm] \phi(d) [/mm] Elemente der Ordnung d.
[mm] \phi [/mm] ist dabei die Eulersche [mm] \phi-Funktion, [/mm] die folgendermaßen definiert ist:
[mm] $\phi [/mm] : [mm] \IZ_{>0} \to \IR [/mm] : n [mm] \mapsto |\IZ_{n}^{\*}|
[/mm]
jetzt müsstest du quasi nur noch irgendwie die Voraussetzung mit abelsch und Primzahlpotenz da so verwursten, dass du eine dieser Bedingungen herausbekommst, sodass du dann auf Aussage a. kommst (die du ja haben willst).
Andererseits könnten dir hierbei auch die Sylowsätze weiterhelfen, da hier explizit von Primzahlpotenzen die Rede ist (sind die dir aus dem bisherigen Verlauf deiner Vorlesung bekannt?)
Gruß
tagg
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Hi,
da gibt es folgende hübsche Charakterisierung für zyklische Gruppen:
Eine Gruppe A ist zyklisch <=> Für alle [mm]m\in \IN, m\mid |A|[/mm] gibt es m Lösungen [mm]=:A_m[/mm] der Gleichung [mm]a*m=0[/mm] in A. (*)
Wenn es für alle m gelten mussen, dann sollte es erst recht für das eine p gelten.
Ich würde da eher (*) zeigen. Das ist leichter.
Angenommen es gäbe solche m's für die [mm]|A_m|\neq m[/mm] gilt. Wir bezeichnen das kleinste von diesen mit p.
Wir können jetzt annehmen, dass [mm]|A_p|>p[/mm] in deiner Notation ist.
Es gäbe also mehr als [mm]p<|A_p|=:k[/mm] verschiedene Lösungen für [mm]ap=0[/mm] bezeichnet mit [mm]\{a_1,\ldots,a_k\}[/mm].
Zu allererst ist [mm]A_p\subseteq A[/mm] eine Untergruppe. Damit muss [mm]k=p*h[/mm] für ein [mm]h\in\IN[/mm] gelten.
Wie sieht es mit den Elementen [mm]\{ha_1,\ldots,ha_k\}[/mm] aus? Wenn man zeigt, dass dies auch mehr als p verschiedene Elemente sind, findet man einen Widerspruch.
Edit: Ich sehe grad, dass es nur für die eine Richtung genügt, aber du brauchst ja <=>.
Edit2: Oder reicht es doch?
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moin wieschoo,
> da gibt es folgende hübsche Charakterisierung für
> zyklische Gruppen:
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> Eine Gruppe A ist zyklisch <=> Für alle [mm]m\in \IN[/mm] gibt es m
> Lösungen [mm]=:A_m[/mm] der Gleichung [mm]a*m=0[/mm] in A. (*)
Also in der Form stimmt das wohl nicht wirklich.
Wähle etwa $A= [mm] (\IZ [/mm] ,+)$, da findest du nur eine Lösung für alle $m$.
Wähle [mm] $A=\{\pm 1\}$, [/mm] da findest du höchstens zwei Lösungen für jedes $m$.
Meinst du vielleicht:
"... für alle $m [mm] \in \IN$ [/mm] mit $m [mm] \mid [/mm] n$ wobei $n$ die (endliche!) Ordnung von $A$ bezeichnet"?
lg
Schadow
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 14:06 Mo 25.06.2012 | | Autor: | wieschoo |
Ja habe ich geändert, da fehlt das mit der Teilbarkeit, was allerdings klar sein sollte (hab ich wirklich vergessen aufzuschreiben...)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Mo 25.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Es sei A eine endliche abelsche Gruppe.
> Die Ordnung von A sei eine Primzahlpotenz, das bedeutet
> [mm]A=A(p)\not=\{0\}[/mm] für eine Primzahl p. Zeigen Sie, dass A
> genau dann zyklisch ist, wenn [mm]A_p=\{a\in A \ | \ pa=0\}[/mm]
> genau p Elemente enthält.
hattet ihr den Hauptsatz ueber endlich erzeugte abelsche Gruppen? Den kannst du hier anwenden und bekommst sehr schnell das Ergebnis.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:45 Mo 25.06.2012 | | Autor: | davux |
Das Ding ist, wir beschäftigen uns eigentlich seit einem Dreivierteljahr garnicht mehr mit Gruppen. Den Begriff zyklisch hatten wir nur in Bezug auf Moduln, was eigentlich noch seit einigen Wochen unser Hauptthema ist.
