Äquivalenz dreier Normen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien
[mm]
\parallel f \parallel_1 := |f(0)| + \parallel f' \parallel_\infty
\parallel f \parallel_2 := max\{|\integral_{0}^{1}{f(t) dt}|, \parallel f' \parallel_\infty\}
\parallel f \parallel_3 := \parallel f \parallel_\infty + \parallel f' \parallel_\infty
[/mm]
Normen auf [mm]C^1[0,1][/mm].
Zeigen Sie, dass die Normen äquivalent sind und benutzen Sie dies, um die Vollständigkeit der zugehörigen normierten Räume zu zeigen. |
Hallo,
könnte mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?
Ich weiß, zwei Normen [mm]\parallel . \parallel_a , \parallel . \parallel_b[/mm] auf [mm]C^1[0,1][/mm] sind äquivalent, wenn zwei positive Konstanten [mm]c_1, c_2[/mm] existieren, sodass für alle [mm]f \in C^1[0,1][/mm] gilt:
[mm]
c_1\parallel f \parallel_a \le \parallel x \parallel_a \le c_2 \parallel x \parallel_b
[/mm]
Sei also [mm]f \in C^1[0,1][/mm], ich betrachte
[mm]
\parallel f \parallel_1 = |f(0)| + \parallel f' \parallel_\infty
[/mm]
habe mir nun überlegt, dass
[mm]|f(0)| \le \parallel f \parallel_\infty = \sup_{0 \le t \le 1}|f(t)|[/mm]
sein muss. Also ist
[mm]
\parallel f \parallel_1 = |f(0)| + \parallel f' \parallel_\infty \le \parallel f \parallel_\infty + \parallel f' \parallel_\infty = \parallel f \parallel_3
[/mm]
damit hätte ich [mm]\parallel f \parallel_1[/mm] nach oben hin durch [mm]\parallel f \parallel_3[/mm] abgeschätzt, d.h. [mm]c_2 = 1[/mm], doch die Abschätzung nach unten fehlt mir noch.
Auch mit den Abschätzungen von [mm]\parallel f \parallel_2[/mm] haperts noch ein bißchen. Muss ich da Fallunterscheidungen machen?
Vielen Dank im Voraus!
Gruß,
Gratwanderer
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:36 Di 17.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Seien
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> [mm]
\parallel f \parallel_1 := |f(0)| + \parallel f' \parallel_\infty
\parallel f \parallel_2 := max\{|\integral_{0}^{1}{f(t) dt}|, \parallel f' \parallel_\infty\}
\parallel f \parallel_3 := \parallel f \parallel_\infty + \parallel f' \parallel_\infty
[/mm]
>
> Normen auf [mm]C^1[0,1][/mm].
>
>
> Zeigen Sie, dass die Normen äquivalent sind und benutzen
> Sie dies, um die Vollständigkeit der zugehörigen
> normierten Räume zu zeigen.
> Hallo,
>
> könnte mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?
>
> Ich weiß, zwei Normen [mm]\parallel . \parallel_a , \parallel . \parallel_b[/mm]
> auf [mm]C^1[0,1][/mm] sind äquivalent, wenn zwei positive
> Konstanten [mm]c_1, c_2[/mm] existieren, sodass für alle [mm]f \in C^1[0,1][/mm]
> gilt:
>
> [mm]
c_1\parallel f \parallel_a \le \parallel x \parallel_a \le c_2 \parallel x \parallel_b
[/mm]
>
> Sei also [mm]f \in C^1[0,1][/mm], ich betrachte
>
> [mm]
\parallel f \parallel_1 = |f(0)| + \parallel f' \parallel_\infty
[/mm]
>
> habe mir nun überlegt, dass
> [mm]|f(0)| \le \parallel f \parallel_\infty = \sup_{0 \le t \le 1}|f(t)|[/mm]
>
> sein muss. Also ist
>
> [mm]
\parallel f \parallel_1 = |f(0)| + \parallel f' \parallel_\infty \le \parallel f \parallel_\infty + \parallel f' \parallel_\infty = \parallel f \parallel_3
[/mm]
>
> damit hätte ich [mm]\parallel f \parallel_1[/mm] nach oben hin
> durch [mm]\parallel f \parallel_3[/mm] abgeschätzt, d.h. [mm]c_2 = 1[/mm],
> doch die Abschätzung nach unten fehlt mir noch.
Sei x [mm] \in [/mm] [0,1]
Dann:
$ |f(x)|-|f(0)| [mm] \le [/mm] |f(x)-f(0)| =x*|f'(s)| $
mit einem s zwischen 0 und x (Mittelwertsatz ! )
Zeige damit:
$ [mm] ||f||_{\infty} \le |f(0)|+||f'||_{\infty}$
[/mm]
FRED
>
> Auch mit den Abschätzungen von [mm]\parallel f \parallel_2[/mm]
> haperts noch ein bißchen. Muss ich da Fallunterscheidungen
> machen?
>
> Vielen Dank im Voraus!
