Äquivalenz Stetigkeitsdefinit. < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Äquivalenz der beiden Stetigkeitsdefinitionen:
[mm] $f:D\to\IR$ [/mm] in [mm] x_{0} [/mm] stetig
[mm] $\gdw [/mm] (i)$ Für alle [mm] $(x_{n})\subset [/mm] D$ mit [mm] $(x_{n})\to x_{0}$ \Rightarrow $f(x_{n})\to f(x_{0})$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] (ii) [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0 : [mm] \forall x\in [/mm] D: [mm] |x-x_{0}| [/mm] < [mm] \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] |
Hallo!
Ich versuche gerade, die Äquivalenz dieser Definitionen "möglichst einfach" zu zeigen. Die Richtung von (ii) zu (i) ist mir glaube ich schon gelungen:
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Es gelte (ii), und es sei [mm] $(x_{n})\subset [/mm] D$ mit [mm] $(x_{n})\to x_{0}$.
[/mm]
Zu zeigen: [mm] $f(x_{n})\to f(x_{0})$.
[/mm]
Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ beliebig. Dann existiert nach (ii) [mm] $\delta [/mm] > 0$ so, dass [mm] $\forall x\in [/mm] D: [mm] |x-x_{0}| [/mm] < [mm] \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})| [/mm] < [mm] \varepsilon$. [/mm] Wegen [mm] $(x_{n})\to x_{0}$ [/mm] existiert [mm] $N\in\IN:\forall [/mm] n > [mm] N:|x_{n}-x_{0}| [/mm] < [mm] \delta$. [/mm] Da [mm] $x_{n}\in [/mm] D$, folgt daraus mit (ii) für alle $n > N$: [mm] $|f(x_{n})-f(x_{0})| [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Okay?
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Bei der Richtung (i) zu (ii) tu' ich mich wesentlich schwerer:
Es gelte (i).
Zu zeigen: [mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0 : [mm] \forall x\in [/mm] D: [mm] |x-x_{0}| [/mm] < [mm] \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})| [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ beliebig. Ich muss nun ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ konstruieren, dafür habe ich die tolle Implikation:
[mm] $\forall \varepsilon_{1} [/mm] > 0 [mm] \exists N_{1}\in \IN: \forall [/mm] n > [mm] N_{1}: |x_{n}-x_{0}| [/mm] < [mm] \varepsilon_{1}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \forall \varepsilon_{2} [/mm] > 0 [mm] \exists N_{2}\in \IN: \forall [/mm] n > [mm] N_{2}: |f(x_{n})-f(x_{0})| [/mm] < [mm] \varepsilon_{2}$
[/mm]
Wie muss ich jetzt weiter vorgehen? Wie komme ich an das [mm] \delta [/mm] ?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:13 Do 04.03.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Stefan,
> Es gelte (ii), und es sei [mm](x_{n})\subset D[/mm] mit [mm](x_{n})\to x_{0}[/mm].
>
> Zu zeigen: [mm]f(x_{n})\to f(x_{0})[/mm].
>
> Sei [mm]\varepsilon > 0[/mm] beliebig. Dann existiert nach (ii)
> [mm]\delta > 0[/mm] so, dass [mm]\forall x\in D: |x-x_{0}| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})| < \varepsilon[/mm].
> Wegen [mm](x_{n})\to x_{0}[/mm] existiert [mm]N\in\IN:\forall n > N:|x_{n}-x_{0}| < \delta[/mm].
> Da [mm]x_{n}\in D[/mm], folgt daraus mit (ii) für alle [mm]n > N[/mm]:
> [mm]|f(x_{n})-f(x_{0})| < \varepsilon[/mm].
>
> Okay?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Es gelte (i).
> Zu zeigen: [mm]\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 : \forall x\in D: |x-x_{0}| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})| < \varepsilon[/mm]
>
> Sei [mm]\varepsilon > 0[/mm] beliebig. Ich muss nun ein [mm]\delta > 0[/mm]
> konstruieren, dafür habe ich die tolle Implikation:
>
> [mm]\forall \varepsilon_{1} > 0 \exists N_{1}\in \IN: \forall n > N_{1}: |x_{n}-x_{0}| < \varepsilon_{1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \forall \varepsilon_{2} > 0 \exists N_{2}\in \IN: \forall n > N_{2}: |f(x_{n})-f(x_{0})| < \varepsilon_{2}[/mm]
(für alle Folgen [mm] $(x_n)_{n\in\IN}\subset [/mm] D$)
> Wie muss ich jetzt weiter vorgehen? Wie komme ich an das
> [mm]\delta[/mm] ?
