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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:13 Mi 07.03.2012 | | Autor: | Lunar |
| Aufgabe | | Man beweise, dass die Matrizen [mm] \pmat{ a & 0 \\ 0 & d } [/mm] und [mm] \pmat{ a & 1 \\ 0 & d } [/mm] genau dann ähnlich sind, wenn a [mm] \not= [/mm] d ist. |
Hallo!
Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter und wäre wirklich dankbar für ein paar Lösungshinweise.
Ich habe mir überlegt, dass es wohl am einfachsten ist, zu zeigen, dass die beiden Matrizen nicht ähnlich sind, wenn a=d gilt.
Ich kenne die formel A' = [mm] P^{-1}AP
[/mm]
Auch habe ich gelesen, dass man ähnlichkeit mit der Jordanschen Normalform zeigen kann. Die hatten wir aber noch nicht.
Auch gibt es ja diese Kriterien, ich zitiere von wikipedia:
Ähnliche Matrizen besitzen:
den gleichen Rang,
die gleiche Determinante,
die gleiche Spur,
das gleiche charakteristische Polynom,
das gleiche Minimalpolynom und
die gleiche Jordansche Normalform
aber, auch wenn a = d ist, haben sie den gleichen rang, die gleiche determinante, die gleiche spur. (charakteristisches polynom, minimalpolynom und JN kenne ich noch nicht)
hat jemand eine idee, wie ich die aufgabe angehen könnte?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:13 Mi 07.03.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
wenn du die Jordannormalform noch nicht kennst, gehst du am Besten direkt über die Definition.
Kurzform: 2 [mm]n\times{n}[/mm]-Matrizen A,B heißen ähnlich, wenn eine invertierbare [mm]n\times{n}[/mm]-Matrix P exisitiert, sodass
[mm]A=P^{-1}*B*P[/mm]
Das ist nichts anderes als: [mm]P*A=B*P[/mm]
Sei [mm]P=\pmat{ x_1 & x_2 \\
x_3 & x_4 }[/mm]. Dann muss P invertiertbar sein (vollen Rang haben) und die Gleichung [mm]\pmat{ x_1 & x_2 \\
x_3 & x_4 }*\pmat{ a & 0 \\
0 & d } = \pmat{ a & 1 \\
0 & d }* \pmat{ x_1 & x_2 \\
x_3 & x_4 }[/mm] erfüllen.
Das löst du aber nicht über die Inverse - dann wirst du deines Lebens nicht mehr froh.
Gruß
barsch
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:39 Mi 07.03.2012 | | Autor: | Lunar |
Vielen Dank für deine Antwort Barsch.
habe es jetzt folgendermassen gelöst, was meint ihr, kommt das hin?
wenn a=d, so sind A und B nicht ähnlich.
PA=BP:
[mm] \pmat{ x & y \\ z & w }*\pmat{ a & 0 \\ 0 & a } [/mm] = [mm] \pmat{ a & 1 \\ 0 & a }* \pmat{ x & y \\ z & w }
[/mm]
das ergibt:
[mm] \pmat{ ax & ay \\ az & aw } [/mm] = [mm] \pmat{ ax+z & ay+w \\ az & aw }
[/mm]
nach auflösen und kürzen ergibt sich:
0=z+w
0=0
Sprich
[mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ z & w \\ 0 & 0 }
[/mm]
da das produkt invertierbarer matizen invertierbar sein muss, P, A, B invertierbar sind, die oberen Matrizen aber beide nicht invertierbar sind, folgt dass A und B nur ähnlich sind, wenn a ungleich d.
was meint ihr?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:41 Do 08.03.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Vielen Dank für deine Antwort Barsch.
>
> habe es jetzt folgendermassen gelöst, was meint ihr, kommt
> das hin?
>
> wenn a=d, so sind A und B nicht ähnlich.
> PA=BP:
> [mm]\pmat{ x & y \\
z & w }*\pmat{ a & 0 \\
0 & a }[/mm] = [mm]\pmat{ a & 1 \\
0 & a }* \pmat{ x & y \\
z & w }[/mm]
>
> das ergibt:
> [mm]\pmat{ ax & ay \\
az & aw }[/mm] = [mm]\pmat{ ax+z & ay+w \\
az & aw }[/mm]
>
> nach auflösen und kürzen ergibt sich:
>
> 0=z+w
> 0=0
So, wie ich das sehe, sind z=0 und w=0 und x,y können beliebig gewählt werden. Sei ohne Einschränkung x=y=1, so ist
[mm]P=\pmat{ 1 & 1 \\
0 & 0 }[/mm] und somit nicht invertierbar.
>
> Sprich
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 \\
0 & 0 }[/mm] = [mm]\pmat{ z & w \\
0 & 0 }[/mm]
>
> da das produkt invertierbarer matizen invertierbar sein
> muss, P, A, B invertierbar sind, die oberen Matrizen aber
> beide nicht invertierbar sind, folgt dass A und B nur
> ähnlich sind, wenn a ungleich d.
Du hast jetzt die [mm]\Leftarrow[/mm]-Richtung gezeigt. Ist a=d so existiert keine invertierbare Matrix P mit [mm]\pmat{ a & 0 \\
0 & a }=P^{-1}*\pmat{ a & 1 \\
0 & a }* P[/mm]
>
> was meint ihr?
Fehlt noch die [mm]\Rightarrow[/mm]-Richtung. Vielleicht geht das auch eleganter, aber mir fällt keine schönere Lösung ein, mit den Mitteln, die dir zur Verfügung stehen.
Gruß
barsch
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