>
> Gruß,
> Gratwanderer
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> Sei x [mm]\in[/mm] [0,1]
>
> Dann:
>
> [mm]|f(x)|-|f(0)| \le |f(x)-f(0)| =x*|f'(s)|[/mm]
>
> mit einem s zwischen 0 und x (Mittelwertsatz ! )
>
>
> Zeige damit:
>
> [mm]||f||_{\infty} \le |f(0)|+||f'||_{\infty}[/mm]
>
Ok, also laut Mittelwertsatz gilt für (mind.) ein [mm]s \in [0,1][/mm]:
[mm]|f(x)| - |f(0)| \le x*|f'(s)|[/mm]
Das ist mir klar soweit. Das heißt
[mm]|f(x)| \le |f(0)| + x*|f'(s)| \le |f(0)| + x*||f'||_\infty \le |f(0)| + ||f'||_\infty[/mm]
Da [mm]x \in [0,1][/mm].
Dann weiß ich noch, dass [mm]|f(x)| \le ||f||_\infty[/mm]. Aber das bringt mich gerade nicht weiter *grübel*
Gruß,
Gratwanderer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 Di 17.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Sei x [mm]\in[/mm] [0,1]
> >
> > Dann:
> >
> > [mm]|f(x)|-|f(0)| \le |f(x)-f(0)| =x*|f'(s)|[/mm]
> >
> > mit einem s zwischen 0 und x (Mittelwertsatz ! )
> >
> >
> > Zeige damit:
> >
> > [mm]||f||_{\infty} \le |f(0)|+||f'||_{\infty}[/mm]
> >
>
> Ok, also laut Mittelwertsatz gilt für (mind.) ein [mm]s \in [0,1][/mm]:
>
> [mm]|f(x)| - |f(0)| \le x*|f'(s)|[/mm]
>
> Das ist mir klar soweit. Das heißt
>
> [mm]|f(x)| \le |f(0)| + x*|f'(s)| \le |f(0)| + x*||f'||_\infty \le |f(0)| + ||f'||_\infty[/mm]
>
> Da [mm]x \in [0,1][/mm].
>
> Dann weiß ich noch, dass [mm]|f(x)| \le ||f||_\infty[/mm]. Aber das
> bringt mich gerade nicht weiter *grübel*
Du hast es doch fast !
Wir haben also: |f(x)| [mm] \le [/mm] |f(0)| + [mm] ||f'||_\infty [/mm] für jedes (!) x [mm] \in [/mm] [0,1]
Es folgt: $ [mm] ||f||_{\infty} \le |f(0)|+||f'||_{\infty} [/mm] $
FRED
>
> Gruß,
> Gratwanderer
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> Du hast es doch fast !
>
> Wir haben also: |f(x)| [mm]\le[/mm] |f(0)| + [mm]||f'||_\infty[/mm] für
> jedes (!) x [mm]\in[/mm] [0,1]
>
> Es folgt: [mm]||f||_{\infty} \le |f(0)|+||f'||_{\infty}[/mm]
>
Klar, das macht natürlich Sinn :)
Habe mal weitergemacht und bin zu folgendem Ergebnis gekommen:
[mm]
||f||_2 = max\{|\integral_{0}^{1}{f(t) dt}|,||f'||_\infty\}
[/mm]
nach Mittelwertsatz der Integralrechnung (für ein [mm] \xi \in [/mm] [0,1])
[mm]
= max\{|f(\xi)|, ||f'||_\infty\} \le max\{||f||_\infty, ||f'||_\infty\}
[/mm]
Jetzt habe ich eine Fallunterscheidung gemacht:
Fall 1: [mm] max\{||f||_\infty, ||f'||_\infty\} [/mm] = [mm] ||f||_\infty
[/mm]
[mm]
||f||_2 \le ||f||_\infty \le \underbrace{|f(0)| + ||f'||_\infty}_{=||f||_1} \le \underbrace{||f||_\infty + ||f'||_\infty}_{=||f||_3}
[/mm]
Fall 2: [mm] max\{||f||_\infty, ||f'||_\infty\} [/mm] = [mm] ||f'||_\infty
[/mm]
[mm]
||f||_2 \le ||f'||_\infty \le \underbrace{|f(0)| + ||f'||_\infty}_{=||f||_1} \le \underbrace{||f||_\infty + ||f'||_\infty}_{=||f||_3}
[/mm]
Habe ich so gezeigt, dass die drei Normen äquivalent sind?
Gruß,
Gratwanderer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:20 Fr 20.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:40 Fr 20.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien
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> [mm]
\parallel f \parallel_1 := |f(0)| + \parallel f' \parallel_\infty
\parallel f \parallel_2 := max\{|\integral_{0}^{1}{f(t) dt}|, \parallel f' \parallel_\infty\}
\parallel f \parallel_3 := \parallel f \parallel_\infty + \parallel f' \parallel_\infty
[/mm]
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> Normen auf [mm]C^1[0,1][/mm].
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> Zeigen Sie, dass die Normen äquivalent sind und benutzen
> Sie dies, um die Vollständigkeit der zugehörigen
> normierten Räume zu zeigen.
> Hallo,
>
> könnte mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?
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> Ich weiß, zwei Normen [mm]\parallel . \parallel_a , \parallel . \parallel_b[/mm]
> auf [mm]C^1[0,1][/mm] sind äquivalent, wenn zwei positive
> Konstanten [mm]c_1, c_2[/mm] existieren, sodass für alle [mm]f \in C^1[0,1][/mm]
> gilt:
>
> [mm]
c_1\parallel f \parallel_a \le \parallel x \parallel_a \le c_2 \parallel x \parallel_b
[/mm]
das gilt so nur für [mm] $x:=f\,$ [/mm] 
Gruß,
Marcel
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