Äquivalenz: affine Unterräume < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:16 Do 26.06.2014 | | Autor: | Seta |
| Aufgabe | Seien [mm] F_1 [/mm] und [mm] F_2 [/mm] affine Unterräume von E über dem K-VR V mit [mm] F_1= P_1+W_1 [/mm] und [mm] F_2=P_2+W_2. P_1,P_2 \in [/mm] E und [mm] W_1,W_2 \in [/mm] V UVRs.
Beweisen Sie die Äquivalenz:
1) [mm] F_1 [/mm] = [mm] F_2
[/mm]
2) [mm] P_2 \in F_1 [/mm] und [mm] W_1=W_2
[/mm]
3) [mm] P_1 \in F_2 [/mm] und [mm] W_1 [/mm] = [mm] W_2 [/mm] |
Ich muss den Satz beweisen, stehe aber völlig auf dem Schlauch. Mein Ansatz:
1) zu 2)
Ich wäre über [mm] W_1+P_1=W_2+P_2 [/mm] rangegangen: [mm] \Rightarrow \vec v+P_1=O+P_2, [/mm] da der Nullvektor ein Vektor aus [mm] W_2 [/mm] ist und [mm] \vec [/mm] v [mm] \in W_1 \Rightarrow P_2 \in F_1 \Rightarrow W_1+P_2 [/mm] = [mm] W_2+P_2 \Rightarrow W_1=W_2
[/mm]
2) zu 3)
Vielleicht geht es über [mm] F_1= W_1+P_1 [/mm] und [mm] F_2 [/mm] = [mm] W_2+P_1, [/mm] aber da habe ich noch keine gute Idee.
3) zu 1)
[mm] F_1=W_1+P_1=W_2+P_1=F_2
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:06 Fr 27.06.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Seta,
nur mal kurz:
> Seien [mm]F_1[/mm] und [mm]F_2[/mm] affine Unterräume von E über dem K-VR V
> mit [mm]F_1= P_1+W_1[/mm] und [mm]F_2=P_2+W_2. P_1,P_2 \in[/mm] E und [mm]W_1,W_2 \in[/mm]
> V UVRs.
> Beweisen Sie die Äquivalenz:
> 1) [mm]F_1[/mm] = [mm]F_2[/mm]
> 2) [mm]P_2 \in F_1[/mm] und [mm]W_1=W_2[/mm]
> 3) [mm]P_1 \in F_2[/mm] und [mm]W_1[/mm] = [mm]W_2[/mm]
Du brauchst hier nur die Äquivalenz 1) [mm] $\gdw$ [/mm] 2) zu beweisen. Die Äquivalenz
2) [mm] $\gdw$ [/mm] 3) ist doch trivial, da tauschen nur
[mm] $F_1$ $\leftrightarrow$ $F_2$
$P_1$ $\leftrightarrow$ $P_2$
$W_1$ $\leftrightarrow$ $W_2$
die Rollen (noch kürzer kann man auch sagen: Die Indizes
$1$ $\leftrightarrow$ $2$
werden vertauscht.)
Vielleicht schreibst Du 3) mal so:
3) [/mm] [mm]P_1 \in F_2[/mm] und [mm]W_\red{2}[/mm] = [mm]W_\red{1}[/mm]
(trivial, oder?)
damit Du das (besser) siehst?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:11 Fr 27.06.2014 | | Autor: | Marcel |
P.S. Zum Rest später vielleicht mehr, falls sich bis dahin niemand der Frage
angenommen hat - momentan habe ich dazu nicht genug Zeit.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:58 Fr 27.06.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Machen wir mal [mm] $1\Rightarrow [/mm] 2$.
Den ersten Teil hast du richtig, aber ich schreibe ihn nochmal mit etwas mehr Text auf.
Sei [mm] W_1+P_1=W_2+P_2. [/mm] Nun gilt [mm] $P_2=0+P_2 \in W_2+P_2=W_1+P_1=F_1$.
[/mm]
Nun willst du noch [mm] $W_1=W_2$ [/mm] zeigen. Dazu kannst du [mm] $W_1\subseteq W_2$ [/mm] und [mm] $W_2\subseteq W_1$ [/mm] zeigen. Ich zeige dir mal, wie man ersteres angehen kann.
Sei [mm] $w_1\in W_1$. [/mm] Zu zeigen: [mm] $w_1\in W_2$.
[/mm]
Du weißt schon, dass [mm] $P_2\in W_1+P_1$, [/mm] also gibt es ein [mm] $w_1'\in W_1$ [/mm] mit [mm] $P_2=w_1'+P_1$. [/mm] Wegen [mm] $w_1+P_1\in W_1+P_1=W_2+P_2$ [/mm] weißt du außerdem, dass es ein [mm] $w_2\in W_2$ [/mm] mit [mm] $w_1+P_1=w_2+P_2$ [/mm] gibt.
Insgesamt folgt:
[mm] $w_1+P_1=w_2+P_2=(w_2+w_1')+P_1 \gdw w_1=w_2+w_1'$. [/mm] Das ist leider nicht genau das, was wir haben wollten, weil wir ja nicht wissen, ob immer [mm] $w_2+w_1'\in W_2$ [/mm] gilt. Das Problem kann man lösen, indem man links nicht mit [mm] w_1 [/mm] anfängt, sondern mit [mm] w_1+w_1'.
