absolut integrierbar < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:24 Mi 03.06.2009 | | Autor: | ulla |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: [mm] f:[\pi [/mm] , [mm] \infty) [/mm] -> [mm] \IR [/mm] mit f(x) = [mm] \bruch{sinx}{x} [/mm] (x [mm] \in [\pi [/mm] , [mm] \infty) [/mm] ist absolut integrierbar auf [mm] [\pi [/mm] , [mm] \infty). [/mm] |
Hallo
Hier mein Ansatz:
es gilt : [mm] \bruch{|sinx|}{x} \le \bruch{1}{x}
[/mm]
Da [mm] \integral_{\pi}^{\infty}{\bruch{dx}{x}} [/mm] existiert, folgt auch die Existens von [mm] \integral_{\pi}^{\infty}{\bruch{|sinx|}{x} dx}
[/mm]
Daraus folgt: [mm] \integral_{\pi}^{\infty}{\bruch{sinx}{x} dx} [/mm] existiert.
Bitte kann mir jemand helfen. Ich weiß nicht ob das so genügt, weil ich auch denke , dass ich es so nicht richtig gezeigt habe.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke schon mal im Vorraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:39 Mi 03.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie: [mm]f:[\pi[/mm] , [mm]\infty)[/mm] -> [mm]\IR[/mm] mit f(x) =
> [mm]\bruch{sinx}{x}[/mm] (x [mm]\in [\pi[/mm] , [mm]\infty)[/mm] ist absolut
> integrierbar auf [mm][\pi[/mm] , [mm]\infty).[/mm]
> Hallo
> Hier mein Ansatz:
> es gilt : [mm]\bruch{|sinx|}{x} \le \bruch{1}{x}[/mm]
> Da
> [mm]\integral_{\pi}^{\infty}{\bruch{dx}{x}}[/mm] existiert,
Das ist falsch !
Das Integral [mm]\integral_{\pi}^{\infty}{\bruch{dx}{x}}[/mm] ist divergent !!
Nimm das Cauchykriterium: Für [mm] $\pi [/mm] <s<t$ ist (partielle Integration):
$ [mm] \integral_{s}^{t}{\bruch{sinx}{x} dx} [/mm] = [mm] \bruch{cos(s)}{s}-\bruch{cos(t)}{t}-\integral_{s}^{t}{\bruch{cosx}{x^2} dx}$
[/mm]
Zeige damit:
$| [mm] \integral_{s}^{t}{\bruch{sinx}{x} dx}| \le [/mm] 2/s$
Jetzt Cauchykrit.
FRED
> folgt
> auch die Existens von
> [mm]\integral_{\pi}^{\infty}{\bruch{|sinx|}{x} dx}[/mm]
> Daraus
> folgt: [mm]\integral_{\pi}^{\infty}{\bruch{sinx}{x} dx}[/mm]
> existiert.
>
> Bitte kann mir jemand helfen. Ich weiß nicht ob das so
> genügt, weil ich auch denke , dass ich es so nicht richtig
> gezeigt habe.
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Danke schon mal im Vorraus!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 Mi 03.06.2009 | | Autor: | ulla |
Danke für deine Antwort.
Also die Zerlegung durch partielle Integration ist mir klar aber der Rest leider gar nicht. Ich weiß jetzt, dass [mm] \integral_{\pi}^{\infty}{ \bruch{|sinx|}{x} dx} [/mm] nicht existiert. Aber weiter kappier ich hier nichts. Wie wende ich hier das Cauchy Kriterium an??
BItte kannst du mir das ganz einfach erklären oder irgentwie helfen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:26 Mi 03.06.2009 | | Autor: | Kinghenni |
seltsam, ich soll zeigen das die fkt in dem intervall nicht abs integrierbar ist
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:30 Mi 03.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> seltsam, ich soll zeigen das die fkt in dem intervall nicht
> abs integrierbar ist
Was ist daran seltsam ? Wenn $ [mm] \integral_{\pi}^{\infty}{ \bruch{|sinx|}{x} dx} [/mm] $ nicht existiert, so ist die Funktion [mm] \bruch{|sinx|}{x} [/mm] über [mm] [\pi, \infty) [/mm] nicht integrierbar
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:34 Mi 03.06.2009 | | Autor: | Kinghenni |
ich find nur ihre fragestellung seltsam, bei uns
heißt: Zeigen sie xy wahr ist, dann ist auch xy wahr
aber sie soll ja etwas zeigen was nicht wahr ist, a
aber vll is das mit absicht so mies gefragt worden
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Hallo!
