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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:31 So 21.02.2010 | | Autor: | katjap |
| Aufgabe | Ist {(x,0) [mm] \in \IR^{2} [/mm] : x [mm] \in \IR [/mm] } eine abgeschlossene Teilmenge von [mm] \IR^{2}?
[/mm]
Ja oder Nein mit begründung |
Hallo,
ich komme da irgendwie mit den Sätzen nicht zurecht.
Aus der Vorlesung haben wir:
Für x [mm] \in [/mm] E (euklidisch) und [mm] \varepsilon [/mm] > 0: [mm] U_\varepsilon [/mm] (x) := {y [mm] \in [/mm] E: d(x,y) < [mm] \varepsilon}
[/mm]
Eine Teilmenge von M [mm] \subseteq [/mm] E ist offen, wenn: [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \exists \varepsilon [/mm] > 0: U [mm] \varepsilon [/mm] (x) [mm] \subseteq [/mm] M
Eine Teilmenge M [mm] \subseteq [/mm] E ist abgeschlossen, wenn E \ M offen ist.
Anschaulich gesehen, geht es doch darum, ob innerhalb der Menge es noch möglich ist einen Kreisring mit Radius Epsilon um jedes Element der Menge zu ziehen, sodass der Kreisring noch innerhalb der Menge liegt.
Bsp. sind doch die irrationalen Zahlen,da ginge der Kreisring auch durch die rationalen Zahlen, dann wäre doch die Menge offen oder?
hat mir jemand ein Beispiel für weitere offene und abgeschlossene Mengen?
WIe verhät es sich bei dem obigen Beispiel?
ich würde sagen, dass die Menge abgeschlossen ist , aber ichkann das nicht richtig begründen.
Kann mir jemand bei der Formulierung dieser Probleme im Allgemeinen helfen?
vielen dank,
lg
katja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:52 So 21.02.2010 | | Autor: | abakus |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Ist {(x,0) [mm]\in \IR^{2}[/mm] : x [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} eine abgeschlossene
> Teilmenge von [mm]\IR^{2}?[/mm]
> Ja oder Nein mit begründung
Hallo,
wegen der y-Koordinate Null handelt es sich um alle Punkte der x-y-Ebene, die auf der x-Achse liegen (also um die x-Achse selbst).
> Hallo,
>
> ich komme da irgendwie mit den Sätzen nicht zurecht.
>
> Aus der Vorlesung haben wir:
>
> Für x [mm]\in[/mm] E (euklidisch) und [mm]\varepsilon[/mm] > 0:
> [mm]U_\varepsilon[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
(x) := {y [mm]\in[/mm] E: d(x,y) < [mm]\varepsilon}[/mm]
>
> Eine Teilmenge von M [mm]\subseteq[/mm] E ist offen, wenn: [mm]\forall[/mm] x
> [mm]\in[/mm] M [mm]\exists \varepsilon[/mm] > 0: U [mm]\varepsilon[/mm] (x) [mm]\subseteq[/mm]
> M
>
> Eine Teilmenge M [mm]\subseteq[/mm] E ist abgeschlossen, wenn E \ M
> offen ist.
>
> Anschaulich gesehen, geht es doch darum, ob innerhalb der
> Menge es noch möglich ist einen Kreisring mit Radius
> Epsilon um jedes Element der Menge zu ziehen, sodass der
> Kreisring noch innerhalb der Menge liegt.
... und es dürfte schwierig sein, um einen Punkt der x-Achse einen Kreis zu ziehen, der keine Punkte außerhalb der Achse enthält.
Gruß Abakus
>
> Bsp. sind doch die irrationalen Zahlen,da ginge der
> Kreisring auch durch die rationalen Zahlen, dann wäre doch
> die Menge offen oder?
>
> hat mir jemand ein Beispiel für weitere offene und
> abgeschlossene Mengen?
>
> WIe verhät es sich bei dem obigen Beispiel?
> ich würde sagen, dass die Menge abgeschlossen ist , aber
> ichkann das nicht richtig begründen.
>
> Kann mir jemand bei der Formulierung dieser Probleme im
> Allgemeinen helfen?
