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| Aufgabe | Sei M eine endliche Menge und [mm] A,B\subset [/mm] M. Beweise
a)| M [mm] \backslash [/mm] A| = |M|-|A|
b) |A [mm] \cup [/mm] B|+|A [mm] \cap [/mm] B| = |A|+|B|
durch Zurückführung auf eine geeignete disjunkte Vereinigung, nicht durch Induktion. |
Hallo ihr Lieben :)
Ich habe das Problem, dass ich keine Ahnung habe, wie ich die Aufgaben ohne Induktion beweisen soll. In der Vorlesung haben wir immer nur mit Induktion bewiesen und ich habe jetzt keine Ahnung, wie das ohne funktionieren soll. Mit Induktion würde ich es, denke ich hinbekommen, aber ich habe null Vorstellung wie das ohne funktionieren soll.
Im Internet und in meinen Büchern finde ich leider nichts dazu, ich habe auch schon mit anderen Studenten darüber geredet, aber die wissen leider auch nichts darüber.
Kann mir vllt jemand erklären, wie das funktioniert, eine ähnliche Beispielaufgabe schreiben oder einen Link dazu schicken?
Ich wäre wirklich sehr, sehr dankbar, wenn mir jemand dabei helfen könnte!!
Beste Grüße
Katrin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:25 Mo 03.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei M eine endliche Menge und [mm]A,B\subset[/mm] M. Beweise
>
> a)| M [mm]\backslash[/mm] A| = |M|-|A|
> b) |A [mm]\cup[/mm] B|+|A [mm]\cap[/mm] B| = |A|+|B|
>
> durch Zurückführung auf eine geeignete disjunkte
> Vereinigung, nicht durch Induktion.
> Hallo ihr Lieben :)
>
> Ich habe das Problem, dass ich keine Ahnung habe, wie ich
> die Aufgaben ohne Induktion beweisen soll. In der Vorlesung
> haben wir immer nur mit Induktion bewiesen und ich habe
> jetzt keine Ahnung, wie das ohne funktionieren soll. Mit
> Induktion würde ich es, denke ich hinbekommen, aber ich
> habe null Vorstellung wie das ohne funktionieren soll.
> Im Internet und in meinen Büchern finde ich leider nichts
> dazu, ich habe auch schon mit anderen Studenten darüber
> geredet, aber die wissen leider auch nichts darüber.
>
> Kann mir vllt jemand erklären, wie das funktioniert, eine
> ähnliche Beispielaufgabe schreiben oder einen Link dazu
> schicken?
schau' mal
hier (klick!)
Dort steht auch der Hinweis (den Du hoffentlich benutzen darfst - falls nicht,
müßtest Du ihn erst separat beweisen. Eventuell wird da die erste Antwort
in obigem Link von mir helfen?!):
> (Hinweis: Sind M1 und M2 disjunkte Mengen, d.h. M1 ∩ M2 = ∅, so gilt
> |M1 ∪ M2| = |M1| + |M2|.)
Die b) sollte damit klar sein, zu a):
Wende den Hinweis an unter Beachtung von
$M=(M [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \cup [/mm] A$ (das gilt nur wegen $A [mm] \subseteq [/mm] M$!)
Zeige also zuerst diese Mengengleichheit, und mache Dir klar, dass die
Vereinigung rechterhand eine disjunkte ist!
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
danke erst mal dafür, dass du mir helfen möchtest :)
Kurze Zwsichenfrage: wir hatten das Unendlichkeitszeichen [mm] (\infty) [/mm] noch nicht definiert und haben es auch noch nie benutzt, darf ich dieses dann verwenden?
Lieben Gruß
Katrin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 Mo 03.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> danke erst mal dafür, dass du mir helfen möchtest :)
>
> Kurze Zwsichenfrage: wir hatten das Unendlichkeitszeichen
> [mm](\infty)[/mm] noch nicht definiert und haben es auch noch nie
> benutzt, darf ich dieses dann verwenden?
könntest Du, brauchst Du aber nicht. Es sollte reichen, zu wissen, dass
man
$|M| < [mm] \infty$
[/mm]
schreibt, wenn man sagen will, dass [mm] $M\,$ [/mm] eine endliche Menge ist. Letztstehender
Wortlaut wird ja in Deiner Aufgabe benutzt, von daher sollte Dir klar sein,
was damit gemeint ist.
