Äquivalenz best. M. nachweisen < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 So 02.11.2014 | | Autor: | Ceriana |
| Aufgabe | Zeige, dass für beliebige Mengen A und B stets folgende Äquivalenz gilt:
A [mm] \cup [/mm] B = B [mm] \gdw [/mm] A [mm] \subset [/mm] A [mm] \cap [/mm] B |
Hallo,
die Mengenlehre macht mir gerade etwas zu schaffen. Meine Überlegungen zu der Aufgabe oben waren wie folgt:
Wenn A vereinigt mit B wieder B ergibt, dann muss A eine Teilmenge von B sein. Auf der rechten Seite steht nun dass A eine Teilmenge des Schnittes von A und B ist. Da A aber eine Teilmenge von B ist, ist der Schnitt wieder A, und A ist logischerweise eine (echte) Teilmenge von sich selbst.
Dann sieht die Äquivalenz also so aus:
A [mm] \subset [/mm] B [mm] \gdw [/mm] A
Bin ich damit nun schon am Ende des Zeigens, oder habe ich da einen Fehler gemacht? Wie gesagt, ich weiß nicht wirklich wie ich sowas zeigen soll, und ob ich die umgeformte Äquivalenz so stehen lassen kann.
Vielen Dank,
Ceriana
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 So 02.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Zeige, dass für beliebige Mengen A und B stets folgende
> Äquivalenz gilt:
>
> A [mm]\cup[/mm] B = B [mm]\gdw[/mm] A [mm]\subset[/mm] A [mm]\cap[/mm] B
> Hallo,
>
> die Mengenlehre macht mir gerade etwas zu schaffen. Meine
> Überlegungen zu der Aufgabe oben waren wie folgt:
>
> Wenn A vereinigt mit B wieder B ergibt, dann muss A eine
> Teilmenge von B sein. Auf der rechten Seite steht nun dass
> A eine Teilmenge des Schnittes von A und B ist. Da A aber
> eine Teilmenge von B ist, ist der Schnitt wieder A, und A
> ist logischerweise eine (echte) Teilmenge von sich selbst.
>
> Dann sieht die Äquivalenz also so aus:
>
> A [mm]\subset[/mm] B [mm]\gdw[/mm] A
>
> Bin ich damit nun schon am Ende des Zeigens, oder habe ich
> da einen Fehler gemacht? Wie gesagt, ich weiß nicht
> wirklich wie ich sowas zeigen soll, und ob ich die
> umgeformte Äquivalenz so stehen lassen kann.
ich sehe da keinen wirklichen Beweis.
Beweisstrategie:
[mm] "$\Rightarrow$" [/mm] Vorausgesetzt wird hier, dass
[mm] ($\*$) [/mm] $A [mm] \cup B=B\,$
[/mm]
gilt.
Zu zeigen ist nun:
Damit folgt
$A [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cap B)\,.$
[/mm]
Wir haben also zu zeigen: Wenn [mm] ($\*$) [/mm] wahr ist, dann gilt für jedes $x [mm] \in [/mm] A$ schon
$x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap B\,.$
[/mm]
Sei also $x [mm] \in A\,$ [/mm] beliebig, aber fest (ansonsten nicht weiter spezifiziert!). Um
$x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$
einzusehen, müssen wir, weil wir schon $x [mm] \in [/mm] A$ haben, nur noch $x [mm] \in [/mm] B$ nachweisen.
Wegen $A [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$ (warum gilt das?) wissen wir aber
$x [mm] \in [/mm] A$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup B)\,.$
[/mm]
Jetzt benutze [mm] ($\*$), [/mm] und heraus kommt...?
Für Dich:
Bei der [mm] $\iff$-Aussage [/mm] haben wir dann [mm] $\Longrightarrow$ [/mm] bewiesen. Wie sieht denn
[mm] $\Longleftarrow$ [/mm] aus (formuliere, was dort die Voraussetzungen sind, und was es
unter diesen Voraussetzungen zu beweisen gilt). Probiere Dich mal an diesem
verbleibenden Beweisteil!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 So 02.11.2014 | | Autor: | Ceriana |
Danke für deine Antwort.
Ich konnte dir glücklicherweise folgen, zumindest bis
> Wegen [mm]A \subseteq (A \cup B)[/mm] (warum gilt das?) wissen wir
> aber
>
> [mm]x \in A[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]x \in (A \cup B)\,.[/mm]
>
> Jetzt benutze ([mm]\*[/mm]), und heraus kommt...?
Ab da komme ich nicht mehr mit.
Wieso sprichst du da von einer Vereinigung, wenn es in dem Teil doch um den Schnitt geht? Wie ich da unsere Aussage ([mm]\x[/mm]) einbringen kann verstehe ich auch nicht.
[mm]A \subseteq (A \cup B)[/mm] (warum gilt das?)
Frage am Rande: Hast du dich da vertan und statt [mm] \cap [/mm] ein [mm] \cup [/mm] gemacht?
