Äquivalente Normen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:22 Sa 17.04.2010 | | Autor: | LariC |
| Aufgabe | Zwei Normen [mm] ||.||_1 und||.||_2 [/mm] sind äquivalent und es gilt:
[mm] c||x||_1 \le ||x||_2 \le C||x||_1 [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] V.
Z.z.: Wenn [mm] ||.||_1 [/mm] und [mm] ||.||_2 [/mm] nun äquivalent sind, so gilt:
1.) [mm] x_n \to [/mm] x in [mm] (V,||.||_1) \gdw (x_n \to [/mm] x in [mm] (V,||.||_2) [/mm]
und
2.) [mm] U\subset [/mm] V ist offen in [mm] (V,||.||_1) \gdw [/mm] U ist offen in [mm] (V,||.||_2).
[/mm]
Bemerkung: Analog gilt es für Vollstän.k. |
Hallöchen,
die obige Aufgabe bereitet mir gerade ziemliches Kopfzebrechen.
Was soll die Bemerkung zu der Analogien - soll das Einfluss auf die Aufgabe haben - vermutlich ja nicht, aber was genau soll denn analog funktionieren?
Das verstehe ich leider noch nicht!
Ansonsten weiß ich diemal überhaupt nicht wie ich anfenagen will und sollte. Das die beiden Normen äquivalent sind, ist mir nach obiger Forderung klar, aber wie genau soll das zum Beweis der Behauptugen 1 und 2 helfen?
Ich komme da einfach von selber nicht vonran...kann mir bitte jemand helfen?!
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Hallo!
> Zwei Normen [mm]||.||_1 und||.||_2[/mm] sind äquivalent und es
> gilt:
> [mm]c||x||_1 \le ||x||_2 \le C||x||_1[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] V.
> Z.z.: Wenn [mm]||.||_1[/mm] und [mm]||.||_2[/mm] nun äquivalent sind, so
> gilt:
> 1.) [mm]x_n \to[/mm] x in [mm](V,||.||_1) \gdw (x_n \to[/mm] x in
> [mm](V,||.||_2)[/mm]
> und
> 2.) [mm]U\subset[/mm] V ist offen in [mm](V,||.||_1) \gdw[/mm] U ist offen
> in [mm](V,||.||_2).[/mm]
Du hast zunächst recht: Das mit dem "Analog" hilft dir bei der Aufgabe nicht weiter (außer, ihr habt das in der Vorlesung schon bewiesen, dann hilft es!), es ist nur eine Zusatzinformation damit du mathematisch gebildet wirst 
> Ansonsten weiß ich diemal überhaupt nicht wie ich
> anfenagen will und sollte. Das die beiden Normen
> äquivalent sind, ist mir nach obiger Forderung klar, aber
> wie genau soll das zum Beweis der Behauptugen 1 und 2
> helfen?
Du hast zu zeigen: Konvergiert eine Folge bzgl. der Norm 1, konvergiert die Folge auch bzgl. der Norm 2, und umgekehrt.
Ich mache dir für 1. mal eine Richtung:
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Die Folge [mm] $(x_{n})_{n\in\IN}$ [/mm] konvergiere bzgl. [mm] $||.||_{1}$ [/mm] gegen x.
Das heißt:
[mm] $\forall \varepsilon_{1} [/mm] > 0 [mm] \exists N_{1}\in \IN: \forall [/mm] n > [mm] N_{1}: ||x_{n}-x||_{1} [/mm] < [mm] \varepsilon_{1}$. [/mm] (i)
Du hast nun zu zeigen: Dann konvergiert die Folge [mm] $(x_{n})_{n\in\IN}$ [/mm] auch bzgl. [mm] $||.||_{2}$ [/mm] gegen x, d.h.
[mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists N\in \IN: \forall [/mm] n > N: [mm] ||x_{n}-x||_{2} [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
----------
Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$.
