Ähnlichkeit von Dreiecken < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 So 15.05.2011 | | Autor: | pramar |
| Aufgabe | | Hallo! ich habe folgende Aufgabe zu lösen. Die Kreise K1 und K2 berühren sich im Punkt P. Eine Sekante durch P schneidet K1 in A1 und K2 in A2.Eine andere Sekante durch P schneidet K1 in B1 und K2 in B2. Man zeige, dass die Dreiecke PA1B1 und PA2B2 ähnlich sind! |
Kann mir jemand die Idee sagen, wie ich diese Aufgabe lösen kann? oder auch einen Tipp geben was ich verwenden könnte? Wäre mir sehr geholfen. danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo! ich habe folgende Aufgabe zu lösen. Die Kreise K1
> und K2 berühren sich im Punkt P. Eine Sekante durch P
> schneidet K1 in A1 und K2 in A2.Eine andere Sekante durch P
> schneidet K1 in B1 und K2 in B2. Man zeige, dass die
> Dreiecke PA1B1 und PA2B2 ähnlich sind!
Hallo pramar,
erstelle dir eine gute Zeichnung der Situation und
betrachte die vorkommenden Winkel. Ziehe dazu
allenfalls weitere nützliche Linien, z.B. auch zu den
Kreismittelpunkten.
Du könntest aber auch direkt auf den Kern der
Aufgabe losgehen, wenn du dir klar machst, dass
eine zentrische Streckung, deren Zentrum P auf der
Kreislinie [mm] K_1 [/mm] liegt, diesen Kreis stets auf einen
Kreis abbildet, welcher [mm] K_1 [/mm] in P berührt.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 So 15.05.2011 | | Autor: | pramar |
Der Winkel, der im Schnittpunkt P jeweils liegt muss ja der gleiche sein, d.h. einen Winkel weiss ich eigentlich. aber wie kann ich zeigen dass die anderen beiden Winkel jeweils gleich sind?
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> Der Winkel, der im Schnittpunkt P jeweils liegt muss ja der
> gleiche sein, d.h. einen Winkel weiss ich eigentlich. aber
> wie kann ich zeigen dass die anderen beiden Winkel jeweils
> gleich sind?
Seien [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] die Mittelpunkte der beiden Kreise.
Betrachte zunächst einmal die Dreiecke [mm] PA_1M_1 [/mm] und [mm] PA_2M_2 [/mm]
und dann allenfalls weitere entsprechende Paare von
Dreiecken !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:40 Mo 16.05.2011 | | Autor: | pramar |
Ok. Wenn der Mittelpunkt der Kreise innerhalb meiner Dreiecke liegt, dann kann ich jeden Eckpunkt jeweils damit verbinden. Dann weiss ich dass 2 Seiten der neuen Dreiecke jeweils den Radius als Länge haben. d.h es entstehen jeweils gleichschenklige Dreiecke. Aber was ist wenn der Mittelpunkt nicht im Dreieck liegt? das ist mir noch nicht klar lg
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Hallo,
das ist doch gleich, ob die Mittelpunkte in den Dreiecken liegen oder nicht. Weiter entstehen nicht nur zwei gleichschenklige Dreieck, sondern natürlich drei. Jedes Teildreieck hat ja zwei Kreisradien als Seiten.
Die Schwierigkeit, hier zielführend zu helfen, könnte m.A. nach darin bestehen, dass unklar ist, welche Sätze verwendet werden dürfen. Wenn man bspw. den Peripheriewinkelsatz verwenden darf, so folgt die Behauptung unmittelbar.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:47 Mo 16.05.2011 | | Autor: | pramar |
hallo diophant. es dürfen jegliche Sätze verwendet werden. ok danke für den Tipp.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Mo 16.05.2011 | | Autor: | pramar |
Ich kann mit dem Peripheriewinkelsatz leider nicht viel anfangen. Kann mir jemand dazu mehr sagen? Wäre es auch möglich so zu machen: Ich verbinde den Eckpunkt A1 mit dem Kreismittelpunkt M1 und verschiebe diese "neue" Seite parallel in den anderen Kreis. Dort läuft diese dann auch von A2 durch M2. d.h. doch dass der entsprechende Winkel derselbe ist oder nicht?
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Hallo,
> Wäre es auch
> möglich so zu machen: Ich verbinde den Eckpunkt A1 mit dem
> Kreismittelpunkt M1 und verschiebe diese "neue" Seite
> parallel in den anderen Kreis. Dort läuft diese dann auch
> von A2 durch M2. d.h. doch dass der entsprechende Winkel
> derselbe ist oder nicht?
nein, das geht natürlich nur, wenn beide Kreise gleich groß sind. Aber für diesen Fall ist dioe Aufgabe eh trivial.
Hast du denn über den Tipp von Al Chwarizmi nochmal nachgedacht (der ist nämlich eigentlich der einfachste und naheliegendste)?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Do 19.05.2011 | | Autor: | pramar |
Hallo nochmal! Ich habe die Zeichung jetzt so gemacht, dass ich beide Kreise ineinander gezeichnet habe. Dann zeichne ich beide Sekanten ein und es entstehen mir die beiden Dreicke. Jetzt müsste ich nur noch zeigen dass die beiden Seiten der Dreiecke, die jeweils die Schnittpunkte mit den kreisen verbinden, parallel sind. Dann wäre die Aufgabe gelöst. Wie könnte ich aber zeigen, dass diese beiden Seiten parallel sind? Habs mit dem Lot probiert und dann mit dem Cosinus, aber haut nicht so hin...lg
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Hallo,
weshalb versuchst du dich immer an neuen Methoden und unternimmst nicht den Versuch, die gegebenen Hinweise umzusetzen?
Auch hier ist die einfachste Möglichkeit der von Al Chwarizmi vorgeschlagene Weg, nämlich einfach zu argumentieren, dass bspw. der größere Kreis aus dem kleineren durch eine zentrische Streckung entseht. Alle notwendigen Bedingungen für die Ähnlichkeit der beiden Dreiecke folgen daraus unmittelbar!
Gruß, Diophant
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