abzählbarkeit von \IQ^{n} < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | zeigen sie die abzählbarkeit von [mm] \IQ^{n} [/mm] |
für [mm] \IQ [/mm] alleine habe ich mir das schon mit dem cantorschen diagonalverfahren
angeschaut,es ergibt sich eine bijektion auf die natürlichen zahlen.
wie kann ich eine bijektion mit [mm] \IQ^{n} [/mm] definieren?
kann mir das jemand zeigen oder definieren,ich habe überhaupt keine vorstellung davon?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:05 So 08.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
da du weist das [mm] \IQ [/mm] abzähbar ist, folgt die Abzählbarkeit von [mm] \IQ^{n} [/mm] induktiv daraus, dass bei Abzählbarkeit zweier Mengen auch das kartesische Produkt abzähbar ist. Falls du dafür einen Bewis brauchst, melde dich nochmal.
Gruß
Hund
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hi hund,
du meinst,dass eine vereinigung beliebig/unendlich vieler abzählbarer mengen wieder eine abzählbare menge bildet,oder?
allerdings muss ich nun doch zugeben,dass ich die abzählbarkeit von [mm] \IQ [/mm]
nicht ganz verstanden habe,denn das cantorverfahren ist doch kein beweis,
für mich wird lediglich eine bijektion angedeutet?
kann mir vielleicht jemand (hund oder andere) sagen wie denn diese bijektion
zwischen [mm] \IQ [/mm] und [mm] \IN [/mm] aussieht? ich weiss einfach nicht ,wie ich diese aufgabe lösen könnte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 So 08.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> du meinst,dass eine vereinigung beliebig/unendlich vieler
> abzählbarer mengen wieder eine abzählbare menge
> bildet,oder?
Wenn schon von abzaehlbar vielen abzaehlbaren Mengen. Wenn man beliebig viele abzaehlbare Mengen nimmt, so waer zum Beispiel [mm] $\IR [/mm] = [mm] \bigcup_{x \in \IR} \{ x \}$ [/mm] abzaehlbar, da [mm] $\{ x \}$ [/mm] fuer jedes $x [mm] \in \IR$ [/mm] sicher abzaehlbar ist...
> allerdings muss ich nun doch zugeben,dass ich die
> abzählbarkeit von [mm]\IQ[/mm]
> nicht ganz verstanden habe,denn das cantorverfahren ist
> doch kein beweis,
Wieso ist es kein Beweis?
> für mich wird lediglich eine bijektion angedeutet?
Die Bijektion wird konstruiert. Wie detailliert das ausgefuehrt wird haengt vom konkreten Beweis hab.
> kann mir vielleicht jemand (hund oder andere) sagen wie
> denn diese bijektion
> zwischen [mm]\IQ[/mm] und [mm]\IN[/mm] aussieht?
Es gibt viele verschiedene Bijektionen. Schrieb hier doch mal den `Beweis' hin den du hast.
> ich weiss einfach nicht
> ,wie ich diese aufgabe lösen könnte.
Fuer diese Aufgabe brauchst du keine konkrete Bijektion [mm] $\IN \to \IQ$ [/mm] zu kennen. Es reicht zu wissen, dass es eine gibt.
Um zu zeigen, dass das direkte Produkt zweier abzaehlbarer Mengen wieder abzaehlbar ist, reicht es aus zu zeigen, dass es eine Bijektion [mm] $\IN \times \IN \to \IN$ [/mm] gibt. Das ist einfacher als eine Bijektion [mm] $\IQ \to \IN$ [/mm] zu konstruieren. Bekommst du das hin? (Geh aehnlich vor wie beim Cantorschen Diagonalverfahren.)
Und dann hast du zwei abzaehlbar unendliche Mengen $A, B$, also Bijektionen [mm] $\varphi [/mm] : A [mm] \to \IN$ [/mm] und [mm] $\psi [/mm] : B [mm] \to \IN$, [/mm] und du sollst eine Bijektion $A [mm] \times [/mm] B [mm] \to \IN$ [/mm] konstruieren. Dazu benutze, dasS [mm] $\varphi \times \psi [/mm] : A [mm] \times [/mm] B [mm] \to \IN \times \IN$ [/mm] eine Bijektion ist (weisst du warum?) und verkette sie mit der obigen Bijektion [mm] $\IN \times \IN \to \IN$.
[/mm]
Und dann wende Induktion an und verwende alles obige.
LG Felix
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also mir fällt nur diese abzählvorschrift ein:
(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)...
(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)
(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)
(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)
(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)
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nun kann man diagonal zählen.
da eine rationale zahl q als relation zweier ganzer zahlen (a,b) dargestellt werden kann ,ist [mm] \IQ [/mm] und somit auch die vereinigung abzählbar vieler mengen [mm] \IQ^{n} [/mm] abzählbar.
ist das richtig ? wenn ja ,wie soll ich jetzt weiter vorgehen? oder reicht das auch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 Di 10.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
du meinst wohl das kartesische Produkt. Dann ist alles korrekt.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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also ,ehrlich gesagt,bin ich mir nicht sicher ob das ausreicht,da ich das was felixf gesagt hat ,nicht ganz befolgt habe.reicht das für die abzählbarkeit von
[mm] \IQ^{n} [/mm] wirklich aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Do 12.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
doch das hast du alles befolgt, weil du doch das n-fache kartesische Produkt von [mm] \IQ [/mm] nimmst, also ein endliches Produkt. n ist doch natürlich!
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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