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| Aufgabe | | In [mm] \IF_{2} [/mm] zeige, dass es max. 4 Äquivalenzklassen von symmetrischen Matrizen [mm] (Mat_{\IF_{2}}(n,n)) [/mm] gibt. |
Guten Abend!
Ich bin gerade an dieser Aufgabe und komme nicht mehr weiter.. Also ich habe bis jetzt erst mal alle 8 symmetrischen Matrizen in [mm] \IF_{2} [/mm] aufgeschrieben. Dann konnte ich jeweils 2 aufeinander zurückführen durch das Kriterium, dass die Äquivalenzklassen (A,B) gleich sind, wenn es eine Funktion f und Basen (L,K) gibt mit [mm] \gamma_{L}(f)=A [/mm] und [mm] \gamma_{K}(f)=B
[/mm]
Nun bleiben mir noch folgende 6 Matrizen:
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }, \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }, \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }
[/mm]
Leider kann ich aber einfach keine weiteren eliminieren..
Und des weiteren ist mir etwas unklar, ob die 0 Matriz überhaupt als eigene Klasse gilt.. Kann mir da jemand helfen?
Und könnte ich zum Beispiel einfach sagen, dass [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }, \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] eine Äquivalenzklasse bilden, da sie durch Zeilenvertausch aufeinander zurück zu führen sind?
Wäre sehr froh um Hilfestellung.. Vielen Dank!
Herzlichst euer Ersti!
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Hallo!
> In [mm]\IF_{2}[/mm] zeige, dass es max. 4 Äquivalenzklassen von
> symmetrischen Matrizen [mm](Mat_{\IF_{2}}(n,n))[/mm] gibt.
> Guten Abend!
> Ich bin gerade an dieser Aufgabe und komme nicht mehr
> weiter.. Also ich habe bis jetzt erst mal alle 8
> symmetrischen Matrizen in [mm]\IF_{2}[/mm] aufgeschrieben. Dann
> konnte ich jeweils 2 aufeinander zurückführen durch das
> Kriterium, dass die Äquivalenzklassen (A,B) gleich sind,
> wenn es eine Funktion f und Basen (L,K) gibt mit
> [mm]\gamma_{L}(f)=A[/mm] und [mm]\gamma_{K}(f)=B[/mm]
> Nun bleiben mir noch folgende 6 Matrizen:
> [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }, \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }, \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }[/mm]
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> Leider kann ich aber einfach keine weiteren eliminieren..
> Und des weiteren ist mir etwas unklar, ob die 0 Matriz
> überhaupt als eigene Klasse gilt.. Kann mir da jemand
> helfen?
Soweit ich weiß, gehört die Nullmatrix sehr wohl dazu - sie hat Rang 0.
Und du hast hier nur ein Beispiel für die Aufgabe, denn gemeint sind doch wohl alle [mm] $n\times [/mm] n$-Matrizen, mit den Elementen 0 und 1.
Und vielleicht hilft es dir ja weiter, wenn ich dich daran erinnere (das habt ihr bestimmt gehabt), dass zwei Matrizen äquivalent sind, wenn sie denselben Rang haben.
Dann hast du auf jeden Fall schon mal die Nullmatrix mit Rang 0, dann die Identität mit Rang n, und die beiden anderen musst du selber herausfinden. Naja, und das "maximal" kommt wohl daher, dass eine [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrix ja höchstens Rang 2 haben kann, also maximal drei verschiedene Äquivalenzklassen.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Guten Abend!
Vielen Dank für die Antwort.. Also du hast richtig bemerkt, ich habe einen Fehler gemacht beim Abschreiben der Aufgabe: die Aufgabenstellung ist nur für 2x2 Matrizen gestellt..
Gibt es wirklich einen Satz, der sagt, dass Matrizen äquivalent sind, wenn der rang gleich ist (habe meine Unterlagen durchsucht, aber nix dergleichen gefunden..). Das würde ja heissen es gibt in diesem Falle maximal 3 verschiedene.. Ich soll aber zeigen, dass es höchstens vier gibt (in einer weiteren Aufgabe preziser sogar, dass es genau 4 gibt..)
Vielen Dank..
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Hi..
Vielen lieben Dank für deine Mühe!! Ich weiss jetzt wo das Problem liegt, es müssen ähnliche Matrizen sein nicht äquivalente..
Tut mir leid, mein fehler.. Habe es bemerkt, als ich die wikipedia Seite studiert habe.. Nur sind dort alles notwendige Kriterien drauf, ich benötige aber hinreichende, um einzelne Matrizen auszuschliessen..
Gibt es da noch mehr, als dieses mit der Abb. einer Funktion (anhand versch. Basen)?
Vielen lieben Dank! Ersti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:02 Mi 13.06.2007 | | Autor: | Marc |
Hallo Ersti,
> Hi..
> Vielen lieben Dank für deine Mühe!! Ich weiss jetzt wo das
> Problem liegt, es müssen ähnliche Matrizen sein nicht
> äquivalente..
> Tut mir leid, mein fehler.. Habe es bemerkt, als ich die
> wikipedia Seite studiert habe.. Nur sind dort alles
> notwendige Kriterien drauf, ich benötige aber hinreichende,
> um einzelne Matrizen auszuschliessen..
> Gibt es da noch mehr, als dieses mit der Abb. einer
> Funktion (anhand versch. Basen)?
Zwei [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrizen mit gleichem charakteristischem Polynom und gleichem Minimalpolynom sind ähnlich (das gilt übrigens auch für [mm] $3\times [/mm] 3$, aber nicht mehr für [mm] $4\times [/mm] 4$-Matrizen).
Vielleicht kommst Du ja damit weiter.
Marc
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