Gemäß (i) existiert zu [mm] $\varepsilon_{1} [/mm] := [mm] \frac{\varepsilon}{C}$ [/mm] ein [mm] N_{1}\in\IN [/mm] so, dass für alle n > N gilt:
[mm] $||x_{n}-x||_{1} [/mm] < [mm] \varepsilon_{1}$
[/mm]
Wähle nun $N = [mm] N_{1}$.
[/mm]
Aus [mm] $||a||_{2} \le C*||a||_{1}$ [/mm] für beliebiges [mm] $a\in [/mm] V$ folgt [mm] $\frac{1}{C}*||a||_{2} \le ||a||_{1}$ [/mm] für beliebies [mm] $a\in [/mm] V$.
Damit gilt für $n > N = [mm] N_{1}$:
[/mm]
[mm] \frac{\varepsilon}{C} [/mm] = [mm] \varepsilon_{1} [/mm] > [mm] ||x_{n}-x||_{1} \ge \frac{1}{C}*||x_{n}-x||_{2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \varepsilon [/mm] > [mm] ||x_{n}-x||_{2}$.
[/mm]
q.e.d.
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(Der Konvergenzbeweis nach dem Schema: Zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] gibt es N... versteckt sich im Rotmarkierten!)
Zu 2.: Das läuft ganz ähnlich ab wie in 1. Schreibe zunächst auf, was es bedeutet, wenn eine Menge bzgl. einer Norm "offen" ist. Dann gehe so vor wie in 1.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:47 Sa 17.04.2010 | | Autor: | LariC |
Ich habe mir den ersten Beweis heute einige Male angeschaut und bin wirklich so langsam durchgestiegen - vielen Dak dafür!
Ich werde dann mal die zweite Richtung so zu sagen probieren und danach die zweite Behauptung bearbeiten!
Aber, wie kommt man darauf das Epsilon als Epsilon geteilt durch c zu wählen!?
Ich hoffe ich bekomme das hin - danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:11 So 18.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Aber, wie kommt man darauf das Epsilon als Epsilon geteilt
> durch c zu wählen!?
Weil man solche Beweise andersrum aufschreibt, als man sie sich überlegt - seien x, y nah in der ersten Norm, also [m]||x-y||_1
Die Aussagen in der Beh. sind ziemlich einfach, viel Spaß damit!
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:59 So 18.04.2010 | | Autor: | LariC |
Gut - das macht Sinn! danke
Aber jetzt habe ich selber die Rückrichtung versucht und dabei ergeben sich für mich einige fragen:
1.) Ich habe ja zwei Möglichkeiten mein [mm] \varepsilon [/mm] zu wählen - Ist es egal, ob ich [mm] \varepsilon*:=\varepsilon/c [/mm] oder [mm] \varepsilon*:=\varepsilon/C [/mm] wähle?
2.) ich komme am Ende ja entweder zu der Aussage
[mm] \varepsilon>||x_n-x||_2>||x_n-x||_1, [/mm] also: [mm] \varepsilon>C||x_n-x||_1 [/mm] oder
[mm] \varepsilon>1/c ||x_n-x||_2>||x_n-x||_1, [/mm] also: [mm] \varepsilon>c||x_n-x||_1
[/mm]
Stören nicht jeweils die positiven Zahlen c und C bei der letzeen Ausage? Oder geht das hier so?
3.) Eine twas grundelgendere Frage: mit [mm] ||.||_1 [/mm] ist doch nicht die Eins.Norm gemeint, oder?!
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Hallo!
> Aber jetzt habe ich selber die Rückrichtung versucht und
> dabei ergeben sich für mich einige fragen:
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> 1.) Ich habe ja zwei Möglichkeiten mein [mm]\varepsilon[/mm] zu
> wählen - Ist es egal, ob ich [mm]\varepsilon*:=\varepsilon/c[/mm]
> oder [mm]\varepsilon*:=\varepsilon/C[/mm] wähle?
