Äquivalenzklassen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:11 So 01.08.2004 | | Autor: | cremchen |
Guten Morgen!
Ich habe eine Frage, zu einer Aufgabe, die ich im Buch Lineare Algebra von Beutelspacher gefunden habe.
und zwar soll man entscheiden, ob eine Aussage wahr oder falsch ist! Im Falle ja soll ein Argument her, im Falle nein ein Gegenbeispiel!
Ich habe allerdings so meine Probleme mit Äquivalenzklassen!
Ich kann mir zwar so grob vorstellen, was das ist, aber ich habe keine Ahnung wie ich an das Problem herangehen soll...
Hier kommt es nun:
Sei ~ eine Äquivalenzrelation auf X.
Für jedes x [mm] \in [/mm] X ist die Menge B(x):= {y [mm] \in [/mm] Y | es gilt nicht y ~ x } eine Äquivalenzklasse von ~.
Also mein Gedanke war, dass diese Aussage stimmt! Und man quasi eine Äquivalenzklasse hat für die y ~ x gilt, und eine für die es nicht gilt...
Nur sollte das stimmen, weiß ich nicht wie man dafür ein Argument findet!
Also ich wär euch sehr verbunden wenn ihr mir helfen könntet! Diese Äuivalenzklassen bringen mich noch um...
Danke schön und noch einen schönen Sonntag
Ulrike
PS:
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:51 So 01.08.2004 | | Autor: | Astrid |
Hallo Ulrike!
Wenn eine Äquivalenzrelation [mm] \sim [/mm] auf X gegeben ist, dann ist B [mm] \subset [/mm] X eine Äquivalenzklasse, wenn:
[mm](i) B \not= \emptyset \\\\
(ii) x,y \in B \Rightarrow x \sim y \\\\
(iii) x \in B, y \in X, x \sim y \Rightarrow y \in B[/mm]
Für eine gegebene ÄR [mm] \sim [/mm] und für [mm]B(x):=\{y \in X | \neg (y \sim x) \}[/mm] gilt doch aber nicht notwendigerweise (ii), oder?
Also, wenn [mm]y,z \in B(x) [/mm], dann gilt [mm]\neg (y \sim x)[/mm] und [mm]\neg (z \sim x)[/mm], aber daraus folgt doch nicht notwendigerweise [mm]y \sim z[/mm].
Wenn du z.B. [mm] x \sim y \Leftrightarrow x = y[/mm] hast, dann folgt doch aus [mm]y \not= x [/mm] und [mm]z \not= x [/mm] nicht [mm]y=z[/mm].
Viele Grüße 
Astrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:31 Mo 02.08.2004 | | Autor: | Gnometech |
Puh, soviele Zeichen!
Vielleicht mal ein konkretes Beispiel, um etwas Licht ins trübe Halbdunkel der Äquivalenzrelationen zu bringen: wir nehmen eine Äquivalenzrelation, die jeder kennt!
Und zwar möchte ich diese auf der Menge $M$ aller Studenten der Universität X erklären. Es ist egal, wo die Uni X liegt, aber sie hat die schöne Eigenschaft, dass die Studienordnung sehr einfach ist: es gibt nur Hauptfächer, man muß kein Nebenfach oder Ähnliches studieren. Jeder Student (oder jede Studentin) der Uni X ist für genau ein Fach eingeschrieben. Alles klar? (Das Zeichen für die Relation wird wieder [mm] $\sim$ [/mm] sein.)
Auf dieser Menge führe ich nun die Äquivalenzrelation "... studiert das gleiche Fach wie ..." ein. Ich erkläre also zwei Studierende für äquivalent, wenn sie das gleiche Fach studieren.
Ist dies eine Äquivalenzrelation? Was muß denn noch gleich gelten...?
i) $x [mm] \sim [/mm] x$ für alle $x [mm] \in [/mm] M$
Naja, das ist in unserem Fall ja offensichtlich... jeder Student $x$ studiert dasselbe wie... er selbst.
ii) $x [mm] \sim [/mm] y [mm] \Rightarrow [/mm] y [mm] \sim [/mm] x$ für alle $x, y [mm] \in [/mm] M$.
Auch klar, dass unsere Relation symmetrisch ist.
iii) $x [mm] \sim [/mm] y$ und $y [mm] \sim [/mm] z [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \sim [/mm] z$ für $x, y, z [mm] \in [/mm] M$
Auch dies ist klar... wenn $x$ das gleiche Fach studiert wie $y$ und $y$ wiederum das gleiche Fach wie $z$, dann studieren auch $x$ und $z$ das Gleiche!
Und nun der Clou: was ist in dem Fall eine Äquivalenzklasse? Wie kann man sich diese obskure Menge $M / [mm] \sim$ [/mm] vorstellen? Die Antwort ist simpel: man faßt zu gegebenem $x [mm] \in [/mm] M$ alle zu $x$ äquivalenten Elemente aus $M$ in eine Menge zusammen und erhält die Äquivalenzklasse von $x$:
$[x] = [mm] \{ y \in M : y \sim x \}$
[/mm]
Und was ist das? Nun, das ist genau die Menge aller Studierenden, die das gleiche Fach studieren wie $x$. Und nun ist auch klar, dass diese Beschreibung nicht von der Wahl meines "Repräsentanten" $x$ abhängt: wenn ich mir irgendjemanden herausgreife, der z.B. Mathematik studiert, dann erhalte ich durch die Konstruktion alle Studierenden der Mathematik, völlig gleich, welchen ich mir ausgesucht habe.
Zurück zu der Aufgabe: nun nehmen wir zu gegebenem $x$ die Menge aller $y$, für die gilt: $y [mm] \not\sim [/mm] x$. Im Beispiel also die Menge aller Studierenden, die NICHT das gleiche studieren wie $x$. Ist das wieder eine Äquivalenzklasse? Nun, die Klassen beschreiben genau unsere Studiengänge... also ist das eine Klasse nur dann, wenn es in X nur 1 oder 2 Fächer gibt, denn sonst mischen sich in dieser Menge ja auch Studenten verschiedener Richtungen, also Elemente von $M$, die nicht äquivalent sind...
Wie gesagt, das kleine Beispiel soll nur verständisfördernd wirken... auf diese Weise erkläre ich die Äquivalenzrelation immer den Erstsemestern. 
Schöne Woche noch!
Lars
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