abzählbar unendlich < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 Sa 07.06.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, durch Angabe einer bijektiven Abbildung, [mm] $M=\{x^3|x\in\mathbb{Z}\}$ [/mm] abzählbar unendlich ist. |
Hi,
ich würde hier gerne eine bijektive Abbildung
[mm] $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{N}$ [/mm]
[mm] $x\mapsto x^3$
[/mm]
angeben. Kann ich einfach folgendes wählen:
[mm] $f(x)=\begin{cases} 2x\quad\text{falls}\quad x\geq 0\\ -2x+1\quad\text{falls} \quad x<0\end{cases}$
[/mm]
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Hi YuSul,
> Zeigen Sie, durch Angabe einer bijektiven Abbildung,
> [mm]M=\{x^3|x\in\mathbb{Z}\}[/mm] abzählbar unendlich ist.
>
>
> Hi,
>
> ich würde hier gerne eine bijektive Abbildung
>
> [mm]f:\mathbb{Z}\to\mathbb{N}[/mm]
> [mm]x\mapsto x^3[/mm]
Das geht gar nicht, weil für [mm] $x\in\IZ$ [/mm] nicht [mm] $x^3\in\IN$ [/mm] folgt. Wenn du [mm] $\IN$ [/mm] durch $M$ ersetzt, geht es natürlich.
> angeben. Kann ich einfach folgendes wählen:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 2x\quad\text{falls}\quad x\geq 0\\ -2x+1\quad\text{falls} \quad x<0\end{cases}[/mm]
Was soll das heißen?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Sa 07.06.2014 | | Autor: | YuSul |
> > [mm]f(x)=\begin{cases} 2x\quad\text{falls}\quad x\geq 0\\ -2x+1\quad\text{falls} \quad x<0\end{cases}[/mm]
> Was soll das heißen?
Was soll was heißen?
Das war mein Vorschlag für eine bijektive Abbildung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Sa 07.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Von den ganzen Zahlen auf die natürlichen Zahlen.
[mm] $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{N}$
[/mm]
Oh, da war dann das [mm] $x\mapsto x^3 [/mm] verwirrend. Hier sollte eigentlich diese Abbildung stehen.
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Ich glaub ich verstehe langsam, wovon wir reden. Du suchst eine Bijektion [mm] $M\longrightarrow\IN$ [/mm] und möchtest die als Komposition [mm] $M\longrightarrow\IZ\longrightarrow\IN$ [/mm] schreiben? Und diese Abbildung soll der zweite Teil der Verknüpfung sein? Sie ist aber leider nicht surjektiv, denn die [mm] $1\in\IN$ [/mm] wird nicht getroffen. Allerdings ist der Fehler leicht zu beheben. Verstehen wir uns jetzt? :-D
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Sa 07.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Ja, ich glaube schon. :)
Das die 1 nicht getroffen wird ist mir auch aufgefallen und war der Auslöser für die Frage. Und da fällt mir auf, dass ich es beheben kann wenn ich einfach
$-2x-1$ falls x<0 wähle, oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Sa 07.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Mit dieser Abbildung zeige ich also, dass die Menge M abzählbar unendlich ist indem ich die bijektive Abbildung (wie oben) angebe und bin fertig.
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Hallo,
> Mit dieser Abbildung zeige ich also, dass die Menge M
> abzählbar unendlich ist indem ich die bijektive Abbildung
> (wie oben) angebe und bin fertig.
Im Prinzip schon. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Aber streng genommen benötigst du noch die inverse Abbildung zu [mm] x\mapsto{x^3} [/mm] samt deren Bijektivität natürlich. Denn von M nach [mm] \IZ [/mm] gehts ja hier eben nur via Kubikwurzel. Bei dieser lauert noch ein kleiner Fallstrick, indem man auch diese Abbildung mittels einer Fallunterscheidung schreiben muss, zumindest nach der üblichen Definition der n-ten Wurzel.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Sa 07.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich verstehe im Grunde noch nicht ganz warum es nicht ausreicht nur eine Abbildung anzugeben wie ich es getan habe.
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Hallo,
> Ich verstehe im Grunde noch nicht ganz warum es nicht
> ausreicht nur eine Abbildung anzugeben wie ich es getan
> habe.
Du hast zwei Abbildungen angegeben! Eine von [mm] \IZ [/mm] nach M mit
[mm] f_1: x\mapsto{x^3}
[/mm]
und eine zweite von [mm] \IZ [/mm] nach [mm] \IN [/mm] mit
[mm] f_2: x\mapsto{\begin{cases} 2x\quad\text{falls}\quad x\geq 0\\ -(2x+1)\quad\text{falls} \quad x<0\end{cases}}
[/mm]
Wenn man mal die sicherlich ersichtliche Bijektivität beider Abbildungen voraussetzt, dann reicht das natürlich mathematisch gesehen vollkommen aus, es ist einfach nur ein wenig unüblich.
