abstand 2er windschifergerade < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 So 09.01.2005 | | Autor: | ghostdog |
hallo ich habe ein problem das mich eine ganze weile aufhalt ich habe das forum schon nach ahnlichen aufgaben durchsucht aber so toll fine ich die antworten dazu nicht deshalb bitte ich mal um ein ausfürliches rechenbeispiel
gegeben sind die 2 geraden
g1=(1,3,1)+t(1,2,-1)
g2=(2,0,1)+s(-1,1,0)
es wäre nett wenn man mir nicht nur die formel hinschreibt die losung ist
d=0,60
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 So 09.01.2005 | | Autor: | Silvie |
Hi,
ich bin nicht so gut im Vorrechnen (das kann dann ja ein anderer machen), aber ich liefere hier mal die Vorgehensweise, vielleicht hilft die ja auch schon etwas:
Da es zu Geraden im dreidim. Raum keinen Normalenvektor gibt, müssen für die Abstandsberechnung bei windschiefen Geraden Hilfsebenen herangezogen werden, die parallel sind und deren Normalenvektor zu den Richtungsvektoren der beiden Geraden orthogonal ist.
Das ist der Fall, wenn gilt:
Skalarprodukt aus Richtungsvektor und Normalenvektor ist gleich null.
(Man kann den Normalenvektor ermitteln, indem man die erste und die dritte Komponente des Richtungsvektors vertauscht, bei der dritten das Vorzeichen ändert und in die Mitte eine Null setzt.)
Entsprechend auch Normalenvektor der Hilfsebene zur zweiten Gerade suchen (und Probe machen).
Ist also der Normalenvektor zu den Richtungsvektoren orthogonal, so erfüllt sich hier das lineare Gleichungssystem, das man dann ausrechnet (z. B. einen Parameter definieren, also mit Wert belegen und dann ausrechnen).
Es ergeben sich die Komponenten des Normalenvektors.
Aus dem Normalenvektor ergibt sich:
Betrag des Normalenvektors = Wurzel aus quadrierter erster Normalenvektorkomponente plus quadrierte zweite Normalenvektorenkomponente plus quadrierter dritter Normalenvektorenkomponente = Betrag des Normalenvektors als Wert.
Der Einheitsnormalenvektor ergibt sich aus 1 geteilt durch den erhaltenen Wert mal dem Normalenvektor (so stehen lassen).
Damit ist der Abstand von g und h:
d = Betrag von (Stützvektor zweite Gerade minus Stützvektor erste Gerade) mal Normaleneinheitsvektor (s. o.)
Ergebnis ist ein Betrag von Längeneinheiten.
Viel Erfolg!
LG,
Silvie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:59 So 09.01.2005 | | Autor: | ghostdog |
erstmal danke aber leiger ist das sehr abstackt ich weis zwar was eine ebende ist und was die normalform der ebende ist abe irgentwie kann ich mir das nicht anschaulich vorstellen ohne rechnung trozdem danke
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Hallo ghostdog,
der Abstand zweier windschiefer Geraden
[mm]g_1 :\;\overrightarrow x \; = \;\overrightarrow {a_1 } \; + \;s\;\overrightarrow {b_1 } [/mm]
[mm]g_2 :\;\overrightarrow x \; = \;\overrightarrow {a_2 } \; + \;s\;\overrightarrow {b_2 } [/mm]
ist definiert als der Abstand der parallelen Ebenen
[mm]\begin{array}{*{20}c}
{\varepsilon _1 :\;\overrightarrow x \; = \;\overrightarrow {a_1 } \; + \;s\;\overrightarrow {b_1 } \; + \;t\;\overrightarrow {b_2 ,} } \\
{\varepsilon _2 :\;\overrightarrow x \; = \;\overrightarrow {a_2 } \; + \;s\;\overrightarrow {b_1 } \; + \;t\;\overrightarrow {b_2 } } \\
\end{array}[/mm]
In der Hesseschen Normalform werden die Ebenengleichungen wie folgt geschrieben:
[mm]\begin{array}{*{20}c}
{\varepsilon _1 :\;\overrightarrow {n_0 } \; \cdot \;\left( {\overrightarrow x \; - \;\overrightarrow {a_1 } } \right)\; = \;0} \\
{\varepsilon _1 :\;\overrightarrow {n_0 } \; \cdot \;\left( {\overrightarrow x \; - \;\overrightarrow {a_2 } } \right)\; = \;0} \\
\end{array}
[/mm]
wobei [mm]n_{0}[/mm] der normierte Normalenvektor ist.