[/mm]
Es gibt also ein [mm] $w_2'\in W_2$ [/mm] mit
[mm] $(w_1+w_1')+P_1=w_2'+P_2$, [/mm] also folgt [mm] $w_1+w_1'+P_1=w_2'+w_1'+P_2 \gdw w_1=w_2'\in W_2$, [/mm] also [mm] $w_1\in W_2$.
[/mm]
Ich hoffe das hat dich nicht zu sehr verwirrt!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:27 Fr 27.06.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Teufel,
> Hi!
>
> Machen wir mal [mm]1\Rightarrow 2[/mm].
>
> Den ersten Teil hast du richtig, aber ich schreibe ihn
> nochmal mit etwas mehr Text auf.
>
> Sei [mm]W_1+P_1=W_2+P_2.[/mm] Nun gilt [mm]P_2=0+P_2 \in W_2+P_2=W_1+P_1=F_1[/mm].
>
> Nun willst du noch [mm]W_1=W_2[/mm] zeigen. Dazu kannst du
> [mm]W_1\subseteq W_2[/mm] und [mm]W_2\subseteq W_1[/mm] zeigen. Ich zeige dir
> mal, wie man ersteres angehen kann.
auch hier möchte ich mal ergänzen (auch, wenn es durchaus erstmal
sinnvoll ist, beide Teilmengenbeziehungen ausführlich zu beweisen):
Da wird sich auch eine gewisse "Symmetrie" im Beweis ergeben. Soll
heißen:
Wenn [mm] $W_1 \subseteq W_2$ [/mm] gezeigt ist, geht der Beweis zu [mm] $W_2 \subseteq W_1$ [/mm] absolut
analog - das erkennt man spätestens dann, wenn man ihn aufschreibt und
sieht, dass überall nur die Rollen von [mm] $W_1$ [/mm] und [mm] $W_2$ [/mm] vertauscht sind.
(Allerdings auch mit "Unterelementen" - eventuell sollte man auch da dann
Bezeichnungen anpassen...)
Meistens ist das "Erkennen" von "sowas" am Ende des Beweises kein Problem. Man
sollte sich nur manchmal halt schon vorher fragen:
Habe ich nicht genau die gleichen Voraussetzungen und genau die gleiche
Aussage bei diesem Teil des Beweises, den ich an anderer Stelle schon
komplett durchgeführt habe, nur mit anderen Bezeichnungen?
Beispiel:
Für Unterräume [mm] $U,W\,$ [/mm] eines [mm] $K\,$-Vektorraums $V\,$ [/mm] gilt:
$U [mm] \cup [/mm] W$ ist genau dann Unterraum von [mm] $V\,,$ [/mm] wenn $U [mm] \subseteq [/mm] W$ oder $W [mm] \subseteq [/mm] U$ gilt.
Bei [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] hat man dann 'eigentlich' erstmal zwei Dinge, unter der
Voraussetzung, dass $U [mm] \cup [/mm] W$ Unterraum ist, zu zeigen:
1. Es gilt $U [mm] \subseteq W\,.$
[/mm]
oder
2. Es gilt $W [mm] \subseteq U\,.$
[/mm]
(Besser formuliert: Es ist zu zeigen, dass eine der beiden Aussagen 1. oder(!)
2. gültig ist.)
Wenn man jetzt den Beweis anfängt - obwohl das vielleicht ungünstig ist -
etwa mit:
"Nehmen wir zunächst an, dass 1. falsch ist und wir zeigen, dass 2. dann
wahr ist..."
sollte man wegen $U [mm] \cup [/mm] W=W [mm] \cup [/mm] U$ erkennen, dass dabei der 'andere Beweisteil':
"Nun nehmen wir an, dass 2. falsch ist und wollen zeigen, dass 1. dann
wahr ist..."
genau der gleiche wie der zu 1. sein wird, wenn man dort überall, wo in 1.
[mm] $U\,$ [/mm] steht, halt [mm] $W\,$ [/mm] schreibt und umgekehrt.
Deswegen auch mal generell der Hinweis, dass man bei manchen "Aufgaben"
einfach mal guckt: "Sind Aussagen nicht 'gleich bis auf gewisse Rollenwechsel'...".
Zumindest im Laufe der Zeit sollte man ein Auge bzw. Gespühr dafür
bekommen - denn Übung macht den Meister. 
P.S. Ganz günstig ist das Beispiel nicht, denn
$A [mm] \vee [/mm] B$
ist äquivalent zu
[mm] $\neg [/mm] A$ [mm] $\Rightarrow$ $B\,.$
[/mm]
Das heißt, obigen Beweis könnte man auch so aufziehen:
(Wenn 1. gilt, ist nichts zu zeigen.) Angenommen, 1. ist falsch. Dann ist
nun nur noch zu beweisen, dass 2. wahr sein muss...
(Das heißt, in dem von mir aufgeführten Beispiel hätte ich den Beweis eh
schon "overdosed" aufgezogen!)
Gruß,
Marcel
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