äquivalenz von matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.matheboard.de/thread.php?sid=&postid=80008#post80008]
jedoch konnte mir da noch keiner weiterhelfen . . . . .
es geht um folgendes :
1.) Aus welcher dieser aussagen folgt jeweils, dass die quadratischen matrizen A,B äquivalent sind:
a)rang(A)=rang(B)
b)A,B sind beide diagonalisierbar
c)det(A)=det(B)
..meiner meinung nach folgt die äquivalenz aus a) .. . . gilt das jedoch auch für b)? (wenn die matrizen quadratisch sind ?)
....ausserdem gibts noch die Frage: welche dieser aussagen ist äquivalent zu der aussage, dass A,B äquivalent sind? wahrschenlich a) , aber auch b)? hmmm. . .
über nen paar hilfen würde ich mich sehr freuen . . .
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:58 Di 16.11.2004 | | Autor: | Astrid |
Hallo,
korrigiert mich bitte, wenn ich einem Irrtum unterliege, aber ich habe mir das folgendermaßen erklärt:
> 1.) Aus welcher dieser aussagen folgt jeweils, dass die
> quadratischen matrizen A,B äquivalent sind:
> a)rang(A)=rang(B)
> b)A,B sind beide diagonalisierbar
> c)det(A)=det(B)
>
> ..meiner meinung nach folgt die äquivalenz aus a) .. . .
> gilt das jedoch auch für b)? (wenn die matrizen quadratisch
> sind ?)
> ....ausserdem gibts noch die Frage: welche dieser aussagen
> ist äquivalent zu der aussage, dass A,B äquivalent sind?
> wahrschenlich a) , aber auch b)? hmmm. . .
(a) [mm] \gdw [/mm] Äquivalenz:
(a) [mm] \Rightarrow [/mm] Äquivalenz gilt, weil zwei Matrizen mit demselben Rang beide die Darstellung [mm] \pmat{ E_r & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] bezüglich entsprechender Basen haben.
Äquivalenz [mm] \Rightarrow [/mm] (a) gilt, weil zwei äquivalente Matrizen denselben Rang haben (da ja die Dimension des Bildraumes gleich bleiben muss.)
Weiterhin folgt aus (c) Äquivalenz, falls [mm]det A = det B \not= 0[/mm], weil dann ja beide Matrizen vollrangig sind, und somit (a) gilt.
Zuerst dachte ich, dass aus (b) auch Äquivalenz folgt, aber ich hatte folgenden Denkfehler:
Diagonalisierbar heißt, es existiert eine Basis aus Eigenvektoren [mm]v_n \not= 0[/mm]. Für diese gilt: [mm]Av_n = \lambda v_n[/mm] und damit ist die Matrix vollrangig. Das stimmt aber nicht, da ja [mm]\lambda=0[/mm] gelten darf. (Dachte vorher [mm]\lambda \not= 0[/mm] muss sein.) Müßte also nochmal drüber nachdenken. 
Vielleicht haben dir ja meine Ansätze und Denkfehler ein wenig weiter geholfen!
Viele Grüße
Astrid
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...erstmal vielen dank für die ausführlichen antworten,
..habe nur noch nen paar rückfragen(je eine ^^):
- was war denn nochmal "vollrangig" ?
- ich glaube irgendwann/irgendwo gelesen zu haben, dass "äquivalent" und "ähnlich" bei quadratischen matritzen irgendwie zusammenhängt(traue mich nicht zu sagen, dass es das gleiche ist . .^^) . . . ist da was dran ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 Di 16.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo schnitzelchen!
> -was war denn nochmal "vollrangig" ?
Eine $m [mm] \times [/mm] n$-Matrix heißt vollranging, wenn sie den Rang [mm] $\min(m,n)$ [/mm] besitzt, also die maximal mögliche Anzahl linear unabhängiger Zeilen- bzw. Spaltenvektoren enthält.
Für eine audaratische Matrix heißt das, dass alle Zeilen- und alle Spaltenvektoren linear unabhängig sind.
Für eine Diagonalmatrix heißt das, dass keine Nullen auf der Diagonalen stehen.
> - ich glaube irgendwann/irgendwo gelesen zu haben, dass
> "äquivalent" und "ähnlich" bei quadratischen matritzen
> irgendwie zusammenhängt(traue mich nicht zu sagen, dass es
> das gleiche ist . .^^) . . . ist da was dran ?
Nein, rein gar nichts. Äquivalente Matrizen haben den gleichen Rang, ähnliche die gleiche Jordansche Normalform.
Liebe Grüße
Stefan
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...vielen dank für die exakten antworten!!
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