Äquivalente Aussage über Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:27 Do 03.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
| Aufgabe | Beweisen Sie für beliebige Reihen [mm] \summe_{k=1}^{n}a_k, [/mm] dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind:
(i) [mm] \summe_{k=1}^{n}a_k [/mm] ist absolut konvergent
(ii) Für jede beschränkte Folge [mm] b_n [/mm] konvergiert die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{n}a_kb_k [/mm] |
[mm] (i)\to(ii):
[/mm]
Kann ich das so machen?
Wenn [mm] b_n [/mm] beschränkt ist existiert das Supremum M mit M [mm] \ge b_n
[/mm]
Dann gilt: [mm] M*\summe_{k=1}^{n}|a_k|=\summe_{k=1}^{n}M*|a_k|\ge\summe_{k=1}^{n}b_ka_k
[/mm]
Dann ist [mm] \summe_{k=1}^{n}M*|a_k| [/mm] konvergente Majorante und folglich konvergiert [mm] \summe_{k=1}^{n}b_ka_k.
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:21 Fr 04.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie für beliebige Reihen [mm]\summe_{k=1}^{n}a_k,[/mm]
> dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind:
>
> (i) [mm]\summe_{k=1}^{n}a_k[/mm] ist beschränkt
>
> (ii) Für jede beschränkte Folge [mm]b_n[/mm] konvergiert die Reihe
> [mm]\summe_{k=1}^{n}a_kb_k[/mm]
> [mm](i)\to(ii):[/mm]
Das ist Unsinn ! Die Aussagen sind nicht äquivalent: Beispiel:
[mm] a_k [/mm] = [mm] (-1)^k
[/mm]
Dann ist ($ [mm] \summe_{k=1}^{n}a_k [/mm] $) eine beschränkte Folge, aber wählt man [mm] b_k [/mm] = 1 für jedes k , so ist ( $ [mm] \summe_{k=1}^{n}a_kb_k [/mm] $) divergent.
Ich vermute, (i) muß so lauten: $ [mm] \summe_{k=1}^{n}|a_k| [/mm] $ ist beschränkt
Klär das mal
FRED
>
> Kann ich das so machen?
>
> Wenn [mm]b_n[/mm] beschränkt ist existiert das Supremum M mit M [mm]\ge b_n[/mm]
>
> Dann gilt:
> [mm]M*\summe_{k=1}^{n}|a_k|=\summe_{k=1}^{n}M*|a_k|\ge\summe_{k=1}^{n}b_ka_k[/mm]
>
> Dann ist [mm]\summe_{k=1}^{n}M*|a_k|[/mm] konvergente Majorante und
> folglich konvergiert [mm]\summe_{k=1}^{n}b_ka_k.[/mm]
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:27 Fr 04.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Hallo Fred,
danke für den Hinweis. Hatte die Aufgabe nur falsch notiert. Mein Fehler.
Kann ich das denn dann so machen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:37 Fr 04.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Du schreibst:
Wenn $ [mm] b_n [/mm] $ beschränkt ist existiert das Supremum M mit M $ [mm] \ge b_n [/mm] $
Dann gilt: $ [mm] M\cdot{}\summe_{k=1}^{n}|a_k|=\summe_{k=1}^{n}M\cdot{}|a_k|\ge\summe_{k=1}^{n}b_ka_k [/mm] $
Dann ist $ [mm] \summe_{k=1}^{n}M\cdot{}|a_k| [/mm] $ konvergente Majorante und folglich konvergiert $ [mm] \summe_{k=1}^{n}b_ka_k. [/mm] $
Besser wäre:
Wenn $ [mm] (b_n) [/mm] $ beschränkt ist existiert das Supremum M mit M $ [mm] \ge |b_n| [/mm] $
Dann gilt: $ [mm] M\cdot{}\summe_{k=1}^{n}|a_k|=\summe_{k=1}^{n}M\cdot{}|a_k|\ge\summe_{k=1}^{n}|b_ka_k| [/mm] $
Dann ist $ [mm] \summe_{k=1}^{n}M\cdot{}|a_k| [/mm] $ konvergente Majorante und folglich konvergiert $ [mm] \summe_{k=1}^{n}b_ka_k. [/mm] $ absolut
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:39 Fr 04.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Ok gut, danke.
Zur Rückrichtung mache ich mich noch Gedanken.
Muss jetzt erst einmal zur Uni.
lG, Ferolei
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Fr 04.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Weiß jemand einen Ansatz, wie ich die Rückrichtung ii [mm] \to [/mm] i zeigen kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Fr 04.12.2009 | | Autor: | andreas |
hi
wähle eine folge [mm] $(b_k)$, [/mm] so dass [mm] $b_ka_k [/mm] = [mm] |a_k|$ [/mm] für alle $k$. kann dir dabei die signumsfunktion vielleicht helfen?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Fr 04.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Was ist denn die Signumsfunktion ?
Das heißt, ich wähle [mm] b_k [/mm] = 1 [mm] \wedge b_k= [/mm] -1 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 Fr 04.12.2009 | | Autor: | andreas |
> Was ist denn die Signumsfunktion ?
eine google-suche hilft dir da schnell weiter
> Das heißt, ich wähle [mm]b_k[/mm] = 1 [mm]\wedge b_k=[/mm] -1 ?
du denkst schon in die richtige richtung, aber so macht das natürlich keinen sinn (was soll denn das "und" dazwischen). wie wälhlst du denn [mm] $b_k$ [/mm] in abhängigkeit von [mm] $a_k$? [/mm] schreibe das doch mal ausführlich auf.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Fr 04.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Also ich versteh das so:
ich wähle mein [mm] (b_k)_{k\in\IN}:=sign(a_k)_{k\in\IN}. [/mm] Die ist offensichtlich beschränkt, da nur die Werte -1,0,1 angenommen werden.
Nach Voraussetzung gilt dann
[mm] \summe_{k=1}^{n}a_k*sign(a_k) [/mm] konvergiert.
Weil außerdem [mm] a_k*sgn(a_k)=|a_k| [/mm] ist [mm] a_k [/mm] absolut konvergent.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:24 Fr 04.12.2009 | | Autor: | andreas |
hi
> Also ich versteh das so:
>
> ich wähle mein [mm](b_k)_{k\in\IN}:=sign(a_k)_{k\in\IN}.[/mm] Die
> ist offensichtlich beschränkt, da nur die Werte -1,0,1
> angenommen werden.
>
> Nach Voraussetzung gilt dann
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}a_k*sign(a_k)[/mm] konvergiert.
>
> Weil außerdem [mm]a_k*sgn(a_k)=|a_k|[/mm] ist [mm]a_k[/mm] absolut
> konvergent.
genau. nur bei der schreibweise musst du noch ein bisschen aufpassen: du meinst vermutlich [mm] $(b_k)_{k\in\IN}:=(\textrm{sign}(a_k))_{k\in\IN}$ [/mm] und die summe soll bis [mm] $\infty$ [/mm] gehen...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:30 Fr 04.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Alles klar. Dank dir
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