Äquivalenz von Normen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:23 So 22.11.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
Die Aufgabe lautet:
Beweisen Sie , dass zwei Normen [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel_{a} [/mm]
[mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel_{b} [/mm] auf einem Vektorraum V genau dann äquivalent sind, wenn sie die gleichen offenen Mengen liefern.
Ich verstehe nicht , was bedeutet : "wenn sie die gleichen offenen Mengen liefern".
Kann man diesen Satz mathematisch formaler ausdrücken?
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:40 Mo 23.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei $(V, ||*||)$ ein normierter Raum. Bekanntlich heißt G [mm] \subseteq [/mm] V eine offene Menge, wenn es zu jedem x [mm] \in [/mm] G ein r(x) > 0 gibt mit
{ y [mm] \in [/mm] V :||y-x|| < r(x)} [mm] \subseteq [/mm] G.
Auf diese Weise "liefert " die Norm auf V ein Sytem von offenen Teilmengen von V.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Fred,
ich versuche , was Du geschrieben hast, zur Klärung zusammenzufassen:
Wenn man also eine bestimmte Norm hat und dazu r(x) wählt.
Dann bekommt man in folgendem Sinne eine Teilmenge von V:
{y [mm] \in [/mm] V : [mm] \parallel [/mm] y- x [mm] \parallel [/mm] < r(x)}. Diese Teilmenge ist eine offene
Umgebung von x , also sie ist offen (logisch?).
Also, es kommt auf r(x) an, welche offene Umgebung "geliefert" wird?
Und, die Gesamtanzahl dieser offenen Umgebungen
(in Abhängigkeit von r(x)) sind die gemeinten offene Mengen, die
von dieser Norm [mm] "geliefert"\"erzeugt" [/mm] werden?
Danke und Gruss!
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Mo 23.11.2009 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
> Dann bekommt man in folgendem Sinne eine Teilmenge von V:
> [mm] $\{y \in V : \parallel y- x \parallel < r(x)\}$. [/mm] Diese
> Teilmenge ist eine offene
> Umgebung von x , also sie ist offen (logisch?).
Sagen wir mal so: eine solche Menge nennen wir eine "offene Kugel um x mit Radius r". Ob die tatsächlich offen ist müsste man sich ggf. noch überlegen.
>
> Also, es kommt auf r(x) an, welche offene Umgebung
> "geliefert" wird?
Genau!
> Und, die Gesamtanzahl dieser offenen Umgebungen
> (in Abhängigkeit von r(x)) sind die gemeinten offene
> Mengen, die
> von dieser Norm [mm]"geliefert"\"erzeugt"[/mm] werden?
Die offenen Mengen sind nicht nur die Kugeln. Eine Menge ist genau dann offen, wenn zu jedem Punkt auch noch ein komplette Kugel (mit zur Not beliebig kleinem, aber positivem Radius) um diesen Punkt zur Menge gehört.
Betrachte doch einfach mal folgende Normen auf dem [mm] \IR^2:
[/mm]
1.) $|| (x,y) ||= [mm] \wurzel{x^2 + y^2}$ [/mm] (zumindest die sollte Di bekannt vorkommen)
2.) $|| (x,y) ||= 0$ (ziemlich pathologisch, aber durchaus auch mal interessant)
3.) $||(x,y)|| = [mm] \begin{cases} 0 & \mbox{für} (x,y) = (0,0) \\ 1 & \mbox{sonst} \end{cases} [/mm] $
Überlege dir mal für jede dieser Normen, wie eine Kugel mir Radius [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] aussieht.
Und dann überlege Dir, was dann bei 2.) und 3.) die offenen Mengen sind (die von 1.) kennst Du ja wohl).
Wenn Du das durch hast kannst Du das spasseshalber auch mal mit folgender Norm machen:
4.) $|| (x,y) ||= max(|x|,|y|)$
und die offenen Mengen mit denen vergleichen, die von 1.) erzeugt werden.
Gruß
piet
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