adjungierter endomorphismus < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hi!
ich hab schon wieder mal ein kleines problem.
gegeben sei ein endomorphismus zwischen unitären vektorräumen V. ich will zeigen, dass i) => ii) mit
i) es gibt eine orthonormalbasis von V aus EV von F
ii) F ist normal, also [mm] F^{ad} \circ [/mm] F = F [mm] \circ F^{ad}
[/mm]
es heisst: sei [mm] F(v_{i})=\lambda_{i} v_{i}
[/mm]
[mm] [/mm] = [mm] [/mm] = [mm] \lambda_{j} \delta_{ij}
[/mm]
daraus soll schon folgen, dass [mm] F^{ad}(v_{i})=\overline{\lambda_{i} } v_{i} [/mm] aber ich sehe nicht warum.
wenn wir mit der gleichheitskette oben weitermachen erhalte ich:
[mm] \lambda_{j} \delta_{ij} [/mm] = [mm] \lambda_{i} \delta_{ij} [/mm] = [mm] \lambda_{i} [/mm] = [mm]
[/mm]
also: [mm] [/mm] = 0
daraus muss aber noch nicht folgen, dass der 2. eintrag im skalarprodukt gleich 0 ist. was sehe ich hier nicht?
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Hallo calabi-yau!
Ich bleibe einfach mal bei deiner Notation, also [mm] (\lambda_j,v_j) [/mm] bilden die Eigenpaare von F.
Bilde die Matrix [mm] A:=(v_1|... |v_n). [/mm] Sie bildet den j-ten kanonischen Einheitsvekor [mm] e_j [/mm] auf [mm] v_j [/mm] ab.
Da die [mm] v_j [/mm] eine Basis bilden ist A invertierbar. Da die [mm] v_j [/mm] außerdem orthonormal sind ist [mm] A^{ad}=A^{-1}. [/mm] Also ist [mm] A^{ad}FA=D=diag(\lambda_1,...,\lambda_n). [/mm]
Insbesondere ist [mm] A^{ad}F^{ad}A=D^{ad}=diag(\bar{\lambda_1},..., \bar{\lambda_n}) [/mm] .
Da [mm] D^{ad} [/mm] und D vertauschbar sind folgt dann schnell, dass auch F und [mm] F^{ad} [/mm] vertauschbar sind.
So müsste es eigentlich gehen...
Dein Ansatz zielt in dieselbe Richtung ab, nur etwas anders aufgeschrieben.
Es gilt aber: Aus [mm] =0 [/mm] für alle j folgt x=0. Das ist deshalb der Fall, weil die [mm] v_j [/mm] eine Basis bilden. Ansonsten wäre es natürlich nicht richtig.
banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:28 Di 05.04.2005 | | Autor: | calabi-yau |
ah ja natürlich, das folgt ja dann sofort aus:
[mm] a_{1}+...+a_{n}=
[/mm]
[mm] =0
[/mm]
man kann die a's so wählen, dass [mm] a_{1}v_{1}+...+a_{n}v_{n}=x
[/mm]
aus <v,v> > 0 für alle 0 [mm] \not= [/mm] v [mm] \in [/mm] V, folgt sofort, dass x=0.
eiei, liegt vielleicht daran, dass ich nicht mehr viel zeit habe...
aber danke :)
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