Nein, du musst schon [mm] $\varepsilon_{2} [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] / c$ wählen.
Du brauchst doch die richtige Richtung der Abschätzung! Deine finale Abschätzungskette lautet doch
[mm] $\varepsilon*Faktor [/mm] = [mm] \varepsilon_{2} [/mm] > [mm] ||x_{n}-x||_{2} \ge Faktor*||x_{n}-x||_{1}$
[/mm]
der Faktor, den du ganz rechts brauchst, den musst du also auch in deine Definition vom [mm] \varepsilon_{2} [/mm] einbauen.
> 2.) ich komme am Ende ja entweder zu der Aussage
> [mm]\varepsilon>||x_n-x||_2>||x_n-x||_1,[/mm] also:
> [mm]\varepsilon>C||x_n-x||_1[/mm] oder
>
> [mm]\varepsilon>1/c ||x_n-x||_2>||x_n-x||_1,[/mm] also:
> [mm]\varepsilon>c||x_n-x||_1[/mm]
>
> Stören nicht jeweils die positiven Zahlen c und C bei der
> letzeen Ausage? Oder geht das hier so?
Das geht so nicht.
Schau' dir nochmal meinen Beweis an.
Am Ende muss für das frei gewählte [mm] \varepsilon [/mm] > 0 dastehen:
[mm] $\varepsilon [/mm] > [mm] ||x_{n}-x||_{1}$
[/mm]
> 3.) Eine twas grundelgendere Frage: mit [mm]||.||_1[/mm] ist doch
> nicht die Eins.Norm gemeint, oder?!
Nein, es geht einfach um zwei verschiedene Normen Norm1 und Norm2.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:02 So 18.04.2010 | | Autor: | LariC |
Mmmmh...irgendwie kommt es bei mir im Endeffekt aber nicht hin:
Ich wähle [mm] \varepsilon2:=\varepsilon/c
[/mm]
Wähle ich im zweiten Schritt N=N2 dann folgt aus ||a||2 [mm] \ge [/mm] c||a||1, also: c||a|1 [mm] \ge [/mm] ||a||2 für jedes a folgendes:
[mm] 1/c^2||a||2 \ge [/mm] 1/c ||a||1
Damit gilt für ein n>N=N2:2>c||
[mm] \varepsilon/c=\varepsilon2>1/c^2||xn-x||2>1/c||xn-x||1
[/mm]
und damit:
[mm] \varepsilon>||xn-x||1
[/mm]
Nur ich habe das so komisch mit dem [mm] c^2 [/mm] gemacht - geht das so? Und sonst weiß ich wirklich nicht warum? Und ich wüsste auch nicht, wei man ansonsten zum zielkommen kann :(
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:32 So 18.04.2010 | | Autor: | LariC |
Was mache ich falsch, dass es bei mir nie hinkommt?
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Hallo,
> Mmmmh...irgendwie kommt es bei mir im Endeffekt aber nicht
> hin:
Ich hatte mich oben vertippt: Du musst [mm] $\varepsilon_{2} [/mm] = [mm] \varepsilon*c$ [/mm] wählen.
Dann kommt alles hin.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 So 18.04.2010 | | Autor: | LariC |
Na denn...ich habe mir den Weg jetzt zumindest bestimmt 20 Mal durchgeschaut...jaja...zwischendurch habe ich aber auch schon mal mit dem 2. Teil angefangen.
Ich habe da lleider nicht so eine passende Def. gefunden und habe mir dann ein mit Norm und Kugel gebastelt, nämlich:
Die Teilmenge U [mm] \subset [/mm] V ist offen, falls für alle u [mm] \in [/mm] U ein [mm] \varepsilon_1>0 [/mm] exisiert, sodass die offene Kugel [mm] K_\varepsilon1(u)={v\in V: ||u-v||_1<\varepsilon_1} [/mm] in U ist.