Daher wird der Abstand d als Abstand eine Punktes P von [mm]{\varepsilon _2 }[/mm] zur Ebene [mm]{\varepsilon _1 }[/mm]
Es gilt dann:
[mm]d\; = \;\frac{{\left| {\left( {\overrightarrow {b_1 } x\;\overrightarrow {b_2 } } \right)\; \cdot \;\left( {\overrightarrow {a_2 } \; - \;\overrightarrow {a_1 } } \right)} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {b_1 } x\;\overrightarrow {b_2 } } \right|}}\; = \;\frac{{\left| {\overrightarrow n \; \cdot \;\left( {\overrightarrow {a_2 } \; - \;\overrightarrow {a_1 } } \right)} \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}}[/mm]
wobei n der Normalenvektor ist.
[mm]\overrightarrow n = \;\overrightarrow {b_1 } x\;\overrightarrow {b_2 } [/mm]
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:56 Mo 10.01.2005 | | Autor: | dominik |
Die Lösung 0.60 ist richtig!
g: [mm] \vec{r}= \vektor{1 \\ 3 \\1}+t \vektor{1 \\ 2 \\-1}
[/mm]
h: [mm] \vec{r}= \vektor{2 \\ 0 \\1}+s \vektor{-1 \\ 1 \\0}
[/mm]
Du kannst auch folgendermassen vorgehen:
Auf g liegt der Punkt G, auf h der Punkt H mit den folgenden Koordinaten:
G(1+t/3+2t/1-t)
H(2-s/s/1)
Der Vektor [mm] \overrightarrow{HG}= \vektor{1+t-2+s \\ 3+2t-s \\ 1-t-1}=\vektor{s+t-1\\ -s+2t+3 \\ -t} [/mm] soll auf den beiden Richtungsvektoren der Geraden g und h zugleich senkrecht stehen, weil der Abstand die kleinste Entfernung ist. Damit sind die beiden Skalarprodukte gleich Null:
[mm] \vektor{s+t-1\\ -s+2t+3 \\ -t}*\vektor{1 \\ 2 \\-1}=s+t-1-2s+4t+6+t=-s+6t+5=0; [/mm] und
[mm] \vektor{s+t-1\\ -s+2t+3 \\ -t}*\vektor{-1 \\ 1 \\0}=-s-t+1-s+2t+3+0=-2s+t+4=0.
[/mm]
Mit beiden Gleichungen s und t bestimmen, ergibt: s= [mm] \bruch{19}{11} [/mm] und t= [mm] -\bruch{6}{11}
[/mm]
Damit sieht der Vektor [mm] \overrightarrow{HG} [/mm] folgendermassen aus (11 im Nenner ausklammern):
[mm] \overrightarrow{HG}= \bruch{1}{11}*\vektor{-2 \\ 2 \\ 6}
[/mm]
Die Länge von [mm] \overrightarrow{HG} [/mm] ist:
[mm] |\overrightarrow{HG}|=\bruch{1}{11}* \wurzel{2^{2}+2^{2}+6^{2}}=\bruch{1}{11}* \wurzel{44}=\bruch{1}{11}* \wurzel{4*11}=\bruch{2}{11}* \wurzel{11} \approx0.60
[/mm]
Viele Grüsse
dominik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:45 Mi 12.01.2005 | | Autor: | ghostdog |
gute idee anscheinen füheren viele wege nach rom fragt sich nur welcher der kürzeste ist
gruss ghostdog
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