>
> vielen dank,
>
> lg
>
> katja
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:00 So 21.02.2010 | | Autor: | katjap |
lol, ja das leuchtet sogar mir ein;)
daher ist dann die teilmenge wohl abgeschlossen, da kein solcher kreisring existiert.
danke:)
lg katja
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:36 So 21.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Katja,
> daher ist dann die teilmenge wohl abgeschlossen, da kein
> solcher kreisring existiert.
Das Ergebnis stimmt, die Begründung nicht: Dass solche Kreisringe nicht existieren, sagt dir nur, dass die Teilmenge nicht offen ist. Das heißt noch lange nicht, dass sie abgeschlossen ist.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 So 21.02.2010 | | Autor: | katjap |
hm ok,
wie muss ich das dann begründen, dass die begründung richtig ist.
bei uns hieß es halt immer, ist sie nicht offen, ist sie abgeschlossen,
und daher komm cih auf meinen satz.
danke fürs nochmal drüberschauen.
wie lautet es richtig?
gruß
katja
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 So 21.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> wie muss ich das dann begründen, dass die begründung
> richtig ist.
Nun, du musst dir überlegen, dass [mm] $E\setminus\{(x,0)\in\IR^2\;|\;x\in\IR\}$ [/mm] offen ist. Wie sieht diese Menge geometrisch aus? Ist mit jedem Punkt auch eine Kreisring drumherum drin?
Reicht ein Klarmachen am Bildchen? Oder braucht ihr eine formale Begründung?
> bei uns hieß es halt immer, ist sie nicht offen, ist sie
> abgeschlossen,
Nein, das stimmt überhaupt nicht. Gegenbeispiel: [mm] $U_1(0)\cup\{2\}$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 So 21.02.2010 | | Autor: | katjap |
hm,
naja mein Prof gibt oft schwammige Begründungen, da wir Analysis für Physiker hören,
aber die formale Variante wärewohl für die Klausur sicherer.
Zu deiner Frage:
Nun, du musst dir überlegen, dass $ [mm] E\setminus\{(x,0)\in\IR^2\;|\;x\in\IR\} [/mm] $ offen ist. Wie sieht diese Menge geometrisch aus? Ist mit jedem Punkt auch eine Kreisring drumherum drin?
wenn ich die x-Achse weglasse, ist nicht unbedingt jeder Kreisring drin, denn direkt nebenan geht das ja wieder nicht, oder doch?
jetzt bin ich verwirrt!?!
kannst du mir auf die Sprünge helfen?
Danke:)
lg
katja
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 So 21.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> naja mein Prof gibt oft schwammige Begründungen, da wir
> Analysis für Physiker hören,
> aber die formale Variante wärewohl für die Klausur
> sicherer.
Gut, dann machen wir das auch formal. Aber ein Bildchen hilft so oder so.
> wenn ich die x-Achse weglasse, ist nicht unbedingt jeder
> Kreisring drin, denn direkt nebenan geht das ja wieder
> nicht, oder doch?
Es muss ja auch nicht jeder Kreisring drin sein, sondern nur mindestens einer. Und egal, wie nah du an die x-Achse herangehst, du findest einen Kreisring, der klein genug ist, so dass er keine gemeinsamen Punkte mit der x-Achse hat.
Z.B. um den Punkt (-2;5) tut es ein Kreisring vom Radius 1 (wenn dir das nicht klar ist, mal ein Bildchen!). Gehen wir mal näher an die x-Achse: Wie sieht es mit dem Punkt (-2;0,1) aus? Ein Kreisring vom Radius 0,01 tut es auf jeden Fall.
Um einen formalen Beweis zu führen, dass [mm] $M:=\IR^2\setminus\{(x,0)\in\IR^2\;|\;x\in \IR\}$ [/mm] offen ist, müssen wir uns einen beliebigen Punkt [mm] $(x,y)\in [/mm] M$ außerhalb der x-Achse (also [mm] $x,y\in\IR$, $y\not=0$) [/mm] nehmen und ein [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] finden mit [mm] $U_\varepsilon((x,y))\subset [/mm] M$, also so dass der Kreisring um $(x,y)$ vom Radius [mm] $\varepsilon$ [/mm] keinen Punkt der x-Achse enthält.
Hast du eine Idee, wie man [mm] $\varepsilon$ [/mm] wählen könnte? Wenn nicht, versuche mal z.B. anhand der obigen Beispielpunkte auszuprobieren, welche Radien da so in Frage kämen.
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