Indirekt: Nimm an, es gäbe kein [mm] $\delta>0$ [/mm] mit
(*) [mm] $\forall x\in [/mm] D: [mm] |x-x_{0}| [/mm] < [mm] \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] .
Insbesondere gilt für beliebiges [mm] $n\in\IN$ [/mm] die Bedingung (*) nicht für [mm] $\delta=\bruch1n$, [/mm] d.h. ...
Konstruiere damit eine Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}\subset [/mm] D$, die der Bedingung (i) widerspricht.
Viele Grüße
Tobias
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Hallo Tobias,
danke für deine Antwort!
> > Es gelte (i).
> > Zu zeigen: [mm]\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 : \forall x\in D: |x-x_{0}| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})| < \varepsilon[/mm]
>
> >
> > Sei [mm]\varepsilon > 0[/mm] beliebig. Ich muss nun ein [mm]\delta > 0[/mm]
> > konstruieren, dafür habe ich die tolle Implikation:
> >
> > [mm]\forall \varepsilon_{1} > 0 \exists N_{1}\in \IN: \forall n > N_{1}: |x_{n}-x_{0}| < \varepsilon_{1}[/mm]
>
> >
> > [mm]\Rightarrow \forall \varepsilon_{2} > 0 \exists N_{2}\in \IN: \forall n > N_{2}: |f(x_{n})-f(x_{0})| < \varepsilon_{2}[/mm]
>
> (für alle Folgen [mm](x_n)_{n\in\IN}\subset D[/mm])
>
> > Wie muss ich jetzt weiter vorgehen? Wie komme ich an das
> > [mm]\delta[/mm] ?
> Indirekt: Nimm an, es gäbe kein [mm]\delta>0[/mm] mit
> (*) [mm]\forall x\in D: |x-x_{0}| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})| < \varepsilon[/mm]
> .
> Insbesondere gilt für beliebiges [mm]n\in\IN[/mm] die Bedingung
> (*) nicht für [mm]\delta=\bruch{1}{n}[/mm], d.h. ...
> Konstruiere damit eine Folge [mm](x_n)_{n\in\IN}\subset D[/mm], die
> der Bedingung (i) widerspricht.
Mein erstes Problem ist, so eine Folge zu konstruieren.
Da ich überhaupt nicht weiß, wie $D$ eigentlich aussieht, bekomme ich doch gar keinen "Zugriff" auf bestimmte Zahlen?
Meine Idee wäre so etwas wie [mm] $x_{n} [/mm] = [mm] x_{0} [/mm] + [mm] \frac{1}{2*n}$ [/mm] gewesen, dann würde gelten: [mm] $|x_{n}-x_{0}| [/mm] = [mm] \frac{1}{2*n} [/mm] < [mm] \frac{1}{n} [/mm] = [mm] \delta$ [/mm] für jedes [mm] n\in\IN. [/mm] Aber ich kann doch gar keine solche Folge konstruieren.
Also muss es anders gehen. Wahrscheinlich komme ich gar nicht explizit zu einer Folge, sondern nur so theoretisch?
Also so ungefähr:
Es gelte (i), und (ii) nicht. Dann gibt es ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ so, dass für alle [mm] $\delta [/mm] > 0$ die Aussage
[mm] $\forall x\in [/mm] D: [mm] |x-x_{0}| [/mm] < [mm] \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})| [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
nicht gilt.
Für jedes [mm] n\in\IN [/mm] wähle ein [mm] $x_{n}\in [/mm] D$, so dass [mm] $|x_{n}-x_{0}| [/mm] < [mm] \frac{1}{n} [/mm] = [mm] \delta$. [/mm] Das ist immer möglich, weil ja auch [mm] $x_{n} [/mm] = [mm] x_{0}$ [/mm] gewählt werden kann, sollte es sich bei [mm] x_{0} [/mm] um einen isolierten Punkt handeln.
