Äquivalenz, kompakt, stetig < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei $X$ ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum und [mm] $f\in [/mm] C(X)$. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
a) Für jedes [mm] $\epsilon>0$ [/mm] ist die Menge [mm] $\{x\in X:|f(x)|\geq\epsilon\}$ [/mm] kompakt.
b) Die Funktion [mm] $\widetilde{f}:X^+\to\mathbb{C}$, [/mm] definiert durch [mm] $\widetilde{f}_{|X}=f$ [/mm] und [mm] $\widetilde{f}(\infty)=0$, [/mm] ist stetig. |
Hallo,
ich möchte die Äquivalenz dieser beiden Aussagen zeigen.
[mm] $C(X)=\{f:X\to\mathbb{C}\quad\text{stetig}\}$.
[/mm]
a) [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] b)
Da [mm] $\widetilde{f}_{|X}=f$ [/mm] und [mm] $f\in [/mm] C(X)$, ist [mm] $\widetilde{f}_{|X}$ [/mm] stetig.
Bleibt zu zeigen, dass [mm] $\widetilde{f}$ [/mm] stetig im Punkt [mm] $\infty$ [/mm] ist.
Sei $V$ eine beliebige Umgebung von [mm] $\widetilde{f}(\infty)=0$.
[/mm]
Dann ist zu zeigen, dass eine Umgebung $U$ von [mm] $\infty$ [/mm] existiert, mit [mm] $\widetilde{f}(U)\subseteq [/mm] V$.
Hier weiß ich leider nicht weiter, wie ich es zeigen kann, dass diese offene Umgebung existiert.
Oder ist der Ansatz nicht zielführend?
Über einen Tipp würde ich mich sehr freuen.
Vielen Dank im voraus.
|
|
| |
|
Hallo,
kann hier wirklich niemand helfen? Ich wäre weiterhin an einer Antwort interessiert.
Ich habe nun folgendes:
a) [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] b) (Ich schreibe $f'$ anstelle von [mm] $\widetilde{f}$)
[/mm]
Da [mm] $f\in [/mm] C(X)$, ist $f'_{|X}=f$ stetig und es reicht zu zeigen, dass $f'$ in [mm] $\infty$ [/mm] stetig ist.
Sei also $V$ eine beliebige Umgebung von [mm] $f'(\infty)=0$.
[/mm]
Dann ist zu zeigen, dass eine Umgebung $U$ von [mm] $\infty$ [/mm] existiert, mit [mm] $f(U)\subseteq [/mm] V$.
Die Topologie auf $X^+$, ist [mm] $\tau^+=\{U\subseteq X: U\quad\text{offen}\}\cup\{U\cup\{\infty\}, U\subseteq X\quad\text{offen}, und U^c\quad\text{quasi-kompakt}\}$.
[/mm]
Da $X$ Hausdorffsch ist also [mm] $U^c$ [/mm] kompakt. Also [mm] $W=\{x\in X: |f(x)|<\varepsilon'\}$ [/mm] für ein [mm] $\varepsilon'>0$.
[/mm]
Also [mm] $|f'(x)-f'(\infty)|=|f'(x)-0|=|f'(x)|$. [/mm] Wenn [mm] $x=\infty$, [/mm] dann [mm] $|f'(\infty)|=0$ [/mm] und es ist nicht zu zeigen. Für [mm] $x\neq\infty$ [/mm] ist
[mm] $|f'(x)|=|f(x)|<\varepsilon'$
[/mm]
Wähle also [mm] $\varepsilon'=\varepsilon$, [/mm] dann ist für alle [mm] $x\in [/mm] U$
[mm] $|f'(x)-f'(\infty)|<\epsilon$.
[/mm]
|
|
|
| |
|
Die Implikation [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] hat sich mittlerweile erledigt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Fr 27.05.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:21 Mo 23.05.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