Wenn nein, habe ich dort wohl auch einige Probleme dir zu folgen.
Das gilt, weil wir aus ([mm]\*[/mm]) wissen, dass A eine Teilmenge von B ist. Somit ist A [mm] \subset [/mm] A [mm] \cap [/mm] B.
Und noch eine Frage zur Notation: Du verwendest [mm] \subseteq, [/mm] ich [mm] \subset. [/mm] Ist das im Grunde egal?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 So 02.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für deine Antwort.
>
> Ich konnte dir glücklicherweise folgen, zumindest bis
>
> > Wegen [mm]A \subseteq (A \cup B)[/mm] (warum gilt das?) wissen wir
> > aber
> >
> > [mm]x \in A[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]x \in (A \cup B)\,.[/mm]
> >
> > Jetzt benutze ([mm]\*[/mm]), und heraus kommt...?
>
> Ab da komme ich nicht mehr mit.
>
> Wieso sprichst du da von einer Vereinigung, wenn es in dem
> Teil doch um den Schnitt geht? Wie ich da unsere Aussage
> ([mm]\x[/mm]) einbringen kann verstehe ich auch nicht.
>
> [mm]A \subseteq (A \cup B)[/mm] (warum gilt das?)
>
> Frage am Rande: Hast du dich da vertan und statt [mm]\cap[/mm] ein
> [mm]\cup[/mm] gemacht?
nein.
> Wenn nein, habe ich dort wohl auch einige Probleme dir zu folgen.
Wegen $A [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$ gilt für jedes $x [mm] \in [/mm] A$ auch $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup B\,.$ [/mm] Nach [mm] ($\*$)
[/mm]
gilt aber $A [mm] \cup [/mm] B=B$
(vielleicht siehst Du jetzt, warum ich $A [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$ benutzt habe - nämlich,
um [mm] ($\*$) [/mm] ins Spiel bringen zu können!), somit gilt:
Für jedes $x [mm] \in [/mm] A$ gilt $x [mm] \in A\cup [/mm] B$ und damit $x [mm] \in B\,.$ [/mm] Daher folgt:
Für jedes $x [mm] \in [/mm] A$ ist
$x [mm] \in [/mm] A$ und $x [mm] \in [/mm] B,$
also:
Für jedes $x [mm] \in [/mm] A$ ist $x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap B)\,.$
[/mm]
Da man dieses "Für jedes $x [mm] \in [/mm] A$" nicht immer ausschreiben will, sagt man lieber
zu Beginn:
"Sei $x [mm] \in [/mm] A$ beliebig, aber fest (ansonsten unspezifiziert). Dann..."
> Das gilt, weil wir aus ([mm]\*[/mm]) wissen, dass A eine Teilmenge
> von B ist.
[mm] ($\*$) [/mm] besagt nichts anderes als
$A [mm] \cup B=B\,.$ [/mm]
Dass daraus $A [mm] \subseteq [/mm] B$ folgt, streite ich gar nicht ab, aber das wäre eine
weitere, zu beweisende Aussage. Und die brauchen wir hier im Grunde
genommen nicht.
> Somit ist A [mm]\subset[/mm] A [mm]\cap[/mm] B.
>
> Und noch eine Frage zur Notation: Du verwendest [mm]\subseteq,[/mm]
> ich [mm]\subset.[/mm] Ist das im Grunde egal?
Das ist Definitionssache: Manche schreiben [mm] $\subset$ [/mm] halt für [mm] $\subsetneq\,,$
[/mm]
weil es eine Analogie zur Verwendung von [mm] $<\,$ [/mm] und [mm] $\le$ [/mm] ist. Ich schreibe
halt immer ganz deutlich [mm] $\subseteq$ [/mm] oder [mm] $\subsetneq$ [/mm] (oder für letzteres auch mal [mm] $\subsetneqq$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 So 02.11.2014 | | Autor: | Ceriana |
Danke, da bin ich irgendwo durcheinander gekommen, aber jetzt konnte ich folgen. Nun die andere Richtung:
Wir müssen beweisen, dass aus A [mm] \subset [/mm] A [mm] \cap [/mm] B unsere obige Aussage A [mm] \cup [/mm] B = B folgt.
Das heißt [mm] \forall{x} \in [/mm] A : x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] B.
Es muss also der Nachweis her, dass x [mm] \in [/mm] B gilt. Aber ist das nicht überflüssig, da wir ja aus dem ersten Teil wissen, dass A [mm] \cup [/mm] B = B gilt, und B somit alle Elemente von A enthält?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 So 02.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke, da bin ich irgendwo durcheinander gekommen, aber
> jetzt konnte ich folgen. Nun die andere Richtung:
>
> Wir müssen beweisen, dass aus A [mm]\subset[/mm] A [mm]\cap[/mm] B unsere
> obige Aussage A [mm]\cup[/mm] B = B folgt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Das heißt [mm]\forall{x} \in[/mm] A : x [mm]\in[/mm] A und x [mm]\in[/mm] B.