Kannman so starten und dann halt zu der Def für die 2. Norm kommen - oder ist das nicht so gut!?
Und danke...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:41 So 18.04.2010 | | Autor: | LariC |
Ich habe das jetzt zwar so schon ziemlich weit, abert würde trotzdem noch gerne wissen, ob man das überhapt so machen kann!
Kann sich nochmal bitte jemand meinen letzten Beitrag durchlesen und einen Kommentar dazu abgeben? danke
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Hallo,
> Na denn...ich habe mir den Weg jetzt zumindest bestimmt 20
> Mal durchgeschaut...jaja...zwischendurch habe ich aber auch
> schon mal mit dem 2. Teil angefangen.
> Ich habe da lleider nicht so eine passende Def. gefunden
> und habe mir dann ein mit Norm und Kugel gebastelt,
> nämlich:
>
> Die Teilmenge U [mm]\subset[/mm] V ist offen, falls für alle u [mm]\in[/mm]
> U ein [mm]\varepsilon_1>0[/mm] exisiert, sodass die offene Kugel
> [mm]K_\varepsilon1(u)={v\in V: ||u-v||_1<\varepsilon_1}[/mm] in U
> ist.
>
> Kannman so starten und dann halt zu der Def für die 2.
> Norm kommen - oder ist das nicht so gut!?
Du kannst mit dieser Definition arbeiten. Du musst dann wieder [mm] \varepsilon_{1} [/mm] entsprechend wählen, das dürfte sogar relativ ähnlich wie mit dem ersten Beweis zu wählen sein.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Di 20.04.2010 | | Autor: | LariC |
Hallo, ich habe mir zu der zweiten Behauptung nun fiolgendes überlegt:
Ich zeige mal meine erste Richtung:
Die Teilmenge U [mm] \subset [/mm] V sei offen in [mm] ||.||_1, [/mm] also:
[mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] U [mm] \exists \varepsilon_1>0: K_\varepsilon_1(u)={v\inV:||u-v||_1<\varepsilon_1} [/mm] in U.
Zz: Dann ist auch U in [mm] ||.||_2 [/mm] offen, also:
[mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] U [mm] \exists \varepsilon_2>0: K_\varepsilon_2(u)={v\inV:||u-v||_2<\varepsilon_2} [/mm] in U.
Jetzt zum Beweis:
Sei [mm] \varepsilon>0:
[/mm]
Nacg Voraussetzung existiert zu [mm] \varepsilon_1:=\varepsilon/C [/mm] ein u [mm] \in [/mm] U, so dass [mm] \forall K_\varepsilon_1(u) gilt:||u-v||<\varepsilon_1
[/mm]
Jetzt weiß ich nicht was ich wählen muss - etwa ein u, da [mm] \varepsilon [/mm] davion abhängt??!!
Also:
Wähle [mm] u=u_1
[/mm]
Aus [mm] ||x||_2<=C||x||_1 [/mm] für alle x aus V gilt auch [mm] 1/c||x||_2<=||x||_1 [/mm] für bel. x
Damit gilt für bel u
[mm] \varepsilon/C=\varepsilon>||u-v||_1>=1/c||u-v||_2
[/mm]
also: [mm] \varepsilon>||u-v||_2
[/mm]
So das wärs dann - aber ich wei0 das da was falsch läuft - es liegt vermutlich an irgendeiner falschen Quantorenwahl.
Aber o genau und wieso - kann mir das bitte nochmal jemand erklärwn und erläutern!!!???
Danke euch...
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Hallo,
> Hallo, ich habe mir zu der zweiten Behauptung nun
> fiolgendes überlegt:
>
> Ich zeige mal meine erste Richtung:
>
> Die Teilmenge U [mm]\subset[/mm] V sei offen in [mm]||.||_1,[/mm] also:
> [mm]\forall[/mm] u [mm]\in[/mm] U [mm]\exists \varepsilon_1>0: K_\varepsilon_1(u)={v\inV:||u-v||_1<\varepsilon_1}[/mm]
> in U.
