abzählbare familie/ \IR^{n} < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a)
Sei [mm] A_{i} \subset \IR^{n} [/mm] eine abzählbare Familie von Teilmengen des [mm] \IR^{n} [/mm] . Zeige:
[mm] \IR^{n} [/mm] - [mm] \bigcup_{i \in I} A_i= \bigcap_{i \in I}(\IR^{n}-A_{i}) [/mm] und [mm] \IR^{n} [/mm] - [mm] \bigcap_{i \in I}A_{i} [/mm] = [mm] \bigcup_{i \in I}(\IR^{n}-A_{i})
[/mm]
b)
Sei M [mm] \subset \IR^{n}. [/mm] Zeige: [mm] \overline{M} [/mm] = {{x [mm] \in \IR^{n}, [/mm] für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gilt: [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung von (x) [mm] \cap [/mm] M [mm] \not= \emptyset} [/mm] } |
hio,
erstmal das was ich weiß:
[mm] A_{i} [/mm] sind Teilmengen
[mm] \IR^{n} [/mm] ist der n dimensionale Raum
[mm] \IR^{n} [/mm] - [mm] A_{i} [/mm] ist der Raum ohne die Teilmengen
Zur a) erstmal, unser Leiter gab uns folgende tipps:
zu jedem x [mm] \in \IR [/mm] und jedem [mm] \varepsilon [/mm] gibt es ein q [mm] \in \IQ [/mm] mit |y-q| < [mm] \varepsilon
[/mm]
(oder helfen die morganschen Regeln eher?)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:47 Sa 10.12.2011 | | Autor: | hippias |
> a)
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> Sei [mm]A_{i} \subset \IR^{n}[/mm] eine abzählbare Familie von
> Teilmengen des [mm]\IR^{n}[/mm] . Zeige:
>
> [mm]\IR^{n}[/mm] - [mm]\bigcup_{i \in I} A_i= \bigcap_{i \in I}(\IR^{n}-A_{i})[/mm]
> und [mm]\IR^{n}[/mm] - [mm]\bigcap_{i \in I}A_{i}[/mm] = [mm]\bigcup_{i \in I}(\IR^{n}-A_{i})[/mm]
>
>
>
> b)
>
> Sei M [mm]\subset \IR^{n}.[/mm] Zeige: [mm]\overline{M}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {{x [mm]\in \IR^{n},[/mm]
> für alle [mm]\varepsilon[/mm] > 0 gilt: [mm]\varepsilon[/mm] - Umgebung von
> (x) [mm]\cap[/mm] M [mm]\not= \emptyset}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> hio,
>
> erstmal das was ich weiß:
>
> [mm]A_{i}[/mm] sind Teilmengen
> [mm]\IR^{n}[/mm] ist der n dimensionale Raum
> [mm]\IR^{n}[/mm] - [mm]A_{i}[/mm] ist der Raum ohne die Teilmengen
>
> Zur a) erstmal, unser Leiter gab uns folgende tipps:
>
> zu jedem x [mm]\in \IR[/mm] und jedem [mm]\varepsilon[/mm] gibt es ein q [mm]\in \IQ[/mm]
> mit |y-q| < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> (oder helfen die morganschen Regeln eher?)
Ja. Der nennen wir es mal Tip bezieht sich weder auf das erste noch das zweite Problem, sondern bedeutet, dass [mm] $\IQ$ [/mm] dicht in [mm] $\IR$ [/mm] ist. zu b: Wie habt ihr den Abschluss einer Teilmenge des [mm] $\IR^{n}$ [/mm] definiert?.
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was meinst du mit dem Abschluss? Den Rand?
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> was meinst du mit dem Abschluss? Den Rand?
Hallo,
mit "Abschluss" meint hippeas den Abschluß.
hippeas will wissen, wie Ihr für eine Menge A die Menge [mm] \overline{A} [/mm] definiert habt.
Gruß v. Angela
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achso
[mm] \overline{A} [/mm] wäre dann das Komplement von A, sprich bei uns [mm] \IR^{n} [/mm] - A
wenn A für die Menge steht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:28 So 11.12.2011 | | Autor: | hippias |
Hier muss ein grosses Missverstaendnis vorliegen: Nach der Formulierung in der Aufgabenstellung b) kann hier nicht das Komplement [mm] $\IR^{n}\setminus [/mm] M$ gemeint sein, sondern der topologische Abschluss. Vielleicht habt ihr abgeschlossene Mengen als Komplemente von offenen Mengen definiert?
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hey,
naja ca. 70 % meiner mitstudenten denken, dass die Aufgabenstellung an sich so falsch ist, also das was man zeigen soll, nicht so ist.
Ich persönlich weiß es nicht, jedenfalls ist das Komplement halt [mm] \IR^{n} [/mm] - A, das wiederrum ist an sich eine nicht abgeschlossene Menge, also eine offene Menge oder? Demnach wäre es ja das Gegenteil zur abgeschlossenen Menge A
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:42 So 11.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> hey,
>
> naja ca. 70 % meiner mitstudenten denken, dass die
> Aufgabenstellung an sich so falsch ist, also das was man
> zeigen soll, nicht so ist.
Wenn Du b) meinst, so liegen diese 70% falsch. Mit [mm] \overline{M} [/mm] ist der Abschluß der Menge M gemeint .
> Ich persönlich weiß es nicht, jedenfalls ist das
> Komplement halt [mm]\IR^{n}[/mm] - A, das wiederrum ist an sich eine
> nicht abgeschlossene Menge, also eine offene Menge oder?
Wenn eine Menge nicht abgeschlossen ist, so muß sie nicht offen sein !
Bsp: halboffene Intervalle.
FRED
> Demnach wäre es ja das Gegenteil zur abgeschlossenen Menge
> A
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:44 So 11.12.2011 | | Autor: | hippias |
Also Aufgabenteil a) ist definitiv mit den de-Morgan'schen Gesetzen loesbar. Wenn Du noch nicht ueber topologischen Abschluss einer Menge in einem topologischen Raum - und dass der hier gemeint ist, geht eindeutig aus der rechten Seite der Gleichung hervor - aufgeklaert worden bist, dann muss Aufgabe b) irrtuemlich gestellt worden sein. Der Beweis ist nicht schwer, aber wenn Du nocht nicht gelernt hast, was hier mit [mm] $\bar{M}$ [/mm] gemeint ist, dann kannst Du die Behauptung natuerlich nicht beweisen.
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hehey,
also a) hab ich izwischen wirklich mit den Morgan'schen Regeln gelöst.
naja was b) betrifft, könnte mir das vlt jemand in ein zwei sätzen erklären was nun wirklich mit [mm] \overline{M} [/mm] gemeint ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:55 So 11.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Der Abschluss oder die abgeschlossene Hülle [mm] \overline{M} [/mm] einer Teilmenge M des [mm] \iR^n [/mm] ist die Schnittmenge aller abgeschlossenen Mengen in [mm] \IR^n, [/mm] die M enthalten. Der Abschluss ist die kleinste abgeschlossene Menge, die die ursprüngliche Menge enthält.
FRED
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