Anschaulich gesprochen lautet die Aufgabe: zeige, dass es einen Weg von A nach C gibt mit irgendeiner vorgegebenen Eigenschaft. Jetzt hast du einen weiteren Ort B entdeckt sowie die Tatsache, dass es von B nach A und von B nach C solche Wege gibt. Die zu zeigende Behauptung folgt natürlich daraus bereits, es ist einfach in der Literatur üblicher, zu sagen, es gibt einen Weg von A nach B und einen von B nach C.
Verstehst du, was ich sagen möchte?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Sa 07.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Ja, ich verstehe was du damit sagen möchtest.
Wobei du hier den Fehler mit -2x+1 anstatt von -(2x+1) übernommen hast.
Ich verstehe nur nicht wie ich es umzusetzen haben. Ich zeige, dass [mm] f(x)=x^3 [/mm] bijektiv ist, was im Grunde klar ist und zeige, dass ich es auf die obige Funktion bijektiv abbilden kann. Dann zeige ich, dass es eine Bijektion zwischen obiger Funktion und den natürlichen Zahlen gibt.
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Hallo,
> Ja, ich verstehe was du damit sagen möchtest.
> Wobei du hier den Fehler mit -2x+1 anstatt von -(2x+1)
> übernommen hast.
Ups, ja: sorry, ich bessere es gleich aus.
> Ich verstehe nur nicht wie ich es umzusetzen haben. Ich
> zeige, dass [mm]f(x)=x^3[/mm] bijektiv ist, was im Grunde klar ist
> und zeige, dass ich es auf die obige Funktion bijektiv
> abbilden kann. Dann zeige ich, dass es eine Bijektion
> zwischen obiger Funktion und den natürlichen Zahlen gibt.
Deine Formulierung ist falsch. Eine Abbildung besteht aus Urbild, Bild und Abbildungsvorschrift, von daher kann man nichts auf irgendwelche Funktionen abbilden. Also kann es auch zwischen einer Funktion und irgendeiner Menge keine Bijektion geben, nicht aus mathematischen Gründen, sondern aus semantischen, will sagen: das passt begrifflich nicht zusammen und ergibt keinerlei Sinn.
Ich versuche es nochmals: prinzipiell ist zu zeigen, dass es zwischen den Mengen M und [mm] \IN [/mm] eine Bijektion gibt. Nun hast du eine Bijektion von [mm] \IZ [/mm] nach M gefunden und eine von [mm] \IZ [/mm] nach [mm] \IN. [/mm] Die Umkehrabbildung einer Bijektion ist naturgemäß auch wieder bijektiv, weiter ist die Komposition zweier bijektiver Abbildungen wieder bijektiv, also ist die Behauptung gezeigt.
Mein Hinweis war also eigentlich eher für den Fall gedacht, dass du das ganze noch in eine etwas üblichere und offensichtlichere Form bringen möchtest, bspw. weil es eine Übung ist.
Und wenn du eben so argumentieren möchtest: es gibt eine Bijektion f von M nach [mm] \IZ [/mm] und eine zweite Bijektion g von [mm] \IZ [/mm] nach [mm] \IN, [/mm] so dass du nachher das ganze mittels [mm] g\circ{f} [/mm] bezeichnen kannst, für diesen Fall also wäre die Umkehrfunktion zu f: [mm] \IZ\to{M} [/mm] mit [mm] x\mapsto{x^3} [/mm] eben in meinen Augen geeigneter.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:10 Sa 07.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Okay, ich denke jetzt habe ich verstanden wie du es meinst. Zwar nicht aus mathematischen Gründen aber aus der didaktischen. ;)
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Hallo nochmal,
zu obiger Frage möchte ich noch eine Ergänzung schreiben. Bei solchen Fragen ist es für die Antwortenden manchmal schwierig, auf der richtigen Ebene einzusteigen, da nicht klar ist, was vorausgesetzt werden darf.
Wenn wir mal die Abzählbarkeit von [mm] \IZ [/mm] voraussetzen, so reicht natürlich die Bijektion f mit
f: [mm] \IZ\to{M} [/mm] ; [mm] x\mapsto{x^3}
[/mm]
hier aus und man ist fertig.
Die ganzen gegebenen Antworten sind somit unter dem Aspekt verfasst, dass du offensichtlich ja nach einer Bijektion von M nach [mm] \IN [/mm] gesucht hast (wobei ich vermute, dass dies auch genau so verlangt war).
Gruß, Diophant
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