>
> Zz: Dann ist auch U in [mm]||.||_2[/mm] offen, also:
> [mm]\forall[/mm] u [mm]\in[/mm] U [mm]\exists \varepsilon_2>0: K_\varepsilon_2(u)={v\inV:||u-v||_2<\varepsilon_2}[/mm]
> in U.
Wenn man sich den Quelltext ansieht, versteht man, worauf du mit dem "=" hinauswolltest
Also nochmal zum Lesen:
Vor.:
[mm] $\forall [/mm] u [mm] \in [/mm] U [mm] :\exists \varepsilon_1>0: K_{\varepsilon_1}(u)=\{v\in V:||u-v||_1<\varepsilon_1\}\subset [/mm] U$
Zu zeigen:
[mm] $\forall [/mm] u [mm] \in [/mm] U [mm] :\exists \varepsilon [/mm] >0: [mm] K_{\varepsilon_1}(u)=\{v\in V:||u-v||_1<\varepsilon\}\subset [/mm] U$
> Jetzt zum Beweis:
> Sei [mm]\varepsilon>0:[/mm]
> Nacg Voraussetzung existiert zu
> [mm]\varepsilon_1:=\varepsilon/C[/mm] ein u [mm]\in[/mm] U, so dass [mm]\forall K_\varepsilon_1(u) gilt:||u-v||<\varepsilon_1[/mm]
>
> Jetzt weiß ich nicht was ich wählen muss - etwa ein u, da
> [mm]\varepsilon[/mm] davion abhängt??!!
Nein...
Wenn wir obige Aussage beweisen wollen, dann steht als erstes da: [mm] "\forall [/mm] u [mm] \in [/mm] U ". Das heißt, unser Beweis muss mit
"Sei [mm] u\in [/mm] U beliebig"
beginnen.
Nun müssen wir zeigen, dass ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 existiert, dass die entsprechenden Eigenschaften hat. Wenn wir also ein entsprechendes [mm] \varepsilon [/mm] angeben und dann nachrechnen, dass alles hinhaut, ist der Beweis geschafft.
Nun ist die Frage, wie so ein [mm] \varepsilon [/mm] auszusehen hat. Dazu machen wir uns als erstes klar, dass wir schonmal die Existenz eines [mm] \varepsilon_{1} [/mm] aus unserer Voraussetzung bekommen.
Also nächster Schritt im Beweis:
"Aus der Voraussetzung wissen wir, dass ein [mm] \varepsilon_{1} [/mm] > 0 existiert mit [mm] $K_{\varepsilon_1}(u)=\{v\in V:||u-v||_1<\varepsilon_1\}\subset [/mm] U$ ".
[Bemerkung: Das wichtige bei der Aussage ist natürlich nicht die Gleichheit der zwei Mengen (das ist ja bloß Definition), sondern dass die rechte Menge Teilmenge von U ist.]
Mit Hilfe dieses [mm] \varepsilon_{1} [/mm] müssen wir nun unser [mm] \varepsilon [/mm] bestimmen. Und NUN läuft die Wahl entsprechend so, wie wir es vorher in dem anderen Beweis gemacht haben.
Mit der Wahl wollen wir folgendes erreichen: Ausgehend von [mm] \varepsilon_{1} [/mm] bestimmen wir ein [mm] \varepsilon [/mm] und konstruieren die Kugel
[mm] $K_{\varepsilon}(u) [/mm] = [mm] \{v\in V:||u-v||_{2}<\epsilon\}$,
[/mm]
für die wir behaupten können:
[mm] $K_{\varepsilon}(u) [/mm] = [mm] \{v\in V:||u-v||_{2} < \varepsilon\} [/mm] = ... [mm] \subset K_{\varepsilon_{1}}(u) [/mm] = [mm] \{v\in V:||u-v||_{1} < \varepsilon_{1}\} \subset [/mm] U$.