Nach Voraussetzung gilt aber für dieses [mm] $x_{n}\in [/mm] D$ sicher nicht [mm] $|f(x_{n})-f(x_{0})| [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Nach dieser Konstruktion gilt also für kein [mm] $n\in\IN$ [/mm] die Ungleichung [mm] $|f(x_{n})-f(x_{0})| [/mm] < [mm] \varepsilon$. [/mm] (*)
Durch die Konstruktion erhalten wir eine Folge [mm] $(x_{n})_{n\in\IN}\subset [/mm] D$, für die gilt: [mm] $(x_{n})\to x_{0}$.
[/mm]
Daraus folgt nach Voraussetzung [mm] $f(x_{n}) \to f(x_{0})$.
[/mm]
Für ein vorgegebenes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ finde ich nun ein [mm] $N\in\IN$, [/mm] so dass [mm] $|f(x_{n})-f(x_{0})| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle $n > N$.
Das ist ein Widerspruch zu (*).
Stimmt das so?
Danke!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:53 Do 04.03.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Stefan,
> Es gelte (i), und (ii) nicht. Dann gibt es ein [mm]\varepsilon > 0[/mm]
> so, dass für alle [mm]\delta > 0[/mm] die Aussage
> [mm]\forall x\in D: |x-x_{0}| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})| < \varepsilon[/mm]
>
> nicht gilt.
>
> Für jedes [mm]n\in\IN[/mm] wähle ein [mm]x_{n}\in D[/mm], so dass
> [mm]|x_{n}-x_{0}| < \frac{1}{n} = \delta[/mm]. Das ist immer
> möglich, weil ja auch [mm]x_{n} = x_{0}[/mm] gewählt werden kann,
> sollte es sich bei [mm]x_{0}[/mm] um einen isolierten Punkt
> handeln.
>
> Nach Voraussetzung gilt aber für dieses [mm]x_{n}\in D[/mm] sicher
> nicht [mm]|f(x_{n})-f(x_{0})| < \varepsilon[/mm].
Unsere Widerspruchsannahme liefert NICHT, dass [mm]|f(x_{n})-f(x_{0})| < \varepsilon[/mm] für ALLE [mm]x_{n}\in D[/mm] mit [mm]|x_{n}-x_{0}| < \frac{1}{n} = \delta[/mm] verletzt ist (z.B. für [mm]x_{n} = x_{0}[/mm] ist das sicherlich nicht der Fall).
Die Widerspruchsannahme liefert aber, dass ein [mm]x_{n}\in D[/mm] mit [mm]|x_{n}-x_{0}| < \frac{1}{n} = \delta[/mm], so dass [mm]|f(x_{n})-f(x_{0})| < \varepsilon[/mm] verletzt ist, existiert.
Ein solches [mm] $x_n$ [/mm] wollen wir wählen.
Dann geht der weitere Beweis genauso wie von dir formuliert:
> Nach dieser
> Konstruktion gilt also für kein [mm]n\in\IN[/mm] die Ungleichung
> [mm]|f(x_{n})-f(x_{0})| < \varepsilon[/mm]. (*)
>
> Durch die Konstruktion erhalten wir eine Folge
> [mm](x_{n})_{n\in\IN}\subset D[/mm], für die gilt: [mm](x_{n})\to x_{0}[/mm].
>
> Daraus folgt nach Voraussetzung [mm]f(x_{n}) \to f(x_{0})[/mm].
>
> Für ein vorgegebenes [mm]\varepsilon > 0[/mm] finde ich nun ein
> [mm]N\in\IN[/mm], so dass [mm]|f(x_{n})-f(x_{0})| < \varepsilon[/mm] für
> alle [mm]n > N[/mm].
>
> Das ist ein Widerspruch zu (*).
Viele Grüße
Tobias
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Hallo Tobias,
danke für deine Antwort!
Die Beweise habe ich nun verstanden.
Nun habe ich mir versucht, den "Vorgang" im Beweis graphisch zu veranschaulichen. Das ging beim ersten Beweis, also von Epsilon-Delta zur Folgenstetigkeit ganz gut.
Bei dem zweiten habe ich allerdings meine Probleme. Das Problem ist ja gewissermaßen, dass ich annehme, die eine Stetigkeitsdefinition gilt, und die andere nicht.