Indem wir nun wissen dass
[mm] $\integral_{s}^{t}{\bruch{sinx}{x} dx} [/mm] = [mm] \bruch{cos(s)}{s}-\bruch{cos(t)}{t}-\integral_{s}^{t}{\bruch{cosx}{x^2} dx}$
[/mm]
gilt, können wir auch folgern:
[mm] $\left|\integral_{s}^{t}{\bruch{sinx}{x} dx}\right| [/mm] = [mm] \left|\bruch{cos(s)}{s}-\bruch{cos(t)}{t}-\integral_{s}^{t}{\bruch{cosx}{x^2} dx}\right| \le \left|\bruch{cos(s)}{s}\right|+\left|\bruch{cos(t)}{t}\right|+\left|\integral_{s}^{t}{\bruch{cosx}{x^2} dx}\right| \le \left|\bruch{cos(s)}{s}\right|+\left|\bruch{cos(t)}{t}\right|+\integral_{s}^{t}{\left|\bruch{cosx}{x^2}\right| dx} [/mm] $
[mm] $\le\left|\bruch{cos(s)}{s}\right|+\left|\bruch{cos(t)}{t}\right|+\integral_{s}^{t}{\left|\bruch{1}{x^2}\right| dx} \le \left|\bruch{1}{s}\right|+\left|\bruch{1}{t}\right|-\left|\bruch{1}{t}\right| [/mm] + [mm] \left|\bruch{1}{s}\right| [/mm] = [mm] \left|\bruch{2}{s}\right|$.
[/mm]
Das Cauchy-Kriterium kann auch auf Integrale übertragen werden, setze bei dem ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia-Artikel einfach für jedes Summenzeichen ein Integral ein. Was können wir nun über die Konvergenz des Integrals folgern, wenn wir oben schon gesehen haben, dass wir den Wert des Integrals über die untere Grenze mit 2/s abschätzen können?
Viele Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Mi 03.06.2009 | | Autor: | ulla |
oh sehr gut danke das versteh ich auf jeden Fall jetzt mal.
Nur mit dem Chauchy Kriterium steh ich glaube ich auf Kriegsfuß. Wenn ich für das Summenzeichen ein Integral einsetzte sagt es mir doch, dass das Integral kleiner ist als die unter Grenze 2/s oder??? Ich versteh dass aber nicht so ganz. Kann ich auch sagen, da die Grenze nicht beschränkt ist also bis [mm] \infty [/mm] geht, ist f(x) nicht absolut integrierbar??
DAnke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:54 Mi 03.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Das Cauchykriterium lautet so:
[mm] \integral_{a}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] ist konvergent [mm] \gdw
[/mm]
zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gibt es eib [mm] s_0 [/mm] mit
$| [mm] \integral_{s}^{t}{f(x) dx} [/mm] | < [mm] \varepsilon [/mm] $ für [mm] t>s>s_0.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Mi 03.06.2009 | | Autor: | ulla |
also kann man daraus ersehen dass f konvergiert aber nicht absolut integrierbar ist ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:06 Mi 03.06.2009 | | Autor: | fred97 |
1. f(x) = $ [mm] \bruch{sinx}{x} [/mm] $ ist nicht absolut integrierbar auf $ [mm] [\pi [/mm] $ , $ [mm] \infty). [/mm] $ !!!
2. f(x) = $ [mm] \bruch{sinx}{x} [/mm] $ ist integrierbar auf $ [mm] [\pi [/mm] $ , $ [mm] \infty). [/mm] $ (Das zeigt das Cauchykriterium)
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:12 Mi 03.06.2009 | | Autor: | ulla |
Alles klar. Ich bedanke mich bei dir, war echt ne schwere Geburt 
Danke
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> > es gilt : [mm]\bruch{|sinx|}{x} \le \bruch{1}{x}[/mm]
> > Da
> > [mm]\integral_{\pi}^{\infty}{\bruch{dx}{x}}[/mm] existiert,
>
>
> Das ist falsch !
>
> Das Integral [mm] \integral_{\pi}^{\infty}{\bruch{dx}{x}} [/mm] ist
> divergent !!
[mm] \bruch{|sinx|}{x} \le \bruch{1}{x}, [/mm]
damit ist aber nicht bewiesen das [mm] \bruch{|sinx|}{x} [/mm] divergiert, denn etwas das kleiner ist als etwas das divergiert, kann alles sein, das würde ich aber gern beweisen
also mit tipp vom prof kam ich auf die idee
[mm] \integral_{\pi*}^{\infty}{\bruch{|sinx|}{x}}dx=\summe_{i=1}^{n}\integral_{\pi*i}^{\pi*(i+1)}{\bruch{|sinx|}{x}}
[/mm]
so addiere ich alle beträge der schwingung vom sinus, aber es fehlt noch
[mm] \summe_{i=1}^{n}\integral_{\pi*i}^{\pi*(i+1)}{\bruch{|sinx|}{x}}\le....\to\infty [/mm] (denke hier kommt noch ein [mm] "n\to\infty")
[/mm]
aber was kann ich für ... einsetzen, das noch divergiert?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Mi 17.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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