Ein Kugel ist dabei Teilmenge einer anderen Kugel um denselben Punkt, wenn der Radius kleiner ist. Mach' dir erstmal klar, dass wir mit dem Beweis in diese Richtung fertig sind, wenn obige Zeile dasteht und wir die Existenz eines solchen [mm] \varepsilon [/mm] gezeigt haben.
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Der restliche Beweis folgt dann.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Di 20.04.2010 | | Autor: | LariC |
Uiui...da war ich ja doch noch sehr weit entfernt :(
ich würde das auch geren so können - aber nagut - dafür übe ich ja noch...
Also - ich habe jetzt natürlich auch noch wieder einige Fragen :
1.) Das die erste Menge Teilmenge der zweiten st kann ich mir ja noch vorstellen, aber warum ist die 2. Teilmenge der 3.?
Und in diesem Zusammenhang, warum liegen hier untersch. Radien vor?
2.) Warum dürfen wir hier ein [mm] \varepsilon [/mm] wählen, dass nur in Abhängigkeit zu [mm] \varepsilon_1 [/mm] stehet, warum müssen wir nicht ein [mm] \varepsilon_1 [/mm] wählen?
Danke das du dir so viell Mühe gibst, aber ich will es jetzt auch echt verstehen!!!
3.) Und bei der Rückrichtung müsste man dann doch wieder [mm] \varepsilon=\varepsilon_2/C [/mm] wählen...?
Achja und in deinem Zz. soll doch immer nur Epsilon ohne Index stehen und die 2. NOrm, ooder!?
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Hallo,
> Uiui...da war ich ja doch noch sehr weit entfernt :(
> ich würde das auch geren so können - aber nagut - dafür
> übe ich ja noch...
Ich bin auch noch im Übungsstadium - was denkst du, wie lange ich gebraucht habe, um mich selbst davon zu überzeugen, dass das, was ich dir schreibe, richtig ist ?
Und nochwas: Du hast dir eine etwas "blöde" Definition von Offenheit rausgesucht, normalerweise kommt man ohne die Kugeln aus, dann muss man nicht auch noch mit Teilmengen argumentieren.
> Also - ich habe jetzt natürlich auch noch wieder einige
> Fragen :
> 1.) Das die erste Menge Teilmenge der zweiten st kann ich
> mir ja noch vorstellen, aber warum ist die 2. Teilmenge der
> 3.?
Eigentlich sollte es genau umgekehrt sein
Die erste Beziehung in der Implikationskette
$ [mm] ||u-v||_{2} [/mm] < [mm] \varepsilon \red{\Rightarrow} ||u-v||_{1}\cdot{}c \le ||u-v||_{2} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \varepsilon_{1}\cdot{}c \Rightarrow ||u-v||_{1} [/mm] < [mm] \varepsilon_{1} \quad [\Rightarrow v\in [/mm] U] $
ist nämlich eine Äquivalenz - strenggenommen setzen wir nämlich nur an die erste Aussage Dinge dran, die wir ohnehin wissen (Die Normabschätzung gilt "global" für den ganzen Beweis, und auch das [mm] \varepsilon [/mm] kennen wir ja; beide neuen Sachen folgen also nicht aus [mm] $||u-v||_{1}\cdot{}c \le ||u-v||_{2}$, [/mm] sondern gelten schon vorher).
Die zweite hingegen ist wirklich nur eine Implikation, also eine Folgerung; denn wir lassen einen Teil der Ungleichung (der nicht selbstverständlich bzw. "global" bekannt ist), nämlich den Teil " [mm] ||u-v||_{2} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] " weg. Dadurch hat v "mehr Möglichkeiten"; wenn für ein v die Aussage
[mm] $||u-v||_{1} [/mm] < [mm] \varepsilon_{1}$
[/mm]
gilt, muss für dieses v nicht
[mm] $||u-v||_{2} [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
gelten.
