Äquiv. v. Normen/Isomorphie < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:27 Sa 12.04.2008 | | Autor: | ThommyM |
Ich habe ein Problem, das im Rahmen einer anderen Veranstaltung und nicht in einer Vorlesung über Funktionalanalysis aufgetreten ist. Ich selber habe auch noch keine Vorlesung über Funktionalanalysis besucht, weshalb ich auch nicht einschätzen kann, ob mein Problem nicht eher trivial ist und ob es überhaupt ein funktionalanalytisches Problem ist. Ich denke aber schon. Es geht um Folgendes:
Gegeben sei ein endlichdimensionaler, normierter Vektorraum [mm]V[/mm] mit [mm]dimV=n[/mm]. Außerdem sein eine Basis von V gegeben: [mm]b_1,\ldots,b_n[/mm]. Für den zugehörigen Koeffizientenvektor [mm]\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)[/mm] eines Elementes [mm]p=\sum_{k=1}^n \alpha_k b_k[/mm] gelte [mm]p=\sum_{k=1}^n \alpha_k^2=1[/mm]. Nun wird behauptet, dass somit schon gilt, dass [mm]p[/mm] beschränkt ist. Ich frage mich jetzt, warum das so ist?
Meine Idee ist folgende: In endlichdimensionalen Vektorräumen sind ja alle Normen äquivalent. Außerdem existiert ja aufgrund der Basiseigenschaft von [mm]b_1,\ldots,b_n[/mm] ein Isomorphismus von [mm]V[/mm] in den [mm]\IR^n[/mm]. Deshalb existiert eine Konstante [mm]C[/mm], so dass gilt: [mm]\|p\|\le C \cdot\|\alpha\|_2=C\cdot(\sum_{k=1}^n \alpha_k^2)^{\frac{1}{2}}=C[/mm].
Wenn das aber so ist, dann frage ich mich, warum man bei der Abschätzung der Normen (mithilfe des Arguments der Äquivalenz der Normen) einfach zwischen zwei isomorphen Räumen hin- und herspringen darf? Vielleicht kann mir das jemand erklären oder, falls meine Idee nicht richtig sein sollte, einen anderen Lösungsvorschlag machen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:52 Sa 12.04.2008 | | Autor: | MacMath |
Ich kann dazu wahrscheinlich nicht viel beitragen, da ich mich mit FunkAna gar nicht auskenne.
Warum du zwischen isomorphen Räumen wechseln darfst ist aber klar.
Isomorphie würde wohl jeder nicht-mathematiker intuitiv als gleich ansehen, de facto ist es ja nichts anderes als eine Umbenennung, dabei wird jedoch die Struktur des Raumes nicht berührt. Während einer Herleitung einen Zwischenschritt in einem isomorphen Raum durchführen bedeutet also nichts anderes, als eine vorübergehend zweckmäßigere Bezeichnung für die Elemente zu wählen, darum sind die Möglichkeiten auch nicht unbegrenzt: Man darf nur frei wählen wohin man seine Basis abbildet, vorrausgesetzt das Bild der Basis ist l.u., sonst hätten verschiedene Objekte den gleichen Namen
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Hallo Thomas!
> Gegeben sei ein endlichdimensionaler, normierter Vektorraum
> [mm]V[/mm] mit [mm]dimV=n[/mm]. Außerdem sein eine Basis von V gegeben:
> [mm]b_1,\ldots,b_n[/mm]. Für den zugehörigen Koeffizientenvektor
> [mm]\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)[/mm] eines Elementes
> [mm]p=\sum_{k=1}^n \alpha_k b_k[/mm] gelte [mm]p=\sum_{k=1}^n \alpha_k^2=1[/mm].
> Nun wird behauptet, dass somit schon gilt, dass [mm]p[/mm]
> beschränkt ist. Ich frage mich jetzt, warum das so ist?
Vielleicht übersehe ich jetzt irgendetwas, aber ich hätte das jetzt einfach folgendermaßen abgeschätzt:
[mm] $$\| [/mm] p [mm] \| \le \sum_{k = 1}^{n} |\alpha_k| \| b_k \| \le \sum_{k = 1}^{n} \| b_k \| [/mm] < [mm] \infty$$
[/mm]
Gruß,
Stephan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 Sa 12.04.2008 | | Autor: | ThommyM |
Achja, jetzt hab ichs verstanden, stand wohl wirklich nur etwas auf dem Schlauch. Das erste ist ja einfach die Dreiecksungleichung und dann müssen die einzelnen [mm]\alpha_k[/mm] ja alle im Betrag zwischen 0 und 1 liegen, klar.