Das ist die Voraussetzung!
> Es muss also der Nachweis her, dass x [mm]\in[/mm] B gilt.
Nein, es muss der Nachweis her:
Wenn
[mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A$ auch $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$
erfüllt ist, dann folgt:
$x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$ [mm] $\iff$ [/mm] $x [mm] \in B\,.$
[/mm]
Unten (siehe Mengengleichheit!) wirst Du das nochmal genauer erklärt
bekommen!
> Aber ist das nicht überflüssig, da wir ja aus dem ersten Teil
> wissen, dass A [mm]\cup[/mm] B = B gilt, und B somit alle Elemente
> von A enthält?
Dir ist die Beweisstruktur hier nicht klar!
Voraussetzung: Es gelte $A [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cap B)\,.$
[/mm]
Zu zeigen (Behauptung!): Unter dieser Voraussetzung gilt
$A [mm] \cup B=B\,.$
[/mm]
Wir zerlegen die Behauptung in zwei Teile:
[mm] $\alpha$) [/mm] Wir zeigen, dass unter der Voraussetzung
$A [mm] \cup [/mm] B$ [mm] $\subseteq$ [/mm] $B$
gilt. (Hier ist etwas zu tun, und ohne die Voraussetzung wird uns das
nicht gelungen!)
[mm] $\beta)$ [/mm] Wir zeigen (dass unter der Voraussetzung)
$B$ [mm] $\subseteq$ [/mm] $A [mm] \cup [/mm] B$
gilt. (Das ist quasi trivial, und das können wir auch ohne die Voraussetzung
beweisen.)
Wenn [mm] $\alpha)$ [/mm] und(!) [mm] $\beta)$ [/mm] als wahr erkannt werden, haben wir damit die
Behauptung bewiesen.
Der Grund: Für zwei Mengen [mm] $X,Y\,$ [/mm] gilt
[mm] $X=Y\,$ $\iff$ [/mm] ($X [mm] \subseteq [/mm] Y$ und(!) $Y [mm] \subseteq [/mm] X$).
(Wegen des obigen Hinweises: Anders gesagt:
[mm] $X=Y\,$ $\iff$ ($\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X$: $x [mm] \in [/mm] Y$ und(!) [mm] $\forall [/mm] y [mm] \in [/mm] Y:$ $y [mm] \in [/mm] X$)
bzw.
[mm] $X=Y\,$ $\iff$ $\forall [/mm] x:$ ($x [mm] \in [/mm] X$ [mm] $\iff$ [/mm] $x [mm] \in [/mm] Y$).)
Kommst Du damit nun zurecht?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:52 Di 04.11.2014 | | Autor: | Ceriana |
Hallo,
sorry dass ich mich jetzt erst melde.
Diese Beweisstrukturen verwirren mich noch sehr. Trotz Leistungskurs nie machen müssen, jetzt an der Uni fast nur sowas.
Wir haben die Aufgabe gestern im Tutorium gesprochen, und mit Hilfe deiner Antwort konnte ich das endlich nachvollziehen, danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:06 Di 04.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> sorry dass ich mich jetzt erst melde.
>
> Diese Beweisstrukturen verwirren mich noch sehr.
da hilft tatsächlich nur "nachvollziehen, üben, nachvollziehen, üben,
...". Quasi Learning by Nachdenken und doing. 
> Trotz Leistungskurs nie machen müssen, jetzt an der Uni fast nur
> sowas.
>
> Wir haben die Aufgabe gestern im Tutorium gesprochen, und
> mit Hilfe deiner Antwort konnte ich das endlich nachvollziehen, danke!
Das ist doch ein erster Erfolg. Gerne! 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:36 So 02.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
vielleicht doch mal zur Ergänzung:
$A [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$
ist trivial. Denn was ist zu zeigen?
Wenn wir (irgendein) $x [mm] \in [/mm] A$ hernehmen, so ist nachzuweisen, dass dann
$x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B$
gilt, d.h., dass
$x [mm] \in [/mm] A$ oder $x [mm] \in [/mm] B$
gilt.
Wir nehmen also (irgendein) $x [mm] \in [/mm] A$ her. Dann ist die Aussage
$x [mm] \in [/mm] A$ oder $x [mm] \in [/mm] B$
wahr, weil ja $x [mm] \in [/mm] A$ wahr ist. Und das ist auch schon alles.
Aus einem "Venn-Diagramm" ist das übrigens ersichtlich:
Vergleicht man $A [mm] \cup [/mm] B$ mit dem [mm] $A\,,$ [/mm] so sieht $A [mm] \cup [/mm] B$ als "aufgeblasenes [mm] $A\,$" [/mm] aus!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:48 So 02.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Dann sieht die Äquivalenz also so aus:
>
> A [mm]\subset[/mm] B [mm]\gdw[/mm] A
das macht übrigens überhaupt keinen Sinn, denn rechts steht gar keine Aussage!
Gruß,
Marcel
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