Wenn du diese Implikationen verstanden hast, weißt du, warum die Teilmengenbeziehungen vorliegen (Besinne dich zurück auf Mengenbeweise - um A [mm] \subset [/mm] B zu zeigen, musste man zeigen [mm] x\in [/mm] A [mm] \Rightarrow x\in [/mm] B - genauso läuft es hier nun beim Übertragen auf die Teilmengenbeziehungen).
> Und in diesem Zusammenhang, warum liegen hier untersch.
> Radien vor?
Ja, das war doof von mir - denke hier nicht an Radien.
> 2.) Warum dürfen wir hier ein [mm]\varepsilon[/mm] wählen, dass
> nur in Abhängigkeit zu [mm]\varepsilon_1[/mm] stehet, warum müssen
> wir nicht ein [mm]\varepsilon_1[/mm] wählen?
Die Aussage, dass U offen bzgl. [mm] $||.||_{1}$ [/mm] ist, hat folgende Gestalt:
Für alle $u [mm] \in [/mm] U$ existiert ein [mm] \varepsilon_{1}, [/mm] ...
Das heißt: Im ersten Schritt müssen wir ein u vorgeben, dann liefert und die Aussage irgendein [mm] \varepsilon_{1} [/mm] - wir können nicht bestimmen, wie das aussieht, wir wissen bloß, es gibt eines.
Bei den vorherigen Beweisen mit der Konvergenz war es folgendermaßen:
Für alle [mm] \varepsilon_{1} [/mm] existiert ein...
Da musste man also ein [mm] \varepsilon_{1} [/mm] vorgeben und hat dann irgendwelche Aussagen bekommen.
--> Du musst dir also immer im Klaren sein, was die Aussage dir genau liefert, was du "reinstecken" musst und was du "rausbekommst".
> 3.) Und bei der Rückrichtung müsste man dann doch wieder
> [mm]\varepsilon=\varepsilon_2/C[/mm] wählen...?
Wahrscheinlich schon - probier es aus
> Achja und in deinem Zz. soll doch immer nur Epsilon ohne
> Index stehen und die 2. NOrm, ooder!?
Ja, genau - ich hatte das bloß kopiert.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:50 Di 20.04.2010 | | Autor: | LariC |
Probiert und es hat funktioniert :)
An einer war es etwas komplizierter, weil ich versucht hatte die Äquivalenzdefinition nicht umzustellen, sondern stattdessen das Epsilon allein passend zu wählen. Aber ich glaube ich habe jetzt im Nachhinein doch schon etwas mehr des Ganzen verstanden.
Danke dafür - wirklich!
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Hallo,
Wähle [mm] $\varepsilon [/mm] = [mm] c*\varepsilon_{1}$. [/mm] Sei [mm] $v\in [/mm] V$ mit [mm] $||u-v||_{2} [/mm] < [mm] \varepsilon$. [/mm] Dann folgt:
[mm] $||u-v||_{2} [/mm] < [mm] \varepsilon$ \Rightarrow $||u-v||_{1}*c \le ||u-v||_{2} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \varepsilon_{1}*c \Rightarrow ||u-v||_{1} [/mm] < [mm] \varepsilon_{1} \quad [\Rightarrow v\in [/mm] U]$,
damit erhältst du deine Teilmengenkette:
[mm] $K_{\varepsilon}(u) [/mm] = [mm] \{v\in V: ||u-v||_{2} < \varepsilon\} \subset \{v\in V: ||u-v||_{1}*c \le ||u-v||_{2} < \varepsilon = \varepsilon_{1}*c\} \subset \{v\in V:||u-v||_{1} < \varepsilon_{1}\} [/mm] = [mm] K_{\varepsilon_{1}}(u)\in [/mm] U$.
Grüße,
Stefan
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