Aber könnte ich denn trotzdem, unabhängig von diesem Problem hier, bei Abschätzungen über die Äquivalenz von Normen zwischen isomorphen Räumen hin- und herspringen? Und wie zeigt man das mathematisch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:07 Sa 12.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> Aber könnte ich denn trotzdem, unabhängig von diesem
> Problem hier, bei Abschätzungen über die Äquivalenz von
> Normen zwischen isomorphen Räumen hin- und herspringen? Und
> wie zeigt man das mathematisch?
Kommt drauf an was du genau mit isomproh meinst - du hast zu einem VR im allgemeinen mehrer Normen. Also kannst du, wenn du über Normen etwas aussagen willst, nicht hin und her springen a priori. Alles, was bloß die VR-Struktur benutzt, ist unter Isomorphie gleich. Mach mal ein Beispiel, was genau du mathematisch zeigen willst, dann wird das vielleicht klarer.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Sa 12.04.2008 | | Autor: | ThommyM |
Ich denke z.B. an folgende Situation:
Gegeben sei ein endlichdimensionaler Vektorraum [mm]V[/mm]. Dort sind ja alle Normen äquivalent, d.h. zu [mm](V,\|.\|_a)[/mm] und [mm]V,\|.\|_b)[/mm] existieren ja [mm]C_1,C_2>0[/mm] mit [mm]C_1\|p\|_a\le\|p\|_b \le C_2\|p\|_a[/mm] für alle [mm]p\in V[/mm].
Sei jetzt [mm]\{b_1,\ldots,b_n\}[/mm] eine Basis von [mm]V[/mm], dann ist ja die Abbildung die dem Koeffizientenvektor [mm](\alpha_1,\ldots,\alpha_n) \in \IR^n[/mm] das Element [mm]\sum_{k=1}^n \alpha_k b_k \in V[/mm] zuordnet ein Vektorraum-Isomorphismus.
Gilt dann Folgendes, und wenn ja warum:
Ist [mm]\|.\|[/mm] eine Norm auf [mm]V[/mm], so existieren [mm]C_1,C_2>0[/mm] mit [mm]C_1\|\sum_{k=1}^n \alpha_k b_k \|\le\|\alpha\|_{\infty} \le C_2\|\sum_{k=1}^n \alpha_k b_k \|[/mm], wobei [mm]\|.\|_{\infty}[/mm] die Maximumsnorm über dem [mm]\IR^n[/mm] bezeichnet.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:06 So 13.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> Ist [mm]\|.\|[/mm] eine Norm auf [mm]V[/mm], so existieren [mm]C_1,C_2>0[/mm] mit
> [mm]C_1\|\sum_{k=1}^n \alpha_k b_k \|\le\|\alpha\|_{\infty} \le C_2\|\sum_{k=1}^n \alpha_k b_k \|[/mm],
> wobei [mm]\|.\|_{\infty}[/mm] die Maximumsnorm über dem [mm]\IR^n[/mm]
> bezeichnet.
Erstmal: [m]\alpha=\phi(v)[/m], wobie [m]\phi[/m] der Iso ist, v ein bliebiges Element aus V. JEtzt ist es so, dass du jede Norm auf dem [m]\IR^n[/m] auf V mittels [m]||\phi(v)||[/m] zurückziehen kannst - also gibt deine Maximumsnorm eine Norm auf V, für diese findest du solche C, D und bist fertig.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:29 So 13.04.2008 | | Autor: | ThommyM |
Mmh, danke für die Antwort. So ganz verstehe ich das allerdings leider nicht. Dann werde ich das einfach mal so hinnehmen, dass die Beziehung auf jeden Fall gilt. Einfacher kann man es wahrscheinlich nicht erklären...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 Sa 12.04.2008 | | Autor: | ThommyM |
Schonmal danke für die Antworten. Irgendwie stehe ich aber gerade auf dem Schlauch, wieso kann ich das Ganze denn so abschätzen? Vielleicht liegt das aber auch daran, dass ich mich verschrieben habe, hab ich gerade erst festgestellt, sorry. Es muss nur gelten, dass [mm]\sum_{k=1}^n \alpha_k^2=1[/mm] ist, und nicht [mm]p=\sum_{k=1}^n \alpha_k^2=1[/mm].
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