adjungierte Automorphismen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:14 Fr 22.07.2016 | | Autor: | Funtak |
| Aufgabe | Sei Φ ein Automorphismus eines n-dimensionalen euklidischen Vektorraums V, und Φ∗ sei die Adjungierte zu Φ. Zeigen Sie:
a) Die beiden linearen Abbildungen Φ∗ ◦ Φ und Φ ◦ Φ∗ sind selbstadjungiert und haben nur positive Eigenwerte.
b) Φ∗ ◦ Φ und Φ ◦ Φ∗ haben dieselben Eigenwerte |
Die a) konnte lösen aber die bekomm ich nicht hin.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:http://www.mathelounge.de/367859/%CF%86%E2%88%97-%E2%97%A6-%CF%86-und-%CF%86-%E2%97%A6-%CF%86%E2%88%97-haben-dieselben-eigenwerte
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:35 Fr 22.07.2016 | | Autor: | hippias |
Ich würde mit dem Term [mm] $\Phi^{\star}(\Phi\Phi^{\star}-\lambda)\Phi$ [/mm] herumspielen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:51 Fr 22.07.2016 | | Autor: | fred97 |
Eine Bemerkung, es geht allgemeiner:
Ist V ein K-Vektorraum und sind T,S:V [mm] \to [/mm] V lineare Abbildungen, so gilt für [mm] \mu \in [/mm] K [mm] \setminus \{0\}:
[/mm]
[mm] \mu [/mm] ist ein Eigenwert von TS [mm] \gdw \mu [/mm] ist ein Eigenwert von ST.
Aus Symmetriegründen genügt es, die Implikation [mm] "\Rightarrow" [/mm] zu zeigen.
Tipp (wie bei hippias):
aus [mm] $TSx=\mu [/mm] x$ folgt $STSx= [mm] \mu [/mm] Sx$.
FRED
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