absolute Extrema < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:16 Mo 29.09.2008 | | Autor: | Yami |
Hallo, in einer alten Klausur gibt es eine aufgabe wo die absoluten extrema gefunden werden sollen hier mal die Aufgabe:
[mm] f_{n}(x) [/mm] = [mm] n*x^{2}*(1 [/mm] - [mm] \bruch{x}{2})^{n}
[/mm]
n [mm] \in \IN
[/mm]
x [mm] \in [/mm] [0,2]
Dazu war noch ein tipp angegeben, womit ich aber nichts anfangen kann.
Tipp: Überlegen Sie sich erst, wo die absoluten Minima der Funktionen liegen (geht leicht ohne Differentialrechnung: Definitionsbereich beachten, um das Vorzeichen von [mm] f_{n}(x) [/mm] zu checken), dann wird die Argumentation für die absoluten Maxima vom Aufwand her leichter (bei geschickter Argumentation ist nämlich dann keine zweite Ableitung mehr nötig!)
Da ih nicht wußte was er hier meint.... fing ich mit der ersten Ableitung an und habe es dann gleich 0 gesetzt. und raus kam:
x = [mm] \bruch{4}{n+2}
[/mm]
doch nun weiter? reicht es eigentlich nicht wenn ich jetzt
f(x) <= [mm] f(x_{0})
[/mm]
indem fall also halt vom definitionsbereich für x = 2 und für [mm] x_{0} [/mm] = [mm] \bruch{4}{n+2}
[/mm]
ist das so richtig, kann mir da jemand helfen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Mo 29.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, in einer alten Klausur gibt es eine aufgabe wo die
> absoluten extrema gefunden werden sollen hier mal die
> Aufgabe:
>
> [mm]f_{n}(x)[/mm] = [mm]n*x^{2}*(1[/mm] - [mm]\bruch{x}{2})^{n}[/mm]
>
> n [mm]\in \IN[/mm]
>
> x [mm]\in[/mm] [0,2]
>
> Dazu war noch ein tipp angegeben, womit ich aber nichts
> anfangen kann.
> Tipp: Überlegen Sie sich erst, wo die absoluten Minima der
> Funktionen liegen (geht leicht ohne Differentialrechnung:
> Definitionsbereich beachten, um das Vorzeichen von [mm]f_{n}(x)[/mm]
> zu checken), dann wird die Argumentation für die absoluten
> Maxima vom Aufwand her leichter (bei geschickter
> Argumentation ist nämlich dann keine zweite Ableitung mehr
> nötig!)
>
Zunächst sieht man :
[mm] f_n(x) \ge [/mm] =0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,2] und [mm] f_n(0) [/mm] = [mm] f_n(2) [/mm] = 0, also hat [mm] f_n [/mm] in 0 und 2 jeweils das absolute Minimum.
Da [mm] f_n [/mm] stetig und [0,2] kompakt, nimmt [mm] f_n [/mm] sein absolutes Maximum im offenen Intervall (0,2) an . Die stelle dieses Extremums bekommst Du über [mm] f_n'(x) [/mm] = 0
> Da ih nicht wußte was er hier meint.... fing ich mit der
> ersten Ableitung an und habe es dann gleich 0 gesetzt. und
> raus kam:
>
> x = [mm]\bruch{4}{n+2}[/mm]
Da habe ich etwas anderes: x = 4/n
>
> doch nun weiter?
Die Ableitung von [mm] f_n [/mm] hat in (0,2) nur eine Nullstelle, also ist dort die Stelle des absoluten Maximums.
FRED
>reicht es eigentlich nicht wenn ich jetzt
>
> f(x) <= [mm]f(x_{0})[/mm]
>
> indem fall also halt vom definitionsbereich für x = 2 und
> für [mm]x_{0}[/mm] = [mm]\bruch{4}{n+2}[/mm]
>
> ist das so richtig, kann mir da jemand helfen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 Mo 29.09.2008 | | Autor: | Yami |
Danke für die schnelle antwort, also zu dem kandidaten, den ich angegeben habe war eigentlich richtig....
Noch ne weitere frage ich habe halt die 2. Ableitung gebildet und dann den kandidaten rausbekommen doch das sah alles sehr komisch aus... ist das nur mit diesem tipp machbar?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:05 Mo 29.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dass du das absolute Max. durch f'=0 findest, liegt daran, dass die fkt an den Randpunkten ein Minimum hat, bzw sicher kleiner als im Inneren ist.
Du kannst dir leicht ne fkt zeichnen, die etwa bei 1 die Ableitung 0 hat, und den Wert 1, bei 0 den Wert 0 und bei 2 den Wert 3.
die haette ihr abs. Max bei 2, bei 1 wuar nur ein relatives max.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Mo 29.09.2008 | | Autor: | Yami |
geht diese vorgehensweise eigentlich immer oder nur für bestimmte aufgaben:
z.B.: bei dieser aufgabe geht das auch oder hier nicht?
f(x) = [mm] \bruch{n*x}{1 + {n}^2 * {x}^2}
[/mm]
danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Mo 29.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> geht diese vorgehensweise eigentlich immer oder nur für
> bestimmte aufgaben:
>
> z.B.: bei dieser aufgabe geht das auch oder hier nicht?