Und Du hast recht: Eigentlich solltest Du es nicht verwenden, wenn ihr es
noch nicht definiert habt. Andererseits kennt man es aber auch schon aus
der Schule...
Gruß,
Marcel
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Würde die Mengengleichheit dann ungefähr so aussehen (ich glaube nicht, dass es wirklich richtig ist, aber ich habe noch nie eine Aufgabe gehabt, die etwas mit disjunkt zu hat):
Sei |M [mm] \backslash [/mm] A| [mm] \in [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] A
|M [mm] \backslash [/mm] A| [mm] \cup [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge \neg [/mm] ( x [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] A)
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] A
[mm] \Rightarrow \emptyset \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] A)
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] |M [mm] \backslash [/mm] A| [mm] \cup [/mm] A
Und es tut mir wirklich sehr leid, aber irgendwie kann ich mit dem Link den du geschickt hast nicht so viel anfangen :(
Lieben Gruß
Katrin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Mo 03.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Würde die Mengengleichheit dann ungefähr so aussehen (ich
> glaube nicht, dass es wirklich richtig ist, aber ich habe
> noch nie eine Aufgabe gehabt, die etwas mit disjunkt zu
> hat):
>
> Sei |M [mm]\backslash[/mm] A| [mm]\in[/mm] M [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] M [mm]\wedge[/mm] x
> [mm]\not\in[/mm] A
Was machst Du denn da oben ???? und auch unten ! Du wirbelts Mengen und deren Mächtigkeit mächtig durcheinander. Das gibt nur Chaos !!
FRED
> |M [mm]\backslash[/mm] A| [mm]\cup[/mm] A [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] M [mm]\wedge \neg[/mm]
> ( x [mm]\in[/mm] M [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] A)
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] M [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] A
> [mm]\Rightarrow \emptyset \vee[/mm] (x [mm]\in[/mm] M [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] A)
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] B [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] A [mm]\Rightarrow[/mm] |M
> [mm]\backslash[/mm] A| [mm]\cup[/mm] A
>
> Und es tut mir wirklich sehr leid, aber irgendwie kann ich
> mit dem Link den du geschickt hast nicht so viel anfangen
> :(
>
> Lieben Gruß
>
> Katrin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 Mo 03.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Würde die Mengengleichheit dann ungefähr so aussehen (ich
> glaube nicht, dass es wirklich richtig ist, aber ich habe
> noch nie eine Aufgabe gehabt, die etwas mit disjunkt zu
> hat):
>
> Sei |M [mm]\backslash[/mm] A| [mm]\in[/mm] M [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] M [mm]\wedge[/mm] x
> [mm]\not\in[/mm] A
> |M [mm]\backslash[/mm] A| [mm]\cup[/mm] A [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] M [mm]\wedge \neg[/mm]
> ( x [mm]\in[/mm] M [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] A)
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] M [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] A
> [mm]\Rightarrow \emptyset \vee[/mm] (x [mm]\in[/mm] M [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] A)
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] B [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] A [mm]\Rightarrow[/mm] |M
> [mm]\backslash[/mm] A| [mm]\cup[/mm] A
>
> Und es tut mir wirklich sehr leid, aber irgendwie kann ich
> mit dem Link den du geschickt hast nicht so viel anfangen
> :(
ich blicke da auch nicht durch, was Du machen willst.
1. Für $A [mm] \subseteq [/mm] M$ solltest Du
$M=(M [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \stackrel{d}{\cup} [/mm] A$
zeigen - ich schreibe ein "d" über das Vereinigungszeichen, damit wir auch
daran erinnert werden, dass das eine "disjunkte" Vereinigung ist.
Frage an Dich: Kannst Du diese Mengengleichheit beweisen? (Beachte, dass
wir dabei NICHT auf die VORAUSSETZUNG $A [mm] \subseteq [/mm] M$ verzichten können!)
Zu dem Beweis gehört dann auch ein Zusatz, in welchem nachgewiesen wird:
$(M [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \cap A=\varnothing$!
