Äquivalenz, Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:36 Sa 23.10.2004 | | Autor: | kleines-sax |
Hallo,
ich bin zufällig auf folgende aufgabe gestoßen.
Es sein X,Y nichtleere Mengen und [mm] \varepsilon: \to [/mm] Y eine Abbildung. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
1) [mm] \varepsilon [/mm] ist injektiv
2) Für alle Teilmengen A [mm] \subseteq [/mm] X ist [mm] \varepsilon^-{1}( \varepsilon(A))=A.
[/mm]
3) Für alle Teilmengen A,B [mm] \subseteq [/mm] X ist [mm] \varepsilon(A \cap [/mm] B)= [mm] \varepsilon(A) \cap \varepsilon(B)
[/mm]
Mein Ansatz der mir nicht wirklich weiterhilft:
[mm] \varepsilon [/mm] ist injektiv wenn aus [mm] \varepsilon(x1)= \varepsilon(x2) [/mm] stets (x1)=(x2) folgt.
1) ist Voraussetzung für 2)
Wenn A [mm] \subseteq [/mm] X ist, ist x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] X
Inverse bedeutet das [mm] \varepsilon^{-1}: [/mm] Y [mm] \to [/mm] X
aber wie kann ich das denn jetzt auf die aufgabe anwenden, ich hab das noch nicht ganz verstanden. Vielleicht könnt ihr mir ja ein bisschen weiterhelfen. Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
lg kleines-sax
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Sei [mm] \varepsilon [/mm] : X [mm] \to [/mm] Y
[mm] \varepsilon^{-1} [/mm] Ist nicht die Umkehrfunktion von [mm] \varepsilon, [/mm] denn eine injektive Funktion ist im Allgemeinen nicht invertierbar. Viel mehr ist mit [mm] \varepsilon(M)^{-1} [/mm] das Urbild von M [mm] \subseteq [/mm] Y gemeint:
[mm] \varepsilon(M)^{-1} [/mm] := { x [mm] \in [/mm] X | [mm] \varepsilon(x) \in [/mm] M}
Es reicht nun zu zeigen, dass [mm] \varepsilon^{-1}(\varepsilon(A)) \subseteq [/mm] A und umgekehrt, falls [mm] \varepsilon [/mm] injektiv ist.
Wenn [mm] \varepsilon [/mm] injektiv ist gibt es aber zu jedem y [mm] \in \varepsilon(A) [/mm] höchstens ein Urbild, woraus die inklusion [mm] \varepsilon^{-1}(\varepsilon(A)) \subseteq [/mm] A folgt.
Beim "zurückholen" von [mm] \varepsilon(A) [/mm] durch [mm] \varepsilon^{-1} [/mm] könnte es höchstens passieren, dass es zu irgend einem Element kein Urbild gibt, weil surjektivität nicht gefordert ist. Diese Elemente werden aber gerade ausgeschlossen, weil wir [mm] \varepsilon^{-1} [/mm] ja nur auf Elemente anwenden, die im Bild von [mm] \varepsilon [/mm] liegen, also muss A [mm] \subseteq \varepsilon^{-1}(\varepsilon(A))
[/mm]
[mm] \Box [/mm]
(Das ist natürlich noch kein exakter Beweis, aber wenn man das formal hinschreibt steht der Beweis da. )
Andersherum sei jetzt [mm] \varepsilon^{-1}(\varepsilon(A)) [/mm] = A, und zwar sogar für alle A [mm] \subseteq [/mm] X
Nunja, nehmen wir doch einmal an [mm] \varepsilon [/mm] wäre nicht injektiv, speziell sollen a und b, ( beide [mm] \in [/mm] X natürlich) auf das gleiche Element y abgebildet werden. Dann nehmen wir uns die Menge A := {a} wenden [mm] \epsilon [/mm] darauf an, und erhalten y. Das Urbild von y ist aber gerade {a,b} [mm] \not= [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] Wiederspruch zur Vorrausstzung.
Also muss [mm] \varepsilon [/mm] injektiv sein.
Formales hinschreiben liefert wieder den zitierfähigen Beweis.
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