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| Aufgabe | Hallo,
versuche gerade folgende Aufgabe zu lösen:
Sei M eine Menge, [mm] x_0 \in [/mm] M und g:MxM [mm] \to \IR [/mm] eine beliebige Abbildung mit [mm] g(x_0,x_0)=1.
[/mm]
Sind die folgenden Relationen jeweils eine Äquivalenzrelation?
1.) x~y [mm] \gdw [/mm] g(x,y) = 2*g(y,x)
2.) x~y [mm] \gdw g(x,x_0) [/mm] = [mm] g(y,x_0)
[/mm]
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Also, mein Problem ist, dass ich nicht weiß wie ich mit dieser Abbildung umzugehen habe.
Was eine Äquivalenzrelation ist weiß ich und mit der Definition hab ich auch keine Probleme gehabt.
Habe auch mehrere Aufgaben dazu bearbeiten können, aber da war die Relation dann meist durch "<" oder "=" oder [mm] "\le" [/mm] definiert.
Hier hab ich es mit einer Abbildung zu tun was mich total irritiert.
Als erstes würde man ja versuchen zu zeigen, dass die Relation in 1.) reflexiv ist:
Also:
reflexiv
x~x [mm] \gdw [/mm] g(x,y) = 2*g(y,x) = g(2y,2x) ?????
Hab da wirklich keine Ahnung.
Wäre toll, wenn mir jemand den Anfang zeigen könnte. Den Rest würde ich dann selber versuchen.
Vielen Dank im voraus
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> Hallo,
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> versuche gerade folgende Aufgabe zu lösen:
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> Sei M eine Menge, [mm]x_0 \in[/mm] M und g:MxM [mm]\to \IR[/mm] eine
> beliebige Abbildung mit [mm]g(x_0,x_0)=1.[/mm]
> Sind die folgenden Relationen jeweils eine
> Äquivalenzrelation?
>
> 1.) x~y [mm]\gdw[/mm] g(x,y) = 2*g(y,x)
> 2.) x~y [mm]\gdw g(x,x_0)[/mm] = [mm]g(y,x_0)[/mm]
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> Also, mein Problem ist, dass ich nicht weiß wie ich mit
> dieser Abbildung umzugehen habe.
> Was eine Äquivalenzrelation ist weiß ich und mit der
> Definition hab ich auch keine Probleme gehabt.
> Habe auch mehrere Aufgaben dazu bearbeiten können, aber da
> war die Relation dann meist durch "<" oder "=" oder [mm]"\le"[/mm]
> definiert.
> Hier hab ich es mit einer Abbildung zu tun was mich total
> irritiert.
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> Als erstes würde man ja versuchen zu zeigen, dass die
> Relation in 1.) reflexiv ist:
>
> Also:
>
> reflexiv
>
> x~x [mm]\gdw[/mm] g(x,y) = 2*g(y,x) = g(2y,2x) ?????
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> Hab da wirklich keine Ahnung.
> Wäre toll, wenn mir jemand den Anfang zeigen könnte. Den
> Rest würde ich dann selber versuchen.
>
> Vielen Dank im voraus
Ich mach dir mal die Reflexivität für beide vor, den Rest solltest du dann selbst hinkriegen.
1.) Zu zeigen ist [mm]x \sim x[/mm], also [mm]g(x,x) = 2 * g(x,x)[/mm] für alle [mm]x \in M[/mm]. Es ist aber [mm]x_0 \in M[/mm] und es gilt:
[mm]g(x_0,x_0) = 1 \ne 2 = 2 * g(x_0,x_0)[/mm]
Damit folgt [mm]x_0 \nsim x_0[/mm], also ist die Relation nicht reflexiv.
2.) Es sei [mm]x \in M[/mm] beliebig. Dann gilt [mm]g(x,x_0) = g(x,x_0)[/mm] und somit [mm]x \sim x[/mm]. Also ist die Relation reflexiv.
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| Aufgabe | | Danke für die schnelle Antwort. |
Ich hab es nun versucht und folgendes erhalten:
reflexiv hattest du schon vorgemacht.
symmetrisch: x~y , d.h. [mm] g(x,x_0) [/mm] = [mm] g(y,x_0)
[/mm]
[mm] \Rightarrow g(y,x_0) [/mm] = [mm] g(x,x_0) [/mm] , d.h. y~x [mm] \forall x,x_0,y \in [/mm] M
transitiv: x~y [mm] \gdw g(x,x_0) [/mm] = [mm] g(y,x_0) [/mm]
und y~z [mm] \gdw g(y,x_0) [/mm] = [mm] g(z;x_0)
[/mm]
Damit: [mm] \Rightarrow g(x,x_0)=g(z,x_0) \gdw [/mm] x~z [mm] \forall x,x_0,y \in [/mm] M
Ist das so richtig? Oder sollte man das besser anders notieren?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 Di 23.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Alles O.K.
FRED
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