Die Aufgabe erscheint mit etwas eingeschoben als Vorbereitung auf Algebra. Gegenwärtig befinden wir uns noch in der Vorlesung Lineare Algebra II.
Wir hatten zuletzt in diesem Zusammenhang den "Hauptsatz über endlich erzeugte Moduln über euklidischen Ringen". Das scheint ja dem von dir erwähnten recht ähnlich zu sein. In der Nähe finde ich im Skript noch Definition, nach der ich [mm] $A(p)=\{a\in A: Es\,gibt\,k\in\IN\,mit\,p^k\cdot a=0 \}$ [/mm] als den p-primären Anteil von A deuten würde.
Wir haben das Thema Gruppen eher im Rahmen der Grundbegriffe mit ein paar Definitionen zementiert, nicht mal Gruppentafeln gemacht, meine ich mich zu erinnern. Auf dem letzten Blatt hatten wir schon eine ähnliche Aufgabe, allerdings noch mit Bezug auf Moduln.
Ich bin gerade noch damit beschäftigt die Aufgabe besser zu verstehen. In einigen Algebrabüchern findet man da schon das ein oder andere zu den Zusämmenhängen von "zyklisch" und "abelsch", aber [mm] $A_p$ [/mm] ist mir auch noch nicht klargeworden. Eben habe ich in einigen Notizen ziemlich viel gesammelt. Allerdings stützt man sich dort zumeist auf den Satz von Lagrange als Argument, den ich aber in meinen Unterlagen nicht finden kann.
Übrigens besteht die Aufgabe eigentlich aus zwei Teilen. Der erste Teil ist war die Frage, ob A als [mm] \IZ-Modul [/mm] endlich erzeugt sei.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:33 Mo 25.06.2012 | | Autor: | davux |
Na gut, ich möchte nach meiner Mitteilung noch etwas probieren. Mir ist eben noch etwas im Skript aufgefallen. Und zwar heißt es, setzt man im Hauptsatz über endlich erzeugte Moduln über euklidischen Ringen [mm] $R=\IZ$, [/mm] so erhält man den Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen.
Nun schreckt mich das lesen des Satzes schon leicht ab.
Er besagt anscheinend, dass man ein [mm] \IZ-Modul [/mm] M in eindeutig bestimmten Anteilen aus Restklassenringen ausdrücken kann. Irgendwie habe ich aber den Eindruck, dass mir das bei der Aufgabe nicht unbedingt hilft. Ich meine, es wirkt eher umwegig.
Sagt mal, ist [mm] $A=A(p)=A_p$? [/mm] Ich meine, schreibt man [mm] $p^k [/mm] a=0$, wie ich in der Mitteilung geschrieben habe, im additiven Fall $p a=0$? Ich tappe wohl noch im dunkeln. Zum Thema zyklisch fällt mir ein, dass wenn A zyklisch ist, es durch ein Element erzeugt wird. Wenn A also von einem Element a erzeugt wird, dann besitzt jedes Element [mm] $g\in [/mm] A$ eine Darstellung [mm] $g=a^m$. [/mm] Wenn A die Ordnung p hat, bedeutet das doch [mm] $A=\{e,a,a^2,...,a^{p-1}\}$? A_p [/mm] soll, damit A zyklisch ist, auch p Elemente haben. p Elemente, die sich aus durch mit p annulierten Elementen aus A ergibt. Aus dem erwähnten Abschnitt, welcher als "wichtiges Beispiel" im Skript betitelt ist, kann ich noch entnehmen, dass die endlichen abelschen Gruppen endlich-erzeugte Torsionsmoduln über [mm] \IZ [/mm] sind. So, und hier müsste ich wieder anfangen zu ordnen. Stehe wohl noch auf dem Schlauch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Do 28.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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