[/mm]
2. Der Hinweis sagt Dir (für [mm] $X,Y\,$ [/mm] endliche Mengen!)
(help) $|X [mm] \stackrel{d}{\cup}Y|=|X|+|Y|\,.$
[/mm]
Mit 1. sehen wir also
[mm] $|M|=|(M\setminus [/mm] A) [mm] \stackrel{d}{\cup} A|=\textbf{?}$
[/mm]
Zu dem [mm] $\textbf{?}$: [/mm] Setze in (help) $X:=M [mm] \setminus [/mm] A$ und [mm] $Y:=A\,$ [/mm] sein, dann
solltest Du sehen, was da für das [mm] $\textbf{?}$ [/mm] rauskommt.
P.S. Mathematik ist auf Dauer wesentlich leichter zu verstehen und zu betreiben,
wenn man sich anfangs mal die Zeit nimmt, auch alles
![[]](/images/popup.gif) Schritt für Schritt (ja, das Lied ist grausam ^^)
nachzuvollziehen. Jedenfalls bei den ersten Beweisen, bis man das Gefühl
dafür bekommen hat, was man alles detailliert verstehen sollte, und was
man *schnell* hinnehmen kann (meist, weil man es schon oft genug benutzt
oder wenigstens gesehen hat).
Das ist zeitraubend, aber durchaus einer der zielführendsten Wege dahingehend!
Gruß,
Marcel
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Es tut mir leid, aber ich sitze jetzt seit 2 Tagen an dieser Aufgabe dran und habe mir jetzt gefühlte 10000 mal deine Beiträge durchgelesen. Die Aussagen machen für mich absolut Sinn, aber wissen wie man das aufschreibt, weiß ich trotzdem überhaupt nlcht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Mo 03.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es tut mir leid, aber ich sitze jetzt seit 2 Tagen an
> dieser Aufgabe dran und habe mir jetzt gefühlte 10000 mal
> deine Beiträge durchgelesen. Die Aussagen machen für mich
> absolut Sinn, aber wissen wie man das aufschreibt, weiß
> ich trotzdem überhaupt nlcht...
wenn wir
$M= (M [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \stackrel{d}{\cup} [/mm] A$
beweisen können, so folgt damit
$|M|=|M [mm] \setminus A|+|A|\,.$
[/mm]
Löse letzteres nach $|M [mm] \setminus [/mm] A|$ auf - das ist Schulmathematik, das wirst Du
hinbekommen.
Zu $M= (M [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \stackrel{d}{\cup} [/mm] A$:
I. Wir zeigen, dass rechterhand eine disjunkte Vereinigung steht, d.h. es ist
$(M [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \cap [/mm] A= [mm] \varnothing$
[/mm]
zu beweisen. Das ist aber trivial:
Gäbe es ein $x [mm] \in [/mm] (M [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \cap A\,,$ [/mm] so müßte dieses GLEICHZEITIG die folgenden
drei Aussagen erfüllen:
$x [mm] \in [/mm] M$ UND $x [mm] \notin [/mm] A$ UND $x [mm] \in A\,.$
[/mm]
Die letzten beiden:
$x [mm] \notin [/mm] A$ UND $x [mm] \in [/mm] A$
können aber nicht gleichzeitig wahr sein.
II. Wir zeigen nun
$M= (M [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \cup [/mm] A$ (denn mit I. wissen wir dann, dass wir rechts
das [mm] $\cup$ [/mm] durch [mm] $\stackrel{d}{\cup}$ [/mm] ersetzen dürfen).
[mm] $\alpha)$ "$\supseteq$": [/mm] Wegen $(M [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \subseteq [/mm] M$ und $A [mm] \subseteq [/mm] M$ ist
$((M [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \cup [/mm] A) [mm] \subseteq [/mm] M$
klar.
[mm] $\beta)$ "$\subseteq$": [/mm] Sei $x [mm] \in M\,$ [/mm] beliebig, aber fest. ...
Restaufgabe für Dich: Begründe nun:
$x [mm] \in [/mm] M$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $x [mm] \in [/mm] (M [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \cup A\,.$
[/mm]
Das ist quasi trivial, sofern Du Dich nochmal dran erinnerst: Es war $A [mm] \subseteq M\,.$ [/mm]
Es gibt also für $x [mm] \in [/mm] M$ nur zwei Fälle:
Es ist (hier sogar: entweder) $x [mm] \in [/mm] A$ oder $...$
Gruß,
Marcel
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