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Hallo,
Ich hätte eine ganz generelle Frage zu ähnlichen Matrizen: Und zwar wenn ich 2 Matrizen, nennen wir sie mal A und B aus [mm] K^{n x n} [/mm] auf Ähnlichkeit untersuchen soll, wie geht man da vor?
Ich weiß, dass ähnliche Matrizen die gleichen Eigenwerte (und somit auch gleiches charakteristisches Polynom, gleichen Rang, gleiche Spur, gleiche Jordansche Normalform etc.) haben, aber das ist ja "nur" eine notwendige Bedingung und keine hinreichende, oder seh ich das falsch?
Mich würde vor allem mal intressieren wie ich im konkreten Fall die Matrix S aus [mm] K^{n x n} [/mm] berechne, sodass: A= [mm] S^{-1}BS [/mm] und gehen wir mal davon aus, dass B keine Diagonalmatrix zu A ist.
Nehmen wir doch mal als konkretes Beispiel: A= [mm] \pmat{ -37 & 31 & -12 \\ -46 & 39 & -12 \\ -2 & 2,5 & 3} [/mm] und B= [mm] \pmat{ 6 & 4 & 5 \\ -1 & -2 & -3 \\ 2 & 3 & 1}. [/mm] (Ich hab vorab ein S und dessen Inverse berechnet und dann einfach B eingesetzt um zu sichern, dass die Matrizen ähnlich sind)
Aber wie würde ich vorgehen, wenn ich das S nicht kennen würde und irgendwie berechnen müsste, gibt es dafür ein bestimmtes Verfahren?
Vielen Dank schon mal vorab.
Viele Grüße
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Hallo,
ich glaube, daß Dir für das, was Du wissen willst, die Frobeniusnormalform weiterhilft, mit der ich mich aber nicht auskenne.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela, ich bin mir nicht sicher ob die Frobenius-Normalform so dolle was bring.
Ich kenne sie nur im Zusammenhang mit der Jordan-Normalform, wenn man sich in einem Körper befindet, in dem das Minimalpolynom nicht in ausschließlich lineare Polynome zerfällt.
Ich bin mir aber auch nicht sicher!
lg Kai
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> Hallo Angela, ich bin mir nicht sicher ob die
> Frobenius-Normalform so dolle was bring.
Hallo,
doch die bringt dolle was.
>
> Ich kenne sie nur im Zusammenhang mit der
> Jordan-Normalform, wenn man sich in einem Körper befindet,
> in dem das Minimalpolynom nicht in ausschließlich lineare
> Polynome zerfällt.
Eben.
Wir haben
JNF gleich ==> Matrizen ähnlich.
Nun haben wir aber das Problem, daß nicht jede Matrix eine JNF hat.
Es hat aber jede Matrix eine Frobeniusnormalform, und wenn ich mich nicht sehr täusche, dann gilt
Frobeniusnormalform gleich <==> Matrizen ähnlich.
Bloß wie das mit der Frobeniusnormalform genau geht, müßte ich nachlesen, wozu mir grad die Lust fehlt.
Das war doch so, daß da die Begleitmatrizen der irreduziblen Faktoren auf der Diagonalen der Blockmatrix stehen. (?) Oder so ähnlich.
Gruß v. Angela
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Na dann bringt das wirklich was^^
Also ich kenne das als Blockmatrizen, bei der jeder Block zum Großteil aus der Einheitsmatirx besteht und nur die letzte Spalte besetzt ist mit den koeffizienten des Minimalpolynoms. Bei der Jordannormalform ist das dann genau die 1, da die minimalpolynome, sofern sie in lineare zerfallen ja normiert sind.
Aber wie das jetzt genau ging müsst ich auch nachlesen, sry!
lg Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Sa 05.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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