>
> f(x) = [mm]\bruch{n*x}{1 + {n}^2 * {x}^2}[/mm]
>
> danke
Es hängt vom Definitonsbreich ab .......................
Wenn Du uns den verrätst, können wir über die Vorgehensweise reden.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Mo 29.09.2008 | | Autor: | Yami |
sorry habe ihn vergessen der is [0,1].
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 Mo 29.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> sorry habe ihn vergessen der is [0,1].
Auch hier: [mm] f_n(x) \ge [/mm] 0 für x [mm] \in [/mm] [0,1]. Es ist [mm] f_n(0) [/mm] = 0. Also hat [mm] f_n [/mm] an der Stelle 0 sein absolutes Minimum.
Es ist [mm] f_n(1) [/mm] = [mm] \bruch{n}{1+n^2}. [/mm] Liegt an der Stelle 1 ein Extremum vor ?
Für x [mm] \in [/mm] (0,1) gilt: [mm] f_n'(x) [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] x = 1/n (nachrechnen !!).
Weiter ist [mm] f_n(1/n) [/mm] = 1/2 und [mm] f_n(1) [/mm] = [mm] \bruch{n}{1+n^2} \le [/mm] 1/2 (ebenfalls nachrechnen !!)
Was bedeutet das nun ?
[mm] f_n [/mm] ist auf der kompakten Menge [0,1] stetig, nimmt also dort ihr Min. und Max. an.
Obige Überlegungen zeigen: [mm] f_n [/mm] nimmt sein Minimum im Intervall [0,1] an der Stelle 0 an und sein Maximum in diesem Intervall an der Stelle 1/n an.
Am Randpunkt 1 hat [mm] f_n [/mm] ein lokales Minimum.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Mo 29.09.2008 | | Autor: | Yami |
So ich danke schonmal für die bisherige hilfe das leuchtet mir schon alles ein aber von selbst drauf kommen... dann müßte ich sehr lange dran sitzen...
Nun habe ich mich selber mal dran versucht:
f(x) = [mm] (\bruch{x}{n}) [/mm] * [mm] e^{-n*x^{2}}
[/mm]
Intervall [0,1]
also f(x) auf dem Intervall [0,1] ist >= 0
in f(0) = 0 also haben wir hier ein absolutes minima
f(1) = [mm] (\bruch{1}{n}) [/mm] * [mm] e^{-n} [/mm] also liegt hier ein extrema vor
f'(x) = 0 setzten, als Kandidaten habe ich +/- [mm] \wurzel{\bruch{1}{2*n}}
[/mm]
Nun f(1) < [mm] f(\wurzel{\bruch{1}{2*n}}) [/mm] hier haben wir ein absolutes maximum
was mache ich aber nun mit dem zweiten kandidaten - [mm] \wurzel{\bruch{1}{2*n}}
[/mm]
ist das bis hier hin richtig?
das selbe also f(1) < f( [mm] \wurzel{ \bruch{1}{2*n}}) [/mm] oder muss ich hier was anderes nehmen?
|
|
|
| |
|
> Nun habe ich mich selber mal dran versucht:
>
> f(x) = [mm](\bruch{x}{n})[/mm] * [mm]e^{-n*x^{2}}[/mm]
>
> Intervall [0,1]
>
> also f(x) auf dem Intervall [0,1] ist >= 0
Hallo,
ja, das stimmt.
>
> in f(0) = 0 also haben wir hier ein absolutes minimum
Ja. Denn kleiner kann der Funktionswert nicht werden.
> f(1) = [mm](\bruch{1}{n})[/mm] * [mm]e^{-n}[/mm] also liegt hier ein extremum
> vor
> f'(x) = 0 setzten, als Kandidaten habe ich +/-
> [mm]\wurzel{\bruch{1}{2*n}}[/mm]
>
> Nun f(1) < [mm]f(\wurzel{\bruch{1}{2*n}})[/mm] hier haben wir ein
> absolutes maximum
Ja. Wir wissen, daß in dem kompakten Intervall das globale Maximum angenommen wird, entweder in den Randpunkten oder im Inneren.
Der erste Randpunkt ist ein glob. Minimum, bleiben also der zweite Randpunkt und der errechnete, und aus dem von Dir angeführten Grund ist's der errechnete.
>
> was mache ich aber nun mit dem zweiten kandidaten -
> [mm]\wurzel{\bruch{1}{2*n}}[/mm]
Der liegt doch gar nicht im betrachteten Intervall.
Der ist für den Mülleimer.
>
> ist das bis hier hin richtig?
Ja.
Gruß v. Angela
>
> das selbe also f(1) < f( [mm]\wurzel{ \bruch{1}{2*n}})[/mm] oder
> muss ich hier was anderes nehmen?
|
|
|
|