Wenn ich annehme, die Folgenstetigkeit gilt, und die Epsilon-Delta-Stetigkeit gilt bei [mm] x_{0} [/mm] nicht, gäbe es also irgendeinen "Abstand" [mm] \varepsilon, [/mm] so dass egal wie klein ich den Bereich [mm] |x-x_{0}|< \delta [/mm] wähle, es gibt immer ein Argument x in diesem Bereich, dessen Funktionswert einen größeren Abstand als [mm] \varepsilon [/mm] zu [mm] f(x_{0}) [/mm] hätte.
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Anschaulich sähe das so aus, wenn ich eine stetige Funktion als Basis nehme:
(Die blauen Punkte sollen Unstetigkeitsstellen (also die Funktionswerte von f an diesen Stellen) sein)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Nun empfinde ich dieses Bild aber eher verwirrend. Es suggeriert ja gar nicht, dass f notwendigerweise in [mm] x_0 [/mm] selbst unstetig ist, sondern nur "überall anders". Woran liegt das?
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Wenn ich eine unstetige Funktion als Basis nehme (was dem Widerspruchsbeweis eigentlich näher kommt, weil ich ja letztendlich zeige, dass dann auch die andere Stetigkeitsdefinition falsch ist):
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dann sieht das ja viel intuitiver aus. Dann ist auch klar, warum man gerade diese Folge der [mm] x_n [/mm] wählt, weil die Funktion eben nur rechtsseitig stetig ist.
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Noch eine kleine Frage, die sich mir beim Erstellen der Bilder aufgedrängt hat: Man sagt immer als Negation: "Es gibt ein Epsilon, für das das alles nicht funktioniert." Aber ist es nicht meistens so, dass ab diesem Epsilon sowieso nichts mehr funktioniert (also das alle kleineren Epsilon die Aussage auch nicht erfüllen)?
Ich weiß, dass das natürlich falsch ist, aber wie sieht so eine Funktion aus, für die es nur bei "ausgewählten" Epsilon nicht funkioniert und nicht bei so vielen?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 Fr 05.03.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Nun habe ich mir versucht, den "Vorgang" im Beweis
> graphisch zu veranschaulichen. Das ging beim ersten Beweis,
> also von Epsilon-Delta zur Folgenstetigkeit ganz gut.
>
> Bei dem zweiten habe ich allerdings meine Probleme. Das
> Problem ist ja gewissermaßen, dass ich annehme, die eine
> Stetigkeitsdefinition gilt, und die andere nicht.
Im Grunde genügt es anzunehmen, dass das Epsilon-Delta-Kriterium verletzt ist. Unter dieser Annahme konstruiert man dann eine Folge, die zeigt, dass die Folgenstetigkeit auch verletzt ist.
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Nun empfinde ich dieses Bild aber eher verwirrend. Es
> suggeriert ja gar nicht, dass f notwendigerweise in [mm]x_0[/mm]
> selbst unstetig ist, sondern nur "überall anders". Woran
> liegt das?
Ich würde sagen daran, dass du nur endlich viele blaue Punkte eingezeichnet hast und somit nicht in jeder [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] von [mm] $x_0$ [/mm] Stellen des Graphen außerhalb des [mm] $\varepsilon$-Schlauchs [/mm] liegen. Nimm doch einfach das zweite Bild!
> Noch eine kleine Frage, die sich mir beim Erstellen der
> Bilder aufgedrängt hat: Man sagt immer als Negation: "Es
> gibt ein Epsilon, für das das alles nicht funktioniert."
> Aber ist es nicht meistens so, dass ab diesem Epsilon
> sowieso nichts mehr funktioniert (also das alle kleineren
> Epsilon die Aussage auch nicht erfüllen)?
Das ist sogar nicht nur meistens, sondern immer so. Würde alles für ein kleineres Epsilon wieder funktionieren, so könnte man das Delta, das es für dieses kleinere Epsilon tut, auch für das ursprüngliche Epsilon nehmen, so dass alles auch schon für das ursprüngliche Epsilon funktioniert hätte.
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Hallo Tobias,
danke für deine Antwort.
Ich denke, jetzt kann ich erstmal mit der Stetigkeit abschließen 
Grüße,
Stefan
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