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| Aufgabe | [mm] c,d \in C [/mm]
zu zeigen:a) c+d und cd sind reel
b) c,d sind reel oder aber [mm] d= \bar c [/mm] |
Hallo, hier meinne Überlegungen
(c+d)= (a+bi)+(e+fi)=(a+e)+(b+f)i
=> [mm] (a+e) \in R [/mm] nun muss doch b+f = 0 sein, oder?
für (cd) muss ich doch mit der Konjugation von c rechnen, meine damit das [mm] \bar c = d [/mm] sein müsste?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
MfG
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Hallo delicious,
> [mm]c,d \in C[/mm]
> zu zeigen:a) c+d und cd sind reel
> b) c,d sind reel oder aber [mm]d= \bar c[/mm]
> Hallo,
> hier meinne Überlegungen
> (c+d)= (a+bi)+(e+fi)=(a+e)+(b+f)i
> => [mm](a+e) \in R[/mm] nun muss doch b+f = 0 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") sein, oder?
> für (cd) muss ich doch mit der Konjugation von c rechnen,
Nö, rechne einfach mal [mm] $c\cdot{}d=(a+bi)\cdot{}(e+fi)=..$ [/mm] aus, sortiere wieder nach Real- und Imaginärteil, dann dieselbe Überlegung wie oben:
Dieses Produkt soll reell sein, also muss der Imaginärteil des Produktes verschwinden, also =0 sein
Das gibt dir zusammen mit der ersten Bedindung ein Gleichungssystem, das es zu betrachten gilt...
> meine damit das [mm]\bar c = d[/mm] sein müsste?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> MfG
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:01 Sa 21.06.2008 | | Autor: | delicious |
danke, werde es gleich mal versuchen...
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nun habe ich auch bei c*d b und f gleich 0 gesetzt....
c+d= a+e
c*d= a*b
beim beweis der äquivalenz... wie komme ich da wieder auf b und f , also zur ausgangsgleichung?
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Hallo delicious,
> nun habe ich auch bei c*d b und f gleich 0 gesetzt....
> c+d= a+e
> c*d= a*b ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
> beim beweis der äquivalenz... wie komme ich da wieder auf
> b und f , also zur ausgangsgleichung?
die obigen Überlegungen waren ja erst einmal für die Beweisrichtung $a) \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ b)$
Mit $c=a+bi, d=e+fi$ ist nach Vor.
[mm] $c+d=(a+e)+i(b+f)\in\IR$ [/mm] und
[mm] $c\cdot{}d=(ae-bf)+i(af+be)\in\IR$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow b+f=0\wedge [/mm] af+be=0$ (die Imaginärteile müssen 0 sein)
[mm] $\Rightarrow \red{b=-f}\wedge af+\red{(-f)}e=0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow b=-f\wedge [/mm] f(a-e)=0$
Kommst du nun weiter? Ein Produkt ist genau dann Null, wenn (mind.) einer der Faktoren Null ist. Was ergibt sich also für $f$ und $a-b$ und schlussendlich für $c=a+bi$ und $d=e+fi$ ?
Für die Richtung $b) \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ a)$ ist mit $c=a+bi, d=e+fi$ die Vor:
[mm] $(c\in\IR\wedge d\in\IR)\vee d=\overline{c}$
[/mm]
Also [mm] $(c=a\wedge d=e)\vee [/mm] d=a-bi$
Nun betrachte mal für diese beiden Fälle die Summe $c+d$ und das Produkt [mm